飘忽不定的混沌现象

飘忽不定的混沌现象

我们先来看看梅所发现的逻辑斯蒂方程中混沌是什么样的。当μ＞μ_∞=3．5699456的情况下，由逐级迭代的方法不能再对种群数作出长期预测了，因为数值计算出现奇怪的无序和随机性。为了亲身体会这一景象，读者可以用自己的计算机演算，或者用一台袖珍计算器也行。取μ=4，为了说明问题，我们进行三次初值不同的计算，并将结果用表1－1表示出来。其中第一列n下面的数代表各个代，即迭代所进行的步数，第二列是各代对应的虫口数。第一次计算先任意取个初值，比如x₀=0．1，代入方程可求得x₁=0．36，再将x₁代入方程可得x₂=0．9216，再重复迭代多步，可得一系列值，每步的结果列在第3列中;第二次计算让初始值稍有改变，比如x₀=0．10000001，重复上述步骤，结果列在第4列中;第三次再让初始值改为x₀=0．1000001，所得迭代结果填在第5列中。当然你愿意的话，每次可以算出第100代或更久远，而且还可以让初值X₀在小数点后第6、5…位上作小的变化，进行多次计算。表1－1只列出三次少数几代的结果，足以说明问题了。

表1－1　x_n+ 1=4x_n(1－x_n)的迭代结果

面对这一堆数字，你可能感到枯燥、感到茫然。仔细分析，却可以看出许多实际意义来。

首先，我们从表的上部看，这是些迭代初期的数据。从上向下看三次的数据都平稳地增长，初始值X₀的微小差异引起的三次数据的差异也很小，说明方程表达的系统处于确定有序的演化状态。这是人们预料之中的，也是愿意看到的。再往下看中部(到第10代前后)，发现前面稳定增长的趋势到最高点后又变成逐步下降的趋势了。而且若把省略号处数值都列举出来后，发现每次的数据都是升—降—升—降……地上下波动或振荡，三次数据的差异虽有些增加但仍不大，说明系统处于周期性的演化过程。这是人们可以理解并愿意接受的局面，把它解释成为周期性规律。在这两个阶段，参照上下左右的数据，你若对演化进行几代的预测是可能的，尽管不很准确，但一般来说，预测结果与实际差别不是很大，是可靠的。比如在第10代，你根据第一、三次的结果，推断第二次数值必定介于二者之间，不会有失误。

但是，当迭代的次数很高时(这里只列出50～52代)，表的下部数据中，数值间失去了上述规律性的联系，彼此差别很大，飘忽不定，显得相当混乱无序，不再是周期性的振荡，而是呈现出无规律性即随机性。说明系统的演化进入一种非常规的状态，这就是混沌。这时你若根据上下左右的数据进行预测就绝对不准确了，比如你想推断出第二次第51代的数值，用第51代的第一、三次的结果不行，用第二次中的50、52代的结果也不行，因为0．9831298346这个数不能凭其上下左右的相邻数据估计出来。这个奇特的性质就是混沌的不可预测性。