非线性令数学为难

非线性令数学为难

我们在这里遇到了像(1．3)式这样的非线性方程。在数学中线性和非线性是很容易区分的，只要方程中变量间互不乘除，就不会出现变量的非一次幂的项，相互间可以表示成直线关系，那就是线性的;否则，都是非线性的(图1－2)。

图1－2　线性与非线性

由于自然现象的复杂性，描述其规律和性态的方程一般都是非线性的，所以非线性是普遍存在的。但是，处理非线性方程比处理线性方程就困难得多了，令传统数学显得苍白无力，难以应付;往往无法用公式精确表达它的解，只能通过数值计算来表达;而且，其计算工作量之大，简直令人望而生畏。所以，传统作法是将非线性项忽略掉或是通过某种变量变换的数学技巧，将非线性方程化成线性方程，然后进行求解，那样就容易多了。然而，这种“不得已”的作法犹如陷阱，危害也不浅，往往是将丰富多彩的非线性效应和现象都丢掉了，甚至有些人将这种粗糙的权宜之计，误以为是自然界原本就如此。在非线性项的影响较小时，姑且可以这么做;当非线性项的影响较大时，就不能再忽视了。混沌学所研究的，正是这些丢掉的或被藏匿起来的效应;混沌学所追求的，就是恢复和揭示大自然的本来面貌。当然，实现这一目标在数学上有很大的难度，但在电子计算机发展起来之后，这一难度被大大降低了。

逻辑斯蒂方程是一个简单的方程，初看似乎用中学的数学知识就能对付得了。它是个抛物线方程，所以是非线性的。方程的解与参数和初始条件都有关系，当参数给定后，解所表达的系统行为只依赖于初始条件，所以是个确定性的或称决定论的方程。一旦知道初始条件x₀，下一代的x₁，即可确定;再把x₁代入方程右端即得到x₂;如此多次重复，即可得到一系列的值:

x₀，x₁，x₂，…，x_i，x_i+1，…

这个数值系列叫数值流，形成一条状态演化的“轨道”。这种由x_n值确定x_n+1值的过程叫做“迭代”，是重复运算的意思。比如，我们取参数μ=2．7，初始群体数x₀=0．02，代入公式得x₁=0．0529，将此值重新代入一次，得x₂=0．1353。重复上述步骤，就会得到一系列的数。起先是增长式的，到第5代到达峰值0．6562，后来是忽上忽下的波浪式变化，直到20多代以后才趋于定数0．6296。迭代既可用数值法也可用图示法(见下章)。如果用手算，数值法是项繁重的劳动，没有人能够真正进行下去，只是在有了计算机后才算实现了真正的计算。

在20世纪50年代就有好几位生态学家研究过逻辑斯蒂方程。在那个只有手摇计算机的时代不可能将迭代进行得次数足够多而作出长期预测，再加上那时人们头脑里沉积的陈旧观念也比较严重，笃信牛顿(I．Newton，1642—1727年)－拉普拉斯(P．S．Laplace，1749—1827年)的决定论:只要有了决定自然定律的方程，由初始条件可以唯一确定以后任意时刻的性态。所以，人们普遍地认为逻辑斯蒂方程多次迭代的结果，应该是收敛于一个确定的有限的定态水平。在参数值较低时确实如此，但当参数值提高之后，结果却出现了振荡现象，有时振荡的数字甚至莫名其妙地不规则。人们将这种不符合预期的数字归咎于某种意外而排除在视线之外，注意力一直盯在有序的稳定性上，这样于生态学毫无建树。过了20多年后，一位出身理论物理学研究的新人介入其中，才扭转了乾坤。