直线上的点及其投影特性

4.3　直线上的点及其投影特性

直线上的点和直线有从属性和定比性两种投影关系。

1.从属性

若点在直线上，则点的投影必在该直线的同面投影上，且符合点的正投影规律。

如图4－7所示，直线AB上有一点K，通过点K作垂直于H面的投射线Kk，它必在通过AB的投射平面ABba内，故点K的H面投影k必在AB的同面投影ab上。同理，k′在a′b′上，k″在a″b″上。

图4－7　从属于直线上的点

反之，若点的三面投影都在直线的同面投影上，则此点必在该直线上。

2.定比性

点分空间线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成同一比例。

如图4－7所示，在投射平面ABba内，投射线Aa∥Bb∥Kk，根据初等几何“平行线分割线段成比例”的定理，有AK∶KB＝ak∶kb。

同理，AK∶KB＝ak∶kb＝a′k′∶k′b′＝a″k″∶k″b″。

反之，若点的各投影分线段的同面投影长度之比相等，则此点必在该直线上。

值得注意的是，当直线是特殊位置直线时，如图4－8（a）所示的侧平线MN，即使点K的水平投影和正面投影都在直线段的同面投影上，也不能断定该点K是否属于直线段MN。此时，可以利用它们的侧面投影或根据定比性来判断。

如图4－8（b）所示，虽然k在mn上、k′在m′n′上，但侧面投影k″不在m″n″上，因此，点K不属于直线段MN。

如图4－8（c）所示，利用定比性来判别时，不用绘制其侧面投影，只需判别mk∶kn是否等于m′k′∶k′n′。若相等，则点K在直线段MN上，若不等，则点K不在直线段MN上。从图中可知mk∶kn≠m′k′∶k′n′，因而，点K不属于直线段MN。

图4－8　判断点是否在特殊位置直线上

【例4－3】　如图4－9（a）所示，已知直线段AB的两面投影ab和a′b′，求直线段AB上点K的投影，使AK∶KB＝1∶2。

解　（1）分析：从所给的已知条件可知须利用定比性将直线段分割为3等份，取点K位于距点A的第一个等分点，即可将直线段分割成1∶2的两段。

（2）作图步骤：具体作图如图4－9（b）所示。

①过a（或b或a′、b′）点任作一直线段，从a（或b或a′、b′）点开始连续取三个相等长度，得点1、2、3。

图4－9　在直线段上找指定等分点

②连接点b和点3，再过第一个等分点1作3b的平行线，交ab于k，于是ak∶kb＝1∶2。

③过k作投影连线交a′b′于k′，即得点K的两面投影。