投影及其分类

2.1　投影及其分类

2.1.1　影子和投影

三维空间里的物体都有长度、宽度和高度，怎样才能在一张只有长度和宽度的纸上，准确而全面地表达物体的形状和大小呢？

在日常生活中，经常看到影子这种自然现象。空间物体在光的照射下，在地面、墙面或其他物体表面上会出现相应的影子，这种影子常能在一定程度上显示出物体的形状和大小，并随光线照射方向等的不同而发生变化。如图2－1（a）所示的是物体在正午的阳光照射下，在地面上留下的影子，这个影子只能反映出物体的轮廓，但表达不出模型各部分的形状，且不反映物体的实际大小。

图2－1　影子与投影

从图2－1（a）可知，通过影子虽然可以将空间三维形体在二维平面上表达出来，但还不能完全反映物体的形状和大小。为此，人们将上述自然现象加以科学的抽象：假设光源发出的光线能够透过形体而将形体上的点和线都在平面P上投落它们的影，这些点和线的影将组成一个能够反映出形体各部分形状的图形，如图2－1（b）所示，这个图形称为形体的投影。光源或光线称为投射中心；投影所在的平面称为投影面；连接投射中心与形体上各点的直线称为投射线；通过形体上一点（或空间某点）的投射线与投影面相交，所得交点就是该点在投影面上的投影。这种投射线通过空间几何元素（点、线、面或形体），向选定的投影面投射而在该面上得到空间几何元素投影的方法称为投影法。如图2－2所示，连接投射中心S与空间A或B的投射线SA或SB与投影面P的交点，称为空间点A或B在投影面P上的投影。

图2－2　投影的基本概念

2.1.2　投影的分类

根据投射中心与投影面之间距离的不同，投影可分为中心投影和平行投影两大类。

1.中心投影

当投射中心S距投影面P有限远时，所有投射线都交汇于一点S，用这种方法形成的投影称为中心投影，这种作出中心投影的方法称为中心投影法，如图2－3（a）所示。中心投影的大小与空间几何元素的位置有关，当图2－3（a）中的三角形靠近或远离投影面时，它的投影就会相应地变小或变大。

2.平行投影

当投射中心S移至距投影面P无限远时，所有投射线都相互平行，用这种方法形成的投影称为平行投影，这种作出平行投影的方法称为平行投影法，如图2－3（b）、（c）所示。平行投影的大小与形体的位置无关，当图2－3（b）、（c）中的三角形靠近或远离投影面时，它的投影大小不变。

图2－3　投影的分类

根据投射线与投影面P所成夹角的不同，平行投影又可分为斜投影和正投影。

（1）斜投影：当投射线倾斜于投影面P时，所作出的平行投影称为斜投影，如图2－3（b）所示，上述作出斜投影的方法称为斜投影法。

（2）正投影：当投射线垂直于投影面P时，所作出的平行投影称为正投影，如图2－3（c）所示，上述作出正投影的方法称为正投影法。