系统状态讲安定

系统状态讲安定

在上一章我们已经见到了确定性的系统出现了混沌，我们感兴趣的一个问题是，如何由确定性的状态走到了混沌的状态，即通向混沌的机制是什么?还是先从确定性状态的性质谈起吧。任何系统的演化，最开始阶段都是暂态过程，好像人的幼儿时期，还未成熟;人们关心的是系统的定态过程，因为它经过一段时间的演化“成熟”了，能代表系统自身的特性。所谓定态，就是无外界干扰的情况下，描述状态的量不再变动的状态。对逻辑斯蒂方程来说，就是当x_n进入定态时，其后各代的x_n+1，x_n+2…都与x_n相同了。由于状态量不再变动，所以定态又叫做不动点。定态的性质不仅跟描述系统的函数形式有关，而且与参数密切相关。

逻辑斯蒂方程可写为:

其中f(μ，x_n)是x_n的二次函数。在直角坐标系中，若横坐标记为x_n，纵坐标记为x_n+1，上式的函数关系是条抛物线。尽管(2．1)的f(μ，x_n)都代表抛物线，但不同的μ值，抛物线的形状是不同的，μ值越大，抛物线的单峰越尖锐(图2－1)，a、b分别代表两条μ值不同的曲线。f(μ，x_n)在x_n=处取最大值(这可以由求极值的方法得到，读者不妨一试)。为保证f(μ，x_n)的值不超过1，所以只有μ≤4才有意义。

图2－1　函数的曲线

我们先讨论满足x_n+1=x_n的定态，即

这个一元二次方程很容易解出，它有两个根(不动点)，用ζ^*表示为:

为保证第二个根也有意义，要求μ≥1。

系统的定态即不动点有的是稳定的，即受到小的扰动后能保持定态，叫平衡态;有的是不稳定的，受扰动后不再保持。不稳定的不动点虽然也是数学方程的解，但是物理上往往无法观察到它，计算机画出的图形上也无法显示出来。所以，我们只关心那些稳定的状态(不动点)。判别不动点是否稳定，有个很简单的判据:如果不动点处函数f(x)的斜率的绝对值小于1，则此不动点是稳定的;如果此斜率的绝对值大于1，则此不动点是不稳定的。用k表示函数f(x)在不动点处的斜率，则稳定的不动点满足。

对于我们讨论的具体例子是^[1]

可见，不动点的稳定性与参数μ的值有密切关系。下面分别讨论:

(1)在0＜μ＜1区间，可以判别出:

对于=0，是稳定的;

对于=1，是不稳定的。

而且在此区间ζ变为负值，不符合x_n的取值范围，所以在0＜μ＜1区间只有一个稳定的状态，不管初始值如何，迭代的最终结果都收敛为=0。

若要使变为稳定的，必须满足:

图2－2　时系统有一个稳定态

(2)在1＜μ＜3的区间，ζ虽然变为稳定的，而ζ又成了不稳定的。看来，μ₀=1是个使不动点变更稳定性的转折点，叫做临界点。所以，在1＜μ＜3区间也只有一个稳定的状态。图2－2中绘出了当μ=2．707时，f(x)的变化情况。横坐标N为迭代次数。实线、虚线分别代表从两个不同的初始值开始最终演变成同一定值。

(3)当μ＞3之后，条件(2．5)也不满足了也不稳定了。所以，μ₁=3是另一个转折点(临界点)。