作两平行直线的水平投影

4.4　两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有三种：平行、相交、交叉（或异面）。垂直是两直线相交和交叉的特殊情况。

4.4.1　平行

如果空间两直线相互平行，则它们的同面投影也一定相互平行（平行性）。反之，如果空间两直线的三面投影分别相互平行，则空间两直线平行。如图4－10所示，空间两直线AB∥CD，分别过AB和CD向H面作投射线，形成的两个投射面相互平行，故它们与H面的交线也一定相互平行，即ab∥cd。同理，a′b′∥c′d′，a″b″∥c″d″。

图4－10　两直线平行

如果空间两直线相互平行，则它们的长度之比等于它们的同面投影长度之比（定比性）。如图4－10所示，空间两直线AB∥CD，则两直线对H面的倾角α相等。由于ab＝ABcosα，cd＝CDcosα，故ab∶cd＝AB∶CD。同理，a′b′∶c′d′＝AB∶CD，a″b″∶c″d″＝AB∶CD。

由上面的分析可知，要判断空间两直线是否平行，应根据空间直线对投影面相对位置的不同而采取不同的方法。

（1）对于一般位置直线，只要它们的任意两组同面投影互相平行，即可断定它们在空间相互平行；只要有一组同面投影不平行，则空间两直线就不平行。

（2）对于投影面平行线，要断定它们在空间是否相互平行，则要检查它们在所平行的投影面上的投影是否平行，即检查倾斜投影是否平行，或检查各组同面投影是否共面或根据定比关系来判断。

【例4－4】　如图4－11（a）所示，已知两侧平线AB和CD的H面、V面投影，判断两直线是否平行。

解　（1）分析：若两直线是一般位置线，只要有任意两组同面投影分别相互平行，则可判断两直线相互平行。但是，若两直线是特殊位置线，还要检查它们的第三投影是否平行，若三面投影都相互平行，则空间两直线平行，否则不平行。此题AB、CD均为侧平面，需作进一步判断。

（2）作图步骤：具体作图如图4－11（b）所示。

图4－11　判断AB、CD是否平行

作出两直线的侧面投影，可见侧面投影a″b″不平行c″d″，故直线AB与CD不平行。

另外，此题还可以利用定比性或检查各组同面投影是否共面来判断，请读者自行思考作图。

4.4.2　相交

空间两直线相交，则它们的各组同面投影也一定相交，交点的投影符合点的正投影规律。反之，如果空间两直线的三面投影分别相交，且交点符合点的正投影规律，则空间两直线必相交。如图4－12所示，一般位置直线AB、CD相交于点K，则ab、cd交于k，a′b′、c′d′交于k′，a″b″、c″d″交于k″，而且k′k⊥OX轴、k′k″⊥OZ轴。

图4－12　相交两直线

判断空间两直线是否相交，也应根据空间直线对投影面相对位置的不同而采取不同的方法。

（1）对于两条一般位置直线，可只通过两组投影判断，看两组同面投影是否分别相交以及交出的点是否符合点的正投影规律即可。

（2）对于至少有一条为投影面平行线的两直线，则要求作出并检查第三面投影，看它们是否相交及相交的点是否符合点的正投影规律，同时也可用定比性或同面投影是否共面的方法来判断。

【例4－5】　如图4－13（a）所示，已知两直线AB和CD的H面投影和V面投影都相交，判断空间两直线是否相交。

解　（1）分析：若两直线是一般位置线，只要有任意两组同面投影分别相交，且交点符合点的正投影规律，则可判断两直线在空间相交；但是，若两直线中有一条或者两条是特殊位置线，还要检查它们的第三投影是否相交，以及交点的三个投影是否符合点的正投影规律。此题直线CD为侧平线，需作进一步检查。

（2）作图步骤：具体作图如图4－13（b）所示。

图4－13　判断AB、CD是否相交

作出两直线的W面投影，侧面投影a″b″与c″d″虽然相交，但是交点不符合点的正投影规律（k′k″不垂直于OZ轴），故直线AB与CD不相交。

另外，此题还可以利用定比性或检查各组同面投影是否共面来判断，请读者自行思考作图。

4.4.3　交叉

空间两直线既不平行，也不相交，则两直线交叉（异面）。空间两交叉直线，它们的同面投影可能相交，但是投影的交点不符合点的正投影规律；它们的某一组或两组同面投影也可能平行，但不可能三组同面投影都平行。

如图4－14所示，交叉两直线AB与CD，虽然它们的H面投影ab与cd相交，V面投影a′b′与c′d′也相交，但是投影交点的连线不垂直于OX轴，即不符合点的正投影规律。ab与cd的交点实际上是AB上的点E和CD上的点F对H面的一对重影点。同理，a′b′与c′d′的交点是CD上的M点和AB上的点N对V面的一对重影点。根据重影点可见性的判别规律，在投影图上，不可见的投影加括号表示。

图4－14　交叉两直线

交叉两直线重影点的可见性的判别方法如下：

（1）判别H面重影点的可见性，必须从H面投影重合的点向V面投影引垂线，较高的一点看得见，较低的一点则看不见，如图4－14（b）所示；

（2）判别V面重影点的可见性，必须从V面投影重合的点向H面投影引垂线，较前的一点看得见，较后的一点则看不见，如图4－14（b）所示。

【例4－6】　如图4－15（a）所示，试作一直线平行于直线AB，且与两交叉直线CD、EF相交。

解　（1）分析：由图4－15（a）可知CD是铅垂线，水平投影积聚为一点，所求的直线要与CD、EF相交，则该线的水平投影必通过CD的水平积聚投影。同时，所求的直线又要与AB平行，则可过CD的水平积聚投影作直线平行于AB且与EF相交即可。

（2）作图步骤：具体作图如图4－15（b）所示。

①过c（d）作平行于ab的直线gh，交ef于h，与cd交于g，则所作直线GH与CD、EF均相交。

图4－15　作一直线与两交叉直线相交

②直线GH与CD、EF相交的交点符合点的正投影规律，由h向上作垂直方向的投影线，与e′f′交于h′。

③在正面投影上，过h′作a′b′的平行线，交c′d′于g′。则gh和g′h′即为所求直线GH的两面投影。