基于−的故障时频分析

第十一章　脉冲噪声环境中基于FLOWVD和FrDT−CWT的设备故障时频监测与分析

第一节　基于FLOWVD的故障时频监测

Wigner-Ville分布（WVD）在时频分析领域占有很重要的地位，不仅因为它是最早问世的二次时频分布，还因为其他所有二次时频分布都可以看作是它的加窗形式［88］。与其他的时频表示如短时Fourier变换谱、小波变换中的时间尺度谱相比，它能更好地描述信号的时变特征［200］。Qingfeng Meng等［201］应用Wigner 分布方法来进行旋转机械的故障诊断；石林锁等［202］研究了基于WVD的谱峭度法在轴承故障诊断中的应用；刘立州等［203］将Wigner分布与分数阶傅里叶变换（FrFT）相结合，提出了一种基于FrFT的Wigner分布（分数阶Wigner分布）的机械故障诊断方法。

在传统的信号处理中，高斯信号模型占据主导地位，这种信号和噪声的高斯分布的假定在许多情况下是合理的。但是在实践中人们发现，在诸如地震勘探、水声信号处理、生物医学工程等许多领域所遇到的信号和噪声往往是非高斯分布的。后来出现了关于高阶谱和高阶累积量研究的热潮，如：李志农等［204］研究了基于Wigner高阶谱的机械故障诊断方法；左长青等［205］研究了矢Wigner高阶谱在齿轮故障诊断中的应用；刘卫兵等［206］研究了基于局域均值分解和Wigner高阶矩谱的机械故障诊断方法。紧接着又发展了基于分数低阶统计量的信号处理理论和方法，如：龙俊波等［207］研究了基于稳定分布噪声的分数低阶自适应时频分布；边勇等［208］研究了基于分数低阶统计模型的自适应滤波器组谱估计方法；Yang Liu等［209］讨论了循环稳定信号在α 稳定分布的脉冲噪声环境下的滤波问题。α 稳定分布就是包括高斯分布在内的适用范围很广的一种分布，其特征指数α∈(0,2]，当α ＝2并且另外一个参数β ＝0时，它就是高斯分布，除此之外就是基于分数低阶统计量的非高斯分布。本文通过对某现场机械设备运行的振动信号进行分布特性分析，指出这种机械设备振动信号的分布符合基于分数低阶统计量的非高斯分布——分数低阶α 稳定分布。

在无噪声或高斯噪声条件下，WVD具有很好的特性，然而在很多实际情况下，噪声并不是高斯分布的，而往往服从分数低阶α 稳定分布。因此，研究在分数低阶α 稳定分布下的WVD具有很强的实用价值，分数低阶Wigner-Ville分布（Fractional Lower Order Wigner-Ville Distribution，FLOWVD）实际上是一种抗噪能力更强的WVD。S. Chandra Sekhar等［210］用伪Wigner分布来计算信号的瞬时频率，本章将研究基于FLOWVD的机械设备故障时频监测方法。

一、分数低阶Wigner-Ville分布及其算法

1. 分数低阶Wigner-Ville分布定义［211、212、213］

α 稳定分布比高斯分布具有更普遍的意义，能够描述更加广泛的数据。其特征函数表示如下：

式中，

参数α∈(0,2]为特征指数，参数β∈(−1,1)为对称度参数，参数γ≥0为分散度参数，参数δ 为均值的位置参数。α 用来度量分布函数拖尾的厚度，其值越小，拖尾越厚，信号的脉冲特性越显著。α =2时与高斯分布一致。

由以上参数α 的取值范围可知，在二阶和高阶统计量之外，还存在低于二阶的分数低阶统计量，因此，基于α 稳定分布的WVD就称为分数低阶Wigner-Ville分布（FLOWVD）。

常规WVD是一种得到广泛重视和应用的时频分析方法，其连续和离散的定义式如下：

设x(t)为一连续时间信号，则：

离散形式为：

式中，x*(t)是x(t)的复共轭。

FLOWVD是在常规WVD的基础上，根据分数低阶α 稳定分布的相关理论，把上式中x(t)换成相应的分数低阶α 稳定分布下的表达式x<b>(t)，x*(t)换成相应的x−<b>(t)，所以FLOWVD的连续和离散的定义式如下：

连续形式：

离散形式：

式中，。

2. 分数低阶Wigner-Ville分布算法

WVD是信号x(t)的瞬时相关函数x(t+τ/2)x*(t−τ/2)关于滞后τ的Fourier变换，若信号x(t)以服从分数低阶α稳定分布的形式x<b>(t)表示，则FLOWVD就是信号x<b>(t)的瞬时相关函数x<b>(t+τ/2)x−<b>(t−τ/2)关于滞后τ的Fourier变换。因此，仿照伪WVD（Pseudo-WVD）的算法，FLOWVD算法设计如下：

（1） 确定信号x(t)在α 稳定分布下的特征指数α 值，按0<b<α/2取定b值；

（2） 将实信号x(t)经Hilbert变换转换成解析信号y(t)；

（3） 设w(k)是中心在n处的时间窗函数，且具有长度M=2L−1，则离散FLOWVD表达式如下：

式中，p(k)=w(k)w*(k)，mπ/M是圆频率。对每个固定的时刻n计算上式即得到FLOWVD。

二、机械设备故障时频监测方法

在机械设备状态监测中对时频的监测是一个重要的考查内容［201］，因为时频监测能同时考虑时域和频域信息，能尽可能完善地反映设备的运行状态。本节提出基于FLOWVD的机械设备故障时频监测方法，该方法通过监测设备的频率的时变信息来判断设备状态。

1. 仿真信号

（1）无噪声情况下的调频信号

取调频信号x=cos(400πt+10cos(20πt))，采样频率为2 000Hz，采样点数512点。其WVD和FLOWVD（取参数b=0.1）如图11.1所示。可见：在无噪声情况下FLOWVD的时频表现效果丝毫不比WVD差。

图11.1　无噪声情况下的调频信号的WVD和FLOWVD

（2）加上非高斯噪声情况下的调频信号

现加上人为噪声，该噪声在分数低阶α 稳定分布下的参数取值为：α =1.5，β =0，γ =0.3，δ =0，在高斯分布下参数取值为：α =2，β =0，γ =0.3，δ =0。调频信号和采样频率同图11.1，采样点数取512点。

各信号的时域图如图11.2所示，混合信号的WVD和FLOWVD如图11.3所示。对比图11.3（c）和图11.3（d）可见：在加上高斯噪声情况下FLOWVD 比WVD没有明显的优势，但在表达时频特征上丝毫不逊色。而对比图11.3 （a）和图11.3（b）可见：在加上非高斯噪声情况下FLOWVD仍能很好地表现出混合信号的时频特性，而此时WVD却表达不清。总之可以说FLOWVD明显比WVD有更好的抗噪能力。

图11.2　时域信号（一）

图11.2　时域信号（二）

图11.3　加上高斯噪声和非高斯噪声情况下的调频信号的WVD和FLOWVD

2. 实际信号

以下是鞍钢某轧机950轴承座上测得的实际信号，故障情况下采集512点，采样频率2 400Hz，采集的是竖直方向上的振动信号。电机转速：80转/分，功率：4 760W，这是典型的低速重载工况。该实际信号的原始和滤波后的时域及频谱图如图11.4所示。

图11.4　实际信号的原始和滤波后的时域及频谱图

故障情况下该振动信号在分数低阶α 稳定分布下的参数取值为：α =1.26，β=0.21，γ =0.92，δ=−0.13。其P−P概率图（Probability-Probability plot）如图11.5所示。P−P图以样本的累计概率为横轴，以指定理论分布的累计概率为纵轴绘制散点图，主要用于验证样本数据是否服从某个指定的分布，当数据符合指定分布时，P−P图中各点近似呈一条直线［214］。图11.5上图是用α 稳定分布拟合时的P−P图，图11.5下图是假设数据为高斯分布时的P−P图。从图11.5可以看出：该设备在故障情况下的振动信号的分布服从分数低阶α 稳定分布，而对高斯分布误差相对较大。

图11.5　分布拟合数据时的P−P图

FLOWVD中取b=0.2。该实际信号经滤波后的WVD和FLOWVD如图11.6所示。又测得该设备在正常工况下的实际信号经滤波后的WVD和FLOWVD如图11.7所示。

图11.6　实际故障信号经滤波后的WVD和FLOWVD

从图11.4、图11.6、图11.7中可以看出，轧机在故障情况下受到了很大的周期性的外力的作用，从图11.6中的WVD和FLOWVD都可以看出这个外力产生的频率约为3.5/512*2 400=16.4Hz，正常工况下的约50Hz的频率受到该16.4Hz的调制，但是该图中FLOWVD比WVD能更清晰地表现这种时变特征。图11.7中也是FLOWVD比WVD能更清晰地表现频率的时变特征。

图11.7　实际正常信号经滤波后的WVD和FLOWVD

三、小结

（1） 在机械设备故障诊断领域引入了一种比常规Wigner-Ville分布（WVD）抗噪能力更强的分数低阶Wigner-Ville分布（FLOWVD），仿真信号和实际信号的验证表明，FLOWVD是一种比WVD更具有实际应用价值、应用更加广泛的新的时频分析工具。

（2） 机械设备运行现场的振动信号的统计分布特性有些服从分数低阶α 稳定分布，因此在作机械设备的故障诊断时要考虑噪声的非高斯分布特性。

第二节　基于FrDT−CWT的故障时频分析

故障诊断技术给工业自动化等各行业的发展带来了巨大的经济效益，成为各国研究的热点。旋转机械是工业部门应用最广泛的一类机械设备，例如轧机、机床、风机、汽轮机、压缩机等，在冶金、电力、资源、交通、石油化工以及国防等各行各业中都发挥着不可替代的作用。对这些关键设备进行实时状态监测及故障诊断可提高设备的可靠性，避免重大事故的发生［215］。轴承、齿轮和转子是旋转机械的重要组成部分，也是非常容易且经常发生故障的部件。在需要系统地进行状态检测的地方，大部分测量都是针对这些旋转部件展开的，通过分析这些部件的特征频率等信息来判断是否有故障及故障类型。由于受传感器测点安装位置的限制、现场工作环境的恶劣程度等各种因素的影响，这些部件发生的故障信息有时几乎完全淹没在强背景噪声中，尤其是众人很关注的早期故障信息更是令人难以判断。开展对旋转部件的故障诊断研究尤其是弱故障和早期故障分析是现实的紧迫需求，弱故障信息提取一直是故障诊断领域研究的难点。以旋转部件为研究对象，将分数阶对偶树复小波变换（Fractional Dual-tree Complex Wavelet Transform，FrDT−CWT）在故障诊断领域尤其是弱故障和早期故障信息提取的应用进行研究，利用其多分辨率、平移不变、时频旋转以及精确重构等对提取弱信息至关重要的特性，明显增强在分析旋转部件出现故障时的降噪和特征提取的效果，进一步提高故障诊断确诊率。

FrDT−CWT是Gaurav Bhatnagar等［216］在最近才提出来的一种新的信号处理工具，它融合了对偶树复小波变换（Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DT−CWT）和分数阶Fourier变换（Fractional Fourier Transform，FrFT）的优点。DT−CWT在常规的离散正交小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）和复小波变换的基础上发展而来，是一种比DWT等其他小波方法有更多优良特性的小波变换形式。FrFT是传统Fourier变换（Fourier Transform，FT）的广义化，它在保留了FT的性质和特点的基础上又添加了其特有的新优势。DWT和FT及其相关技术在目前应用非常广泛，那么FrDT−CWT及其相关技术也应具有良好的应用前景，本节提出的基于FrDT−CWT的一些方法除了能提取旋转部件的弱故障信息外，还能应用于其他一维信号的分析，甚至是二维图像和三维视频的处理。本节所述方法的应用可尽量避免灾难事故的发生，保障现场工作人员的人身安全，同时也为企业节省大量开支。

一、国内外研究现状及发展动态分析

轴承、齿轮和转子是旋转机械设备的重要且故障发生频率很高的工作部件，状态监测和故障诊断实践经常是通过监测它们的特征频率来判断机器是否运转正常或何种故障。但由于种种原因，这些部件所产生的故障信息往往非常微弱，且信噪耦合情况也异常复杂。因此实际测得的振动信号用于分析故障时有必要先进行一定的降噪处理，然后再进行频谱分析以及其他方法的故障分析。

1. 分数阶Fourier变换的提出及其局限性

传统的FT是分析和处理平稳信号的一种标准且有力的工具，在故障诊断实践中占有极其重要的地位。它将信号在整体上分解为具有不同频率的正弦分量，得到的是信号的整体频谱，不能获得信号的局部特性。FrFT是FT的一种广义形式［217，218］，可解释为信号在时频平面内绕坐标轴原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶Fourier域上的表示方法，当这个角度为π/2时即旋转到了频率域上，此时即为传统FT。FrFT随着变换阶数连续增长而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征。FrFT近年受到很多研究人员的重视，因为它具有很多FT所不具备的性质，其中跟本项目相关的最重要特性就是它的时频旋转特性及信号重构功能，它可以滤除用常规方法所无法滤除的复杂背景噪声。陶然等［218］指出对于一般信号，如果信号和噪声在时域没有耦合，可以在时域通过合适的滤波器滤掉噪声（见图11.8（a））；如果信号和噪声在频域没有耦合，那么可以在频域通过合适的滤波器滤掉噪声（见图11.8（b））；如果信号和噪声在时域、频域都存在耦合（见图11.8（c）），则不可能仅仅通过时域或频域滤波来完全滤除掉噪声，但从其时频分布可以发现通过旋转坐标到某一角度来解除耦合，在该旋转坐标系下能够滤除掉噪声，即在某个角度的分数阶Fourier 域滤波能够得到更好的效果。通常信号与噪声变换到某阶分数阶Fourier 域后能够完全或大部分分离开，如果一次变换不能达到目的，那么可以考虑级联多次不同阶数分数阶Fourier 域滤波来实现。

图11.8　信号和噪声的时频联合分布

FrFT扩展了FT的应用［219］，但它本质上只是FT的广义化，仍不能在时频图上明确表征信号的时频局部特征。

2. 分数阶小波变换的提出及其局限性

窗口Fourier变换引入了时频局部化思想，但它的窗口大小是固定不变的，不能敏感地反映信号的突变［220］。小波变换（Wavelet Transform，WT）作为处理时变信号的有力工具而发展起来。在WT中，可以根据不同的需要构造不同的小波函数，正是有不同的小波基可以选择，使得WT在旋转机械故障诊断中有很强的适应性［221］，在一定程度上能够满足不同的需要。国内外学者对WT及其相关技术在故障诊断领域中的应用状况进行了详细的研究，如：徐增丙等［222］提出了一种基于小波灰度矩向量与连续隐马尔可夫模型的滚动轴承故障诊断方法；张邦基等［223］结合小波和粗糙集理论的优点，提出了一种基于小波变换和粗集理论的故障诊断规则获取方法并成功应用于滚动轴承的故障诊断；张进等［224］提出一种时间——小波能量谱信号处理方法以提取出振动信号中冲击成分的时域和频域特征。但WT有些不足［104］，WT的具体实现形式有多种，其中离散正交小波变换由于缺乏平移不变性等缺陷而阻碍着它的进一步应用；采用多孔算法进行非下采样的小波变换（如平稳小波变换）可以解决不具有平移不变性的缺点，然而这样做会导致计算量的急剧增加，且使得输出信息存在很大的冗余，给后续处理带来冗余计算；常规复小波在给变换带来一定的冗余的同时可以克服这个问题，但是超过一层分解的复小波变换的输入是复数形式，要构造它的完全重构的逆滤波器非常困难；连续小波变换计算量大，且实际应用时通常只在某段尺度上进行计算和分析。

在FrFT和WT的基础上，有学者提出了分数阶小波变换（Fractional Wavelet Transform，FrWT）［225，226］。FrWT融合了FrFT和WT的优点，在信号和图像处理领域成为一个有力的分析工具。这种小波变换多了一个可选因子即变换阶次，且这个阶次可以是分数。在此基础上，有学者提出了新的信号降噪方法，如：申永军等［227］利用不同信号在分数小波域具有不同的相关性的特点、黄雨青等［228］利用输出信号信噪比作为判据并采用遗传算法寻找分数阶小波变换的最优分数阶值，分别通过FrWT处理，实现分数阶小波域内的信号去噪。

但FrWT仍然存在WT的局限。

3. FrDT−CWT的提出及其优势

为了解决WT存在的问题，Kingsbury和Selesnick等［229］提出并详细论述了DT−CWT的实现及应用优势。这种DT−CWT既满足完全重构条件，又保留了复小波的一些优点。DT−CWT相当于用两个实的DWT通过在分解的每一层都使采样率加倍，从而获得近似平移不变性，它能显著改善DWT等普通小波的某些缺陷，例如：具有优良的平移不变性、良好的方向选择性、完全重构特性、有限的冗余度、计算量小和计算效率高等。

在2012年，Gaurav Bhatnagar等［216］针对FrFT和DT−CWT各自的优点以及WT和FrWT的不足，首次提出了FrDT−CWT。其执行过程是：对输入的时域信号先进行FrFT再进行DT−CWT，由此得到Fourier-complex wavelet域（傅里叶——复小波域，即：分数阶对偶树复小波时频域）的输出信号。当分数阶参数α=0时，FrDT−CWT就是DT−CWT；当α=π/2时，经过FrDT−CWT后就得到对偶频率变换信号，不同的α 就得到不同的输出信号。对信号在分数阶Fourier域和在Fourier−Complex Wavelet域分别进行一定处理，就可进行特征提取；或者处理之后利用精确重构特性进行逆变换，就得到降噪后的信号。

可见，FrDT−CWT兼具FrFT和DT−CWT的优良特性，即时频旋转、多分辨率、平移不变、精确重构和较小计算量等对快速提取弱故障信息有很大影响的性质。由于FrFT可连续展示信号从时域逐步变化到频域的所有特征，原始振动信号经FrDT−CWT处理可被映射到连续变化的全新的时频域空间，此变化空间包含了极为丰富的各种状态特征信息。

二、基于FrDT−CWT的故障时频分析

传统的Fourier变换可有效地分析平稳信号，而且很多方法如包络分析、双谱分析等都需要用到Fourier变换。但对于众多的非平稳信号采用小波变换能起到好的分析效果。一般的小波分析方法往往是采用给定的小波参数，把信号分解到各个频带，然后对信号做进一步的分析，比如现有的大致可分为3类的小波滤波方法：小波域相关滤波、基于奇异性检测的滤波和小波域阈值滤波。这些方法在实际应用中均取得很好的效果，但在有些地方不尽如人意。匹配追踪方法是Mallat等人在1993年提出的一种自适应的信号分解算法，目前已在信号处理中得到了大量应用，用来实现信号的雷达辐射源识别、特征提取和故障诊断等。其思想是把信号在一个冗余的原子库上展开，选择和信号匹配的原子来实现信号的自适应表示。如果原子与信号成分相似，则能有效提取出信号中的特征，对于待处理信号，选择合适的原子非常重要。因为它可以精确重构，所以如果在重构过程中进行处理，可以达到提取信号的目的，也即相当于降噪。对偶树复小波变换（Dual Tree Complex Wavelet Transform，DT−CWT）同时采用两个互为Hilbert变换的小波对处理信号，通过两个不同系统的综合信息来更有效地表示信号中各向异性的奇异性。

由此提出一种基于FrDT−CWT的匹配追踪特征信号提取方法，用互为Hilbert变换对的小波作为待用原子库。对仿真信号和试验得到的信号分别用匹配追踪方法进行了处理，并和基于DWT的匹配追踪方法结果进行了比较。结果表明基于FrDT−CWT的匹配追踪方法能更有效提取状态信号中的特征，在低信噪比时能获得比其他小波方法更多的特征信息。

匹配追踪信号提取过程示意图如图11.9所示，基于FrDT−CWT的匹配追踪信号提取方法流程图如图11.10所示。仿真的冲击信号及其叠加高斯白噪声的信噪比约为−7.5dB左右的染噪信号、用基于DWT的匹配追踪方法提取的信号以及用基于FrDT−CWT的匹配追踪方法提取的信号分别如图11.11和图11.12所示。从图11.11和图11.12中可看出基于FrDT−CWT的故障时频分析效果是很好的。

图11.9　匹配追踪信号提取过程示意图

图11.10　基于FrDT−CWT的匹配追踪信号提取方法流程图

图11.11　仿真的冲击信号及其叠加高斯白噪声的信噪比约为−7.5dB左右的染噪信号、用基于DWT的匹配追踪方法提取的信号以及用基于FrDT−CWT的匹配追踪方法提取的信号

图11.12　仿真的冲击信号及其叠加高斯白噪声的信噪比约为−7.5dB左右的染噪信号、用基于DWT的匹配追踪方法提取的信号以及用基于FrDT−CWT的匹配追踪方法提取的信号