维数不一定是整数

维数不一定是整数

维数的概念是大家所熟悉的，它是描述几何对象特征的一个很重要的量，生活中也常用到。比如说体是三维，面是二维，线是一维，点是零维。确定几何对象中任一点的位置所需要的独立坐标的个数，就是该几何对象的维数;有时也把物体运动的自由度数目叫做维数。比如火车只能在铁路上来回运行，不能横走也不能飞行，只有一个自由度，所以是一维运动。轮船作二维运动，飞机作三维运动。这种从经验出发的定义有时会带来麻烦，比如，一维的线如果曲折盘绕占据整个二维面，那结果是一维还是二维?又如，缠绕在一起的毛线团算几维的呢?

曼德布罗特对“毛线团是几维的?”这一问题的回答是，这取决于观测者的观点，从远处看，它是个点，所以是零维;近处看是个球，因而是三维;进去看是一根线绕成的，故是一维的;若用显微镜去看毛线，线变成三维的圆柱。这是维数的相对性。其实维数也有绝对性的一面，比如将一个立方体变成八等份，每一份比原来立方体都小了，但作为立方体它没有变，其实就是维数没有变，都是三维的。曼德布罗特之所以把具有自相似性的几何体作为分形来统一研究，原因就在于有自相似性的几何体，在它们缩放过程中有一个不变量，那就是维数，而且维数不见得非整数不可，可以是分数。

图6－2

为了确切定义维数，找一根单位长度的线段，一个边长为单位长度的正方形，一个边长为单位长度的立方体，进行研究。若将线段及各边二等分，则分别得到2、4、8个相似形体，如图6－2所示，即用原长的作尺子测量原来的单位形体，得到相似形体的数目可表示为:

其中，方次的1、2、3分别是各形体的维数。将(6．1)式归纳为一般式，把线段原长m等分，取其中一份即ε=作尺子测量原形体，得到相似小形体的数目为:

其中方次d是表征几何形体特征的量，在缩放过程中它是不变的，叫做维数，可由下式求得:

显然N(ε)是尺子大小的函数，尺子ε越小，量出来的相似形体个数N(ε)越多。按(6．3)式计算维数，对所有规则的相似形体都可适用，但是算出的维数值可以是1、2、3这样的整数，也有可能是分数，所以是(6．1)式的推广。但不适用于计算不规则形体的维数，为了适用范围更大，再做推广:把尺子ε尽量缩小，并以ε为半径的小球去覆盖整个形体，若最少需要N(ε)个小球，则该形体的维数为:

按此式定义和算出的维数又叫容积维数。它与豪斯道夫(F．Hausdorff)1919年引入的维数定义很相近，故又称豪斯道夫维数。对不规则形体算出的维数往往是分数，所以也叫分维。针对各种复杂对象的特殊情况，人们在实践中还演变出多种分维的计算方法，这里就免谈了。不过可以告诉读者一些很有意思的分维数据:人肺2．17;血管2．3;树枝1．5;银河分布1．2;云1．35。