荡秋千与共振

荡秋千与共振

荡秋千的游戏人人都爱玩，其实秋千就是个阻尼摆，必须定时地给它个推动力，才能补充因摩擦和空气阻力而消耗掉的能量，使之摆荡下去。这个定时的推力叫作周期性驱动力，它的频率和秋千的固有频率相遇在一个系统中，就有个相互关系或者相互竞争的问题。世界上充满了这种既有阻尼同时又有驱动的受迫振动系统，比如，靠近悬挂的两只钟，就形成了一种相互驱动的耦合阻尼振子，它和驱动阻尼摆是等效韵。人的心脏是这种系统。其实气象也是如此，变动中的空气和水由于摩擦而阻尼，向外层空间耗散热量也是一种阻尼，而太阳光则周期性地输送能量，对空气和水的系统进行驱动。简单的阻尼摆能够产生复杂性，时而稳定时而不稳定，时而有序时而无序，时而有节奏时而无定期，时而有限时而无穷，体现一种创造过程，颇有生命的气息和意味，所以如此古老的一件简单装置，研究它的人却络绎不绝，20世纪70年代之后竟然又成了热点。

非线性摆或者振子与线性摆或者振子的一个最显著的区别，就是对驱动频率的响应是不同的。线性振子不改变驱动频率，固有频率和驱动频率二者协作决定振子的振动情况。非线性振子就不同了，它有变频效应，有改造频率的能力，而且变频方式也有好几种。对驱动频率ω，可以改造出各种倍频(即谐振)，如:

2ω、3ω、4ω…

和分频(次谐振)，如:

但是产生谐振容易，产生次谐振难，只有非线性达到一定程度而且驱动频率足够高时，才有可能激发出次谐振来。其实，倍周期分岔在一定意义上可以看作是一种特殊的连续分频模式。发现分频最早的是法拉第(M．Faraday，1791—1867)，他1831年在容器中作浅水波实验时发现容器以ω为频率上下振动时，水有以为频率的振动。后来有人用音叉做实验也发现过振动。在1927年，荷兰电机工程师范·德·波尔(VanderPol)用耳机聆听振荡电路中的声调(那时还没有示波器之类的仪器呢)，发现了一系列的分频，当电路激励源的频率为ω时，发现电路输出有的频率成分，像阶梯似的依次分布，并且绘出“魔梯”图，随论文发表在《自然》杂志上，但是他当时不了解其意义。还有一次在听到规则的分频讯号外，接着又听到了不规则的他所不能解释的“噪声”，并就此“不规则的噪声”给《自然》杂志社写信。现在当然明白了，范·德·波尔是一个听到混沌而不认识的科学家，多么可惜。

驱动频率被变频之后，出现多个频率，如果其中的某个频率ω₁和振子的固有频率ω₂之比值是有理数的话，那么此时振子的运动是周期的，如果比值是无理数，则运动称作是准周期的。因为任何有理数都能表示成二整数之比的形式，而无理数不能表示成这种整数比的形式，所以，凡Ω=为整数比的非线性受迫振动，都是周期性的。这样的周期性振动状态叫做共振，也叫锁频、锁相、锁模、同步。

共振，大家很熟悉的是当驱动频率与固有频率相近时，即ω₂≈ω₁时的情况，振幅将变得很大。有的共振可造成破坏:有一次拿破仑率领法国军队入侵西班牙，部队在军官口令的统一指挥下，迈着整齐的步伐踏上一座铁链悬桥，就在将要到达对岸时，突然桥身塌毁，官兵纷纷落水;几十年后，俄国彼得堡卡坦卡河上的一个桥也发生了完全类似的事件;1905年3月2日俄国国家杜马在道利达宫召开会议，为通风开动了阁楼顶上的电扇，不料引起共振导致顶棚塌落。但不是所有共振都那么可怕，许多乐器发出的美妙音乐，正是利用了共鸣也就是共振的缘故。