准周期走向混沌

准周期走向混沌

实际上频率比在某个分数值邻近的小范围内，都可以发生共振或锁频，也就是说，把周期运动附近的准周期运动也锁进去了。所以，每个共振处形成一个小区域，且呈鸟舌状称为阿诺德舌头，如图5－8所示。

它是以频率比Ω=为横坐标、耦合强度K为纵坐标画出来的。各舌头的相对宽度不一样，与有理数的性质有关。如果以频率比Ω为横坐标、整数比为纵坐标，画出来的就是前面提到过的魔梯(见图5－9)。适当缓慢地改变驱动频率，每当振子被锁定在各个频率时，形成一个个宽度不等的小平台，构成台阶式序列。由于两个有理数之间还存在无穷多个有理数，所以台阶有无穷多个。这一奇特行为具有普遍性。如果将台阶序列中的某一部份放大，又看见一个台阶序列与原序列相象，说明魔梯具有自相似结构。

图5－8　阿诺德舌头

图5－9　魔梯

共振形成之后稳定吗?这不能一概而论，有的稳定，有的就不稳定。月球自转频率与其绕地球的公转频率是1:1共振，是稳定的，地球上的人永远只能看到月球的同一面。小行星带中与木星成的共振，就是不稳定的，它引起混沌轨道，使当初均匀分布的小行星中，处于共振处的那些被抛向它方去了，留下较大的空隙(见第四章第7节)。

每个阿诺德舌头对应的周期性共振状态是否稳定，与该处频率比的分数值的性质有关，而且还随着耦合强度的变化而变化。从图5－8看出，当K变大时，舌头变宽，把准周期的也扩进共振区。在每个舌头的共振区内振子作着周期运动，舌头变宽表面上周期运动所占的区域增加了，似乎更稳定了，其实不然。本来舌头彼此相距并不远，相邻舌头上的周期运动，偶尔会相互“串门儿”，即从一种周期运动模式跳到另一种周期运动模式。如果舌头变宽到彼此连接或重叠，那么振子的各种周期运动模式就连成一片了，它具有所有可能的周期运动模式了，但并不能按照某一特定的周期模式来运动，变成非周期的运动了，而且在连成一片的共振区内随机地运动，不再合拍。这就成了混沌运动，锁频锁不住时就出现了混沌!

这种两个频率相互耦合、竞争，通过共振锁频区的重叠，由准周期性运动通向混沌运动的方式，与第二章中见到的由倍周期分岔走向混沌的方式是不同的，这是另一种通向混沌之路。范·德·波尔听到的混沌，正是由这种方式产生出来的，他在听到所谓无规则噪声之前，听到的正是一个个阿诺德舌头对应的共振，即规则的锁频频率上的声音。当他调节他的电路参数时，实际上是调节耦合强度K，类似于调收音机上的调谐旋钮。先调出一个个锁频频率，对应的是一个个周期运动，他听起来很有节奏;后来调得所有周期区相连在一起，于是吵杂不堪，毫无节奏，不再是周期性振荡了，貌似噪声，其实混沌来临。原来不规则的混沌与规则的周期运动竟相距这么近，关系如此密切。

噪声与混沌表面上或者初看起来，都是无规则的，都有随机性，其实是不同的。噪声是一种外界干扰，完全随机而不可预测，只服从统计规律，不服从确定性规律，对初始条件是不敏感的;混沌则是一种系统内部的随机性，它仍服从决定性规律，可用确定的量描述并进行短期预测，只是由于具有对初始条件的敏感依赖性而不能做到长期预测。

这种由准周期运动通过周期区重叠而通向混沌的现象，并非纸上谈兵似的空泛议论，在科研实验中已发现不少。一个典型例子就是同步加速器和对撞机的储存环中被加速粒子的运动。被加速粒子一方面沿轨道以频率ω运动，另一方面还受到使其偏离预定轨道的其他作用的影响，而且后者往往是非线性的，二者耦合可能导致混沌。粒子在储存环中运动有的要绕行10¹¹周，轨道的稳定性是一个非常重要的问题，因此，如何避免共振和出现重叠区，进而避免混沌，就成了加速器和储存环设计中的必须仔细考虑的一个重要问题。