混沌普适看常数

混沌普适看常数

混沌具有普适性。所谓普适性，顾名思义，就是普遍具有或适用的性质。探索事物的普遍规律和本质是科学追求的目标。复杂漂亮的分枝树和混沌结构，并非逻辑斯蒂映射所特有，它是一大类非线性动力学系统的一种普遍存在的特性。这种普遍性不仅是定性的，而且是定量的。

定量上说，主要表现在两个常数上。第一个是关于倍周期分岔走向混沌的快慢的。为了看得清楚，我们将分支点序列的数据列在表2－1中。

表2－1

从表上可以看到，随着n的增加，相邻分支点的间距越来越小，最后趋于一个极限值μ_∞=3．569945672。但是，若计算相邻分支点间距之比δn=则发现，随着n的增加，δn趋

而且，进一步的研究发现，混沌带倍周期逆分支点的序列，混沌区周期窗口中倍周期分支点的序列，都是类似的几何序列，它们的收敛速率都是同一个δ。不仅如此，再进一步研究与生物种群演化毫无关系、与逻辑斯蒂映射的抛物线形状不同的其他单峰映射，如指数映射和正弦映射

发现不仅有类似的倍周期分支、混沌区及其中的混沌带与周期窗口，而且它们的分支序列也都是不多不少地恰好以δ为收敛速率的几何序列。这充分说明δ是个普适常数，它揭示了混沌的内在规律性，那就是:尽管非线性方程不同，或描述具体事物的动力学系统不同，但它们由倍周期分岔通向混沌的速率却是相同的。这好像不同颜色的光都以同一速度C传播那样。一个常数的发现意味着一条自然法则的揭秘。相对论中的光速C和量子力学中的普朗克常数h都是这样的常数。这一重要常数是费根鲍姆(M．Feigenbaum)于1978年发现的，故称为费根鲍姆常数。

第二个常数是关于混沌自相似结构的由小到大的自相似放大率的。对于某个分支系列中的任一个分支点，当我们考察它两侧相邻的两级分支裂距，也就是从纵轴方向看分枝树的分裂程度的变化。若用L_n表示某分支点前面一级的裂距，用L_n+1表示该分支点后面一级的裂距，发现总是L_n+1＜L_n，即裂距越来越小。但是，若计算相邻的裂距之比则发现，随着n的增加，a_n趋

于一个常数，当n→∞时，它是个无理数，即

这是个常数，也是费根鲍姆发现的，所以叫做费根鲍姆第二常数，又叫标度变换因子。它也是普适的，只要在第一常数δ适用的范围，无论什么样的倍周期分岔结构，都是此常数。它表明相似结构由小到大的放大率都是按照同一倍数进行的。它与结构本身的尺寸大小无关，与时间先后、空间位置无关，与非线性映射的种类无关。