经济系统中的数学技术

9经济系统中的数学技术

经济系统的核心问题是如何分配短缺的资源，使其在既充分竞争、要求又无法满足的情况下能够正常运行到目的要求。如分析什么是经济系统运行的最佳状态问题，是经济系统中要解决的一个焦点问题。经济学家、数学家一直应用数学上各种各样的技术来探讨这个十分重要的问题。数学技术在不断更新，使其理论能得到发展，新发现的数学技术可以得到应用。微积分、集合论、拓扑学、实凸分析都起了重要的作用。

在早期发展起来的有关消费者和生产者行为的理论中，古典的拉格朗日乘数技术曾在局部最优化的校验中居支配地位。这可以追溯到20世纪30年代和40年代。在这段时期中，希克斯和萨谬尔逊利用微积分一方面来探讨平衡的稳定性，另一方面对被称为比较静力学的灵敏度进行分析，因而将沃尔拉斯一般平衡结构的领域向前推进一步。

凸分析方法第一次由诺依曼于1928年创始的对策论中出现，而平衡组态的存在性则于1938年在一个扩充模型中出现。诺依曼的极大极小定理起源于这些论文。

第二次世界大战期间，由于诺依曼等努力的结果，数学的焦点已从微积分转移到对策论和线性规划上去。20世纪50年代经济学家和数学家的著作中，集合论和拓扑学的技术占据了支配地位，从而导致了沃尔拉斯完全竞争的模型的基本性质:平衡的存在性以及按照佩尔图准则的平衡的福利性质。德布勒1970年在经济学中引进了微分拓扑学的技术。他证明如何应用需求的可微性来表明“多数的”(即正则的)经济仅有有限个平衡。

自第二次世界大战以后，经济系统描述的方法越来越数学化，而且发现这些数学模型是形形色色的非线性模型。今天，高层次的经济学期刊经常可见到的论文中应用了微分拓扑学、泛函分析以及随机过程。

《数学经济研究动态》是由著名经济学家撰写的系列论文集刊，用于阐明在经济系统中数学方法所包含的范围和产生的能量。这些论文涉及对策论、沃尔拉斯平衡的存在性、唯一性及其计算方法、分散资源分配过程的性质和含义，以及“使之得到满足”而非最优化行为的概念。数学方法包括:用一种精密的“高等微积分学”对有限维向量空间中定义的约束最优化问题进行调查、隐函数定理、萨德(Zard)定理、在计算非线性地图上一固定点时发展其数值算法、强大数定律以及马尔柯夫链在一个可数的状态空间中的理论。

一个“需求函数”可以定义为“价格的一个n维向量到商品的一个n维向量的映射”。它代表一位消费者在预算的约束下最优化的决策。研究沃尔拉斯一般平衡模型的中心问题，要表明存在着一个价格体系，它使所有市场上的供应与需求同时相等。求证一个沃尔拉斯平衡存在性，相当于证明在那个未知的价格体系中，一个非线性方程组至少有一个非负解。还有确定可能解的个数。微分拓扑学在解决这个问题上起着决定性的作用。对于初始资源的每个向量都可以定义一个经济;经济空间可以物资空间来识别。如果需求函数都是可微的，而且在每一个平衡价格上它的雅可比行列式都有一个极大的秩，那么这个经济是正则的。非正则的经济在经济空间中形成勒贝格零测度的一个闭集。一个正则的经济都有一个奇数的平衡。

指数定理与一个映射的次数有着密切的关系。一个沃尔拉斯平衡的指数是指在已知的平衡上以需求函数的雅可比行列式为依据的一个矩阵的行列式的正负号。所谓由经济理论作出的一个正则化，是指需求的雅可比行列式的矩阵是退化的，因此它不能直接用到指数的计算中去。指数定理阐明，对于每一个正则经济，所有平衡上的指数之和等于(－1)^n－1，其中n是物资的数字。指数定理有两个关于正则经济的推论:第一，有一个奇数的沃尔拉斯平衡，即一个沃尔拉斯平衡一定存在。第二，如果在所有的平衡上指数有一个一致的正负号，则平衡价格体系仅有一个。当经济需求函数的参数变化时，隐函数定理可以相应地用来计算正则经济中平衡价格的变化。

不可靠性是经济系统中一个重要方面。信息和不可靠性是两个对偶的概念。描述一个代理商可获得的信息，相当于描述这个代理商在经济领域所面临的不可靠性的程度。一个对策的形成，取决于每一个参与者所能获得的信息的规格，也取决于计算期望实用支付所应用的恰当概率。期望实用结构最重要的特征，就是参与者的支付函数在世界各地可能状态下所指定的“概率中是线性的”。20世纪80年代有些学者对非加法期望实用理论进行了探索工作。加法的期望实用模型中出现了几个自相矛盾的论点。

对策论中一个十分重要的结果，就是这个阐明一个非合作对策具有一个平衡解的条件的纳什定理。纳什平衡概念的存在性理论适用于加法的期望实用结构。它也应该适用于非加法的期望实用模型。纳什平衡大量地存在于许多模型之中。在所有非合作选择的理论中，信息起着决定的作用。

数学技术在经济系统中的应用到了无处不在的程度。20世纪90年代，中国有位经济学教授到美国康乃尔大学进修经济学课程。他翻开参考书，发现通篇都是数学，致使他感到，在经济学中，数学虽不是万能的，但没有数学是万万不能的。事实上确实如此。任何一个新出现的数学新概念或新理论，很快就会成为研究经济系统的工具。

以混沌技术为例。经济系统的停工斗争的数据中发现了低维混沌，这是1986、1987年的发现。1986年在金和银的收益率中发现存在混沌。1988年，有人计算了加拿大宏观经济数据的维数。1989年又有人对美国股票价格进行研究，在每周股票指数中算出了维数，大约为“6”。“搅拌”以后其维数增加，结果表明这数据中存在混沌。

经济学家发现经济数据中存在非线性的证据十分充分。检验是否存在非线性是一个十分重要的问题。人们知道，非线性是存在混沌的必要条件，当然不是充分条件。这足以动摇古典经济学的根基。因此，经济系统本质上应是一个复杂的非线性系统。宏观经济变量的不规则涨落，其根源是经济系统内部的非线性相互作用。经济变量的变化本质上并非随机过程。当然，外在的随机因素是存在的。

经济系统作为具有能动意识的人之间的相互作用的结果，必然具有内在的不确定性。对于经济系统中出现的这种内在的不确定性的研究，是把系统演化中的决定论的过程与随机过程联系起来以认识“无序中的有序”和预见系统演化路径的唯一合理的手段。

经济系统中不可逆性、多重因素反馈环及不确定性的存在使经济系统本身处于一个不均匀的时空中，具有极为复杂的非线性特征。非对称的供给需求、非线性的经济周期波动、非对称的信息、货币的对称破缺(符号经济与实物经济的非一一对应)、经济变量迭代过程中的时滞等都是这种非线性的特征表现。

中国经济学家用连续的微分方程替代离散的差分方程来描述货币运动，得到了基本周期在4．7年以上的1．47维的货币奇怪吸引子。这意味着:在经济系统演化过程中，虽然会出现不规则的突变行为，但正是这种突变中存在着良好的结构，孕育着新结构的产生。这为控制经济系统的路径以避免混沌出现提供了一种全新的技术。

许多经济学家用混沌技术探讨了制度经济学问题，得到制度的起源对初始条件的敏感性。有些学者于1989年利用建构的关于周期非均衡货币储蓄模型，对我国1953年以来的消费倾向数据进行了计算机模拟，得出了引人注目的重要结论:参数值大于3时，开始出现信用期分岔;在参数值等于3．78时，出现了消费者行为的混沌现象，此时消费倾向既可能大于1，也可能接近0．25，就是说，既可能出现超前消费，也可能出现过度的强制储蓄，这同我国1986年国民经济运行的实际情况是完全吻合的。

综上所述，可得到:从现实的经济数据中可证明混沌的存在;证明了经济系统的状态存在“变化、增长、衰退、波动”是不可避免的;经济系统中发现存在于无序中的有序，这是经济系统预测的途径;通过控制经济系统的序参量而避免系统结构的解体。