混沌内部有结构

混沌内部有结构

混乱复杂的混沌也有结构?有!梅看到了混沌区有窗口，窗口内竟也是稳定的周期性态。刚开始，梅无法理解这一景象，他也不能看到这幅全景，因为他的计算只是这个全景中的局部片段。

为了更深入更全面地看清混沌的内部结构，科学家们求助于更强有力的计算机。纽约大学数学研究所的科学家在他们的计算机上进行了大量计算，调整参数值上千次，在计算机屏幕上拍下这些参数下计算结果的图像。他们所拍的电影上出现了分枝树，出现了混沌，在混沌中又出现了一些周期性窗口，而且周期性窗口出现的地方，正是李雅普诺夫指数σ由正值变为负值的地方(见第一章第6节)，只是这些窗口由于短命而瞬间即逝。图2－9是其中一幅图像。

图2－9　倍周期分岔和混沌

由图可见，混沌区的靠右端，对参数μ的每个取值，状态量x的取值连成一片。自μ=3．676往左，x的取值分成两个带(或岛)，再往左又分成4个带、8个带、16个带……直到μ_∞为止。也就是说，混沌区内以与周期区相反的方向从右到左分为2ⁿ(n=0，1，2，…)个带，分别称之为1I、2I、4I…混沌带。在混沌区内还出现了周期性窗口，而且是奇数周期的。从右向左有3周期的、5周期的…，分别用3P、5P、7P、…表示^[2]，其中最大的是3P周期窗口，它发生在μ=μ₃=1+≈3．828处。若将它放大就是图2－10。

图2－10　放大的周期3P窗口

可以看出，它与图2－9有相同的结构，即它也包含有从左到右的倍周期分岔序列，也有从右到左的混沌带序列。通过向右的倍周期分岔，出现周期6、12、…、3×2ⁿ分支线。

从周期窗口向左也能进入混沌区，但不是通过倍周期分岔的方式，而是直接地突然跳入。在μ略小于的小邻域，昆虫演化在较长时间内表现出周期3的特征，但这种有节奏的变化，在某一时段会被突然打破，突然冒出无规律性来，一阵混乱之后又突然回到周期3中来，不一定过多久又会来这么一次。以这种方式出现的混沌叫阵发混沌，好像人得了疟疾打摆子似的。显然，这又是一种产生混沌的途径，它与倍周期分岔通向混沌的途径是不同的。

如果把图2－10这种二级结构图的某一部分再进行放大，又会得到与图2－9、图2－10完全一样的三级结构图。继续下去可以发现，混沌带中存在着无穷层次的自相似结构。这充分说明，混沌与通常所说的混乱、无序、随机等有本质区别，混沌是无序与有序的高度统一体，是乱中有序又序中有乱的怪态。

存在自相似结构，是混沌的另一重要特征。这种事物的局部与整体具有相类似结构的现象，人们在其他领域的研究中曾经见到过，具有普遍性。这种有趣的几何结构称为分形，我们在第六章将详细讨论它与混沌的关系。