一般位置直线的实长及其对投影面的倾角

4.2　一般位置直线的实长及其对投影面的倾角

由4.1节已知，投影面平行线有一个投影反映空间线段的实长，而投影面垂直线有两个投影反映空间线段的实长，但一般位置直线的三面投影都不反映空间线段的实长，其投影与投影轴的夹角也不反映空间线段对投影面的倾角的实形。但是，求解一般位置直线的实长及倾角，是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上经常遇到的问题。因此，可在投影图上用图解法求出一般位置直线的实长及倾角，这种方法就是直角三角形法。

如图4－4（a）、（c）所示为一般位置直线AB的轴测图。从图中可知，直线段AB对H面的倾角α实际上是直线AB与其水平投影ab之间的夹角；同样，直线AB对V面的倾角β是AB与a′b′间的夹角；直线AB对W面的倾角γ是AB与a″b″间的夹角。

直线AB的各面投影ab、a′b′、a″b″均小于实长，且不反映任何倾角的实形。如图4－4（a）所示，过点B作BA₀∥ab，交Aa于A₀，由于投射线Aa⊥H面，因而Aa⊥ab、Aa⊥BA₀，则△ABA₀必为直角三角形。在直角三角形ABA₀中，BA₀＝ab，等于水平投影长；AB为空间线段实长；AA₀＝｜Aa－A₀a｜＝｜Aa－Bb｜＝｜Z_A－Z_B｜＝ΔZ_AB，为A、B两端点对H面的坐标差；∠ABA₀＝α，为直线段AB对H面的倾角实形；∠AA₀B＝90°。将该直角三角形绘制在H面上，如图4－4（b）所示，上述这种作图方法即为直角三角形法。

求解直线段AB的实长及其对V面、W面的倾角β、γ实形的直角三角形如图4－4（b）、（d）所示。每一个不同的倾角都与所对应的投影长和空间线段实长构成一个直角三角形，该直角三角形的另一条直角边是空间线段两端点到相应投影面的距离之差即坐标差。

把这三个直角三角形单独画出来，如图4－4（e）所示，由图可知，每个直角三角形都包含以下四个要素：

图4－4　直角三角形法求直线段的实长及倾角

①空间直线段的实长；

②直线段在某投影面上的投影长；

③直线段两端点到该投影面的距离之差（即坐标差）；

④直线段对该投影面的倾角实形。

从图4－4（e）中还可看出每个直角三角形的详细构成如下：

①在反映或包含倾角α实形的直角三角形中，其两直角边分别是H面投影长和直线段两端点对H面的坐标差（Z坐标差），斜边反映直线段的实长；

②在反映或包含倾角β实形的直角三角形中，其两直角边分别是V面投影长和直线段两端点对V面的坐标差（Y坐标差），斜边反映直线段的实长；

③在反映或包含倾角γ实形的直角三角形中，其两直角边分别是W面投影长和直线段两端点对W面的坐标差（X坐标差），斜边反映直线段的实长。

由初等几何知，只要已知直角三角形四个要素中的任意两个，该直角三角形就能唯一地确定。所以，可在投影图上用图解法画出直角三角形，即可求出一般位置直线段的实长及对投影面倾角的实形。

【例4－1】　已知一般位置直线AB的两面投影，如图4－5（a）所示，求其实长和对V面的倾角β。

解　（1）分析：从图4－5（a）可知，求倾角β的直角三角形的四个要素中已知正面投影a′b′及直线段两端点对V投影面的Y坐标差ΔY_AB，因而可作出该直角三角形。

（2）作图步骤：具体作图如图4－5（b）、（c）所示。

图4－5　直角三角形法求直线段的实长及其倾角β

①在H投影面上作出直线段AB两端点对V投影面的Y坐标差ΔY_AB。

②在V投影面上过b′（或a′）作a′b′的垂线，垂线的长度等于ΔY_AB。

③连接两直角边的端点即为所作直角三角形的斜边，斜边的长度即为直线段AB的实长，斜边与a′b′的夹角为AB对V面的倾角β，如图4－5（b）所示。

若题目比较复杂，线条较多，为保持图面清晰，可以将直角三角形画在题目中的任意空白处，如图4－5（c）所示。

【例4－2】　如图4－6（a）所示，已知直线段AB的H投影ab和a′，且α＝45°，求作AB的正面投影a′b′。

图4－6　已知直线段的α角，补全直线段的投影

解　（1）分析：从所给已知条件可知，该题与求倾角α的直角三角形有关，且已知包含倾角α的直角三角形四个要素中的H投影ab和倾角α，故可作出该直角三角形，从该直角三角形中可得出ΔZ_AB，利用ΔZ_AB和点a′便可作出点b′。

（2）作图步骤：具体作图如图4－6（b）所示。

①过点a（或点b）作与ab线成45°角的直线，再过点b（或点a）作ab线的垂线，两直线段相交并与ab一起构成一个直角三角形，从该直角三角形中量出ΔZ_AB。

②过点b向上作投影连线，以a′为基准点向上量取ΔZ_AB，即为b′，连接a′、b′即为所求的正面投影a′b′。