数学模型技术

11数学模型技术

随着科学技术的迅速发展和计算机技术的不断进步，数学应用不断扩大，早已突破传统的物理、力学、普通工程技术的范围，已经扩展到生物、化学、医学、气象、人口、生态、经济、管理、社会等极其广泛的领域。与此同时，很多领域又涌现大量的数学定量问题，有待人们去研究与开发。把数学与客观实际问题联系起来的纽带是数学模型，即通过调查、收集数据、资料，观察和研究其固有特征和内在规律，抓住问题的本质，提出假设，经过抽象简化，建立反映实际问题的数量关系，这就是数学模型。再运用数学的方法和技巧，去分析和解决实际问题。若问题具有普适性或其他特殊要求，再利用计算技术制成数学软件，这就是数学模型技术。

数学模型有如下一些类型。

(1)静态和动态模型

静态模型是指要描述的系统各量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差分方程来表示。

(2)分布参数和集中参数模型

分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性，而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。在许多情况下，分布参数模型借助于空间离散化的方法，可简化为复杂程度较低的集中参数模型。

(3)连续时间和离散时间模型

模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。

(4)随机性和确定性模型

随机性模型中变量一般是随机变量或至少有一个是随机变量。确定性模型不允许有随机变量。

(5)参数与非参数模型

用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型。建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数。非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析得到的。

(6)线性和非线性模型

线性模型中各量之间的关系是线性，可以应用叠加原理。非线性模型各变量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理。

我们以排队论为例来介绍建立模型的过程，排队论也称随机服务系统理论。它是由实际问题抽象出来的。如商店购物、轮船进港、飞机降落、病人候诊、机器维修等均是原型。商店购物的人抽象为“顾客”(候诊病人、着陆飞机、进港轮船等)，为其服务的称为“服务员”，“顾客”随机地来到服务系统。由于所需服务的时间不一定确定，随机地造成排队现象。研究排队问题就是要提高运行效率，提高服务质量。对顾客源为无限(相对说)、顾客是单个来、相互独立、一定时间地到达，服从泊松分布，到达过程是平稳的，排队是单队，队的长度不限，先到先服务，各顾客的服务时间服从负指数分布且相互独立，若同时还假定顾客到达时间间隔和服务时间是相互独立的，可以证明，顾客相继到达的时间间隔独立且为负指数分布的主要条件是输入过程服从泊松分布。以λ表示单位时间内平均到达的顾客数，μ表示单位时间能服务完的顾客数，ρ=λ/μ表示相同时间内顾客到达的平均数与能被服务的平均数之比，称为服务强度，ρ_n(t)表示时刻为t、状态为n的概率，则可得

P_n(t)=(1－λ/μ)(λ/μ)ⁿ

这样的模型有相当广泛的代表性，因此可制成相应的软件，成为一项数学技术，并可服务于不同行业的排队系统。