点的两面投影

3.2　点的两面投影

1.两投影面体系

由前所述，单凭一点在一个投影面上的投影，不能确定该点在空间的位置。因此，如图3－2（a）所示，取两个相互垂直的投影面，组成两投影面体系，其中：一个是水平的投影面，用字母H表示，称为水平投影面，简称H面；另一个是正对观察者的直立投影面，用字母V表示，称为正立投影面，简称V面。它们相交于一条水平直线，用OX表示，称为投影轴OX，简称X轴。

2.点的两面投影

将空间点A置于两投影面体系中，过A分别作投射线垂直于H面和V面，即得点A的水平投影a和正面投影a′，如图3－2（a）所示。

为了表达和说明需要，图中点及其投影常用小圆圈表示；空间点用大写字母（或罗马数字）表示；H面投影用对应的小写字母（或阿拉伯数字）表示，V面投影用对应的小写字母（或阿拉伯数字）加一撇表示，如a′（读作：a一撇）。

3.两面投影图

为了将空间两投影面上的投影画在同一面（即图纸上），还需将投影面展开，投影面展开时，规定V面保持不动，而将H面绕投影轴OX向下旋转90°（如图3－2（b）中箭头所示），使其与V面重合，就得到A点的两面投影图，如图3－2（c）所示。由于平面（投影面）是可以无限延伸的，因此在投影图上一般不画出投影面的边框，如图3－2（d）所示。

图3－2　点的两面投影

4.点的两面投影特性

分析点在两投影面体系中得到投影图的过程，可得出点的两面投影特性如下。

（1）点的两面投影的连线垂直于投影轴（即aa′⊥OX）。在图3－2（a）中，投射线Aa和Aa′所构成的平面Aaa_xa′垂直于H面和V面，亦即垂直于H面和V面的交线OX轴，因而平面Aaa_xa′上的直线aa_x和a′a_x必垂直于OX轴。当水平投影a随H面旋转至与V面重合时，aa_x与OX轴的垂直关系不变，因此，在两面投影图上a、a_x、a′三点共线，且其连线垂直于OX轴。

（2）点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离；点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离（即aa_x＝Aa′，a′a_x＝Aa）。由图3－2（a）可知，Aaa_xa′是一矩形，其对边相等，所以aa_x＝Aa′，a′a_x＝Aa。

根据一点在投影图中的两个投影，能确定该点在空间的位置，以及该点到两投影面的距离。如图3－2（c）或图3－2（d）加上投影面边框后，若这时位于OX轴下方的H面，绕OX轴向上方旋转回至水平位置，就如图3－2（b）一样，于是也能确定A点在空间的位置，因而也确定了其到投影面的距离。