相图变戏法

相图变戏法

现在我们不满足于小振动了，想看看大振动是什么样的。以单摆为例，如果记录下角位移随时间t的变化情况，可以用图5－2表示出在各种振幅下摆角的变化波形。从图上可以看出，周期与振幅有关了，随着振幅A的增加，周期越来越大，但在振幅A小于90°以前，周期增加不大;当振幅A超过90°时，周期增加较大;当振幅A趋于180°时，周期趋于无穷大。后者是因为θ=180°时，单摆倒立了，这是个不稳定的平衡点，由这一点以零初速自由摆动，趋近它而不翻转，理论上需要无穷长的时间。

图5－2　非线性摆的波形

对于大振动，直接求解方程的方法不灵了，可以采用庞加莱百多年前发明的几何方法。这一套几何方法不必解方程，它是通过相图、庞加莱截面等定性分析系统轨道的整体行为，不是用数值定量说明单个轨道的个别行为。实际上定的几何法比定量的求解法更直观、更简捷、更便于理解。

为了确定摆的运动状态(也就是“相”)，必须用两个量，位置θ和速度。为描述状态(相)随时间变化的情况，可以用“相图”:用平面直角坐标系的横轴表示θ，纵轴表示，坐标图上的任一点就代表一个状态。状态的变化就形成一条曲线，叫轨线或轨道。从不同的初始条件出θ发，得到不同的轨线，就简化的线性摆而言，由于θ²+=A²，所以这些曲线是同心圆(不同的圆对应不同的初始条件)，见图5－3。对于非线性摆，则要复杂一些。先不考虑阻力，算出动能和势能，由机械能守恒得知

图5－3　线性摆的相图

于是可解出:

其中H=E/mgL是个对应于能量的常数，由初始条件给定。借助你的袖珍计算器或三角函数表，可以用(5.6)式作出如图5－4那样的相图来。多么像一只大眼睛。中心点对应单摆下垂的平衡位置，能量最低(H=0)，是个稳定的不动点。随着能量的增高(你可给定一些H＞0的数)，轨线是些闭合的环线呈椭圆状，且能量越高椭圆越扁。当能量升高到H=2时，椭圆两头变成尖角状，这时振幅达到±π，相当于单摆倒立，是不稳定的不动点。当取H＞2时，得到的轨线不再闭合，表示能量高得使摆旋转成螺旋桨了，而且上边和下边的轨线走向不同，表示转向不同。所以，从相图上看，只有封闭的椭圆才代表摆的标准振荡，是周期性振动状态。H=2的最大环线是分界线，往外就不是摆动的了。

图5－4　非线性摆的相图(平面)

相图上-π和+π分居图的两侧，其实那是同一个位置。为了更加忠实地表示摆的实际运动，我们把整个图横向卷起来呈圆筒状，让最大封闭环上的两个尖顶重叠，如图5－5所示。这样做的结果实际是用柱面坐标表示摆的运动了，所以几何图的变形相当于坐标系的变换。此时，不闭合的轨线也连接起来了，不过分为上下两组。

图5－5　非线性摆的相图(柱面)

图5－6　能量守恒的非线性摆

同一能量的摆动椭圆轨线，一半在圆筒上部一半在下部，看起来不方便，为克服这一缺点，我们可以把圆筒弯成一个U形管，让能量最低时的不动点位于U形管的最底部。这样，同一能量的环线便处在同一水平上，不同的环线代表不同的能量，各个环线组成“能级”，一目了然，非常直观，见图5－6。从图上可以看出，所有的周期性摆动轨线，全在U形管下边连通的弯管部，是低能区，只有一种往复运动，顺时针和逆时针方向无法区分，这是摆的往复行为。而在U形管上部两支直管部，其轨线走向是不同的，一个顺时针，一个逆时针，分别代表两个方向的转动。

现在，把阻力考虑进来，它将造成单摆能量的损失。直管上对应摆旋转的轨线将螺旋式下降，闭合轨线消失，表示旋转逐步变慢，见图5－7。直到摆刚好不能达到顶点时，将返回并开始来回摆动，这就是弯管部对应的轨线。摆动幅度越来越小，最终在平衡位置停下来，轨线到达底部的不动点，好像是该点把轨线吸引到自己这边来的，所以叫作不动点吸引子。

图5－7　阻尼非线性摆

这里研究单摆所用的几何方法，不用解方程，只是通过变换相图的几何形状来表述物理系统的性态。其实这就是庞加莱所创造的拓扑学，这是一种形状无限可变的几何学。用它来研究非线性运动，除了简便、直观之外，还有个优点就是可以推广到多变量的复杂系统。单摆只用一个位置、一个速度这两个量确定其状态，由这两个量构造成一个两轴的坐标系，一般叫二维的状态空间或相空间，此空间的一个点代表一个状态。对于真实空间的一个质点有3个自由度，确定它的运动状态，需要3个位置x、y、z和3个速度Vx、Vy、Vz总共6个量，用它们可以组成六维的相空间，此空间的一个点代表质点的一个状态。自行车有5个自由度:把手、左蹬，右蹬、前轮、后轮－曲柄组合，所以表示自行车的运动需要5个位置和5个速度，那就得构造一个十维的相空间来描述它的状态。一般地，有n个变量的系统，需要一个n维的相空间，此空间内一个状态点由n个变量值来确定，该点在相空间走过一条曲线，对应系统的运动。