沙漏超失重

沙漏超失重

Overweight and Weightlessness of Sandglass

沙漏也叫做沙钟，是一种古老的计时装置。如图1所示的沙漏是由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成的，根据沙子从上面玻璃球漏到下面玻璃球的数量来计量时间。试想把沙漏悬挂起来，在沙子漏下的过程中，沙漏是否会出现超重与失重现象？

图1　沙漏

实验装置

自制沙漏、计算机、力传感器及其相应软件。

实验所用沙漏自制，原料包括两个大塑料可乐瓶、沙子、不干胶等。将其中一个可乐瓶的底部切除，另一个的瓶颈部切除，用不干胶粘贴在一起构成一个大容器C，其高度为H；容器C的瓶口与切除下来的瓶颈口对口用不干胶连接，并在这两个瓶口中间做一个移动开关B，如图2所示。沙漏悬挂在力传感器A的下端，传感器与计算机连接，通过相应软件实时采集数据。

现象观察

首先闭合开关B，使沙子在沙漏上部处于静止状态，然后打开开关，沙子开始下落，稍后沙子全部落到C的底部。在整个过程中，观察到实验装置有所振动。采用力传感器实时采集和记录数据，发现沙子下落过程中的数据发生了变化，表明沙漏出现了超重与失重现象。

现象解密

1.理论分析

实验过程中，沙子的运动状态可分为静止处于上端、开始落下、在空中、与下端容器壁撞击、静止在下端五个阶段。

图2　简易沙漏

第1阶段：沙子全部在沙漏的上面（见图2），并处于静止，显然沙漏不可能失重或超重，这时力传感器测得沙子与容器的总重力为G。

第2阶段：部分沙子开始下落，但尚未到达沙漏的底部（见图3）。假设沙子从静止开始均匀下落，单位时间下落的质量为m，从沙漏上端沙子出口到底部（或下面沙堆）的高度为H，则下落时间t=（g为重力加速度）。在小于t的时间内，沙子没有与沙漏底部（可乐瓶）发生碰撞，因而没有对其施加压力。因此，传感器将会产生失重，最大失重的力G₀=mgt，即在空中沙子所受到的重力G₀=。

图3　沙子下落

第3阶段：沙子下落到底部，上下沙子相连（见图4）。沙子与底部撞击，产生冲击力。假设沙子是从静止开始下落，下落到沙漏底部（或是下端沙堆）撞击前的速度v=，撞击后的速度为0。设撞击时间为Δt，沙子对容器底的冲量等于沙子动量的变化量（选择向上的矢量为正方向）ΔI=0－(－Δtmv)。根据动量定理，Δt时间内沙漏底部对沙子产生的作用力大小为F₁－G₁=。G₁为Δt内下落到容器底部的沙子重力，即Δtmg。撞击的沙子所受到的作用力F₁=mv＋Δtmg=＋Δtmg。容器底部受到沙子向下的反作用力，即冲击力大小为F′=F₁=＋Δtmg。力F′可使沙漏对传感器的拉力产生超重作用。同样，在空中还有沙子，其重力G₀=。与此同时，在Δt时间内沙漏上部下落的沙子重力为G₂，而且由于沙子下落的流量均匀，则G₂=G₁=Δtmg。因而总失重量是G₀＋G₂=＋Δtmg。由于超重部分与失重部分数量相等，沙漏整体对力传感器的拉力保持不变，既不超重，也不失重，大小为G。

图4　沙子落到底部

第4阶段：上面的沙子漏完，即G₂为零，空中部分的沙子G₀也逐渐减少，由第3阶段推导可知失重部分减小了，而冲击力F′在所有的沙子没有碰撞完之前都不变，这样总体表现为超重，超重量为F₂=＋Δtmg－，其中h为下落沙柱高度变化，取值范围为H~0。当h为H时，超重量最小，为Δtmg；当h为0时，超重量最大，为＋Δtmg。超重时间与失重时间一样与高度有关。

第5阶段：沙子全部下落到底部，处于静止状态，与第1阶段相同，可以测得沙子与容器的总重力G。

2.实验验证

（1）实验设计

实验目的为观察沙子下落过程中沙漏的超重与失重现象，利用力传感器测量拉力，并与静止时沙子与容器的重力大小进行比较来反映这种变化。本实验采用VinnerLabPro传感器及其相应的软件进行数据采集与处理。自制沙漏下端容器长度为0.6米左右，确保在传感器采集频率范围内能较多地采集到数据。为了采集到完整的数据，不能让沙子从一开始就下落，否则实验过程就不完整。力传感器是在竖直平面内测量拉力，开关的开闭不能影响拉力的测量，所以应该在水平平面内开闭开关B。另外，要使超重失重现象较明显，必须具有较大的沙子流量。实验装置如图2所示。

图5　实验数据图

（2）实验过程

①按图2所示，连接好实验装置，将力传感器的数据线与数据采集器相连，再连接到计算机上。

②打开Vinner传感器应用软件，调整力传感器的受力大小与时间的坐标，并通过示波形式开始采集数据。

③打开开关B，使沙漏中的沙子落下。

④沙子下落结束后，停止采集，保存数据。

（3）实验数据分析

分别选取第1阶段、第3阶段、第5阶段区域进行直线数据拟合，得到如图5所示的三个截距，十分接近直线。这个截距就是沙漏静止时传感器测得的拉力，即容器与沙子的总重量，三个拉力相同，表明沙漏没有出现超重与失重现象。第2阶段沙子开始下落，其图线比第1阶段所反映的拉力要小，说明这时产生了失重现象，而且失重逐渐明显。第4阶段超重也是较明显的，其超重过程从小到大，而且从图像上可以测得第2阶段与第4阶段超重与失重的时间长度基本相同。这些与理论分析相吻合。

本传感器十分灵敏，稍有振动即能反映出来。从图5中可以看到，第2阶段初因开关B打开略有干扰而产生振动，第3阶段中由于沙子的冲力作用，使整个沙漏具有周期性的振动。

应用拓展

有些不良商贩在对商品称重时作弊，以少充多，请问他们的伎俩是怎样实现的？

思考题

如图6所示在左边沙漏沙子下落的过程中，能观察到天平发生变化吗？为什么？

图6　天平