直线与平面及两平面相交

6.2　直线与平面及两平面相交

直线和平面相交，交点是它们的共有点。在投影图上，交点是直线可见和不可见部分的分界点。

平面和平面相交，交线是它们的共有线。在投影图上，交线是平面可见和不可见部分的分界线。

6.2.1　一般位置直线和特殊位置平面相交

当一般位置直线和特殊位置平面相交时，可以利用特殊位置平面的积聚性求出它们的交点。

如图6－10（a）所示，空间直线DF与铅垂面ABC相交于点E，由于点E是直线FD上的点，所以点E的H面投影e一定落在直线FD的H面投影上；同时，铅垂面ABC的H面投影积聚为直线abc，即铅垂面ABC内的所有点的H面投影也都落在直线abc上，而点E也是铅垂面ABC内的点，所以点E的H面投影e也一定落在铅垂面ABC的H面投影即直线abc上。综上所述，点E的H面投影e就是直线abc和直线df的交点，在投影图6－10（b）中，可根据点E的H面投影e和点E是直线FD上的点这两个条件，再利用直线上点的投影规律，求出点E的V面投影e′。

图6－10　直线与特殊位置平面相交

对于直线和平面相交的投影问题，求出直线和平面交点后，为了增加图形的直观性，还需对线、面投影的重影部分进行可见性判断。因为直线DF和平面ABC的正面投影都有重影部分，所以它们的正面投影需要进行可见性判断。交点E的V面投影e′是直线DF在V面投影中与平面ABC重影部分可见与不可见部分的分界点，因而交点总是可见的。直线与其他部分的可见性可任找一对重影点，如利用点Ⅰ、Ⅱ在V面上的重影来判别。作图时，可以先标出Ⅰ、Ⅱ在V面上的重影2′（1′），也就是说先定义点Ⅰ、Ⅱ是直线DF或直线AC上的点且Ⅰ在Ⅱ的正后方；接着确定Ⅰ、Ⅱ这两点中，哪一点属于直线DF，此时可根据直线上点的投影规律并结合“Ⅰ在Ⅱ的正后方”这一条件求出这两个点的H面投影1和2，从图6－10（b）的H投影可以看出，点Ⅰ在直线DF上，而e′是直线DF在V面投影中与平面ABC重重影部分可见与不可见部分的分界点，故为e′1′不可见（用虚线画出），而d′f′的其他部分则是可见的（用实线画出）。

6.2.2　投影面垂直线与一般位置平面相交

投影面垂直线与一般位置平面相交，交点的一个投影重合在直线有积聚性的同面投影上；而另一个投影是平面上过交点所作辅助线与直线的同面投影的交点。

【例6－6】　如图6－11（a）、（b）所示，已知铅垂线DE与△ABC平面相交，交点为F，试求F的两面投影并对铅垂线DE的投影进行可见性判断。

图6－11　求铅垂线与一般面的交点

解　（1）分析：和图6－10类似，要解决铅垂线DE与△ABC平面相交的投影问题，也要分两步走。第一步：求铅垂线DE与△ABC平面的交点F的投影；第二步：对铅垂线DE的V面投影进行可见性判断。由于铅垂线的H面投影具有积聚性，所以交点F的H面投影也落在直线DE的H面积聚投影上，即点f、d与e重合于同一个点。

（2）作图步骤如下。

①求交点F的投影：因点f与d、e重合，故可连接点c与f，并延长直线cf与ab交于g，根据直线上点的投影规律求出点G的V面投影g′，连接c′g′。直线c′g′与d′e′的交点即为铅垂线DE与△ABC平面的交点F的V面投影f′，如图6－11（c）所示。

②可见性判断。

a.利用线AC和DE在V面上的重影点来判别，分别把这两个点记作点M、N，并在V面投影中标记为m′（n′），即点M在点N的正前方，点M的V面投影把点N的V面投影遮住了。

b.过点m′（n′）作OX轴的垂线，使之与直线ac、de相交，得到两个交点，这两个交点中y坐标值大的为点m、y坐标值小的为点n，显然，点n在直线ac上，而点m在直线de上。

c.因为点M的V面投影可见，所以线段FM的V面投影f′m′是可见的，应用实线绘出，直线DE与平面ABC在V面上重影的F点之下部分则不可见，用虚线来表示。

6.2.3　一般位置平面与特殊位置平面相交

当相交两平面中有一个平面是特殊位置面时，可利用特殊位置平面的积聚投影来确定交线的一个投影，交线的另一个投影可以按在另一平面上取点、取线的方法作出。

一般位置平面与特殊位置平面相交，可根据特殊位置平面的不同分为以下两种情形：

（1）一般位置平面和投影面垂直面相交，交线为一般位置直线；

（2）一般位置平面和投影面平行面相交，交线为投影面平行线。

【例6－7】　如图6－12（a）、（b）所示，已知铅垂面△ABC与一般位置平面DEF相交，交线为MN，试求MN的两面投影并对投影进行可见性判断。

解　（1）分析：如图6－12（a）、（b）所示，因为交线是两个相交平面的共有线，所以如果能够找到这条交线上的两个点，该两点的连线即为交线。为此，只需把△DEF的两条边FD、ED与铅垂面△ABC交点M、N求出，直线MN即为所求，这一过程直接用到了之前学过的直线和特殊位置平面的相交问题的解答方法，即把平面和平面的相交问题转化为直线和平面的相交问题。投影可见性判断的方法与直线和平面的相交问题所用的方法一样，即在投影图上的重影区找重影点进行判断，因为投影图上，交线是平面可见和不可见部分的分界线，所以只需找一对重影点即可，一般这个重影点选择重影区域的边界点更便于理解，例如图6－12（c）中的点1′（2′）。

（2）作图步骤如下。

①利用铅垂面的水平投影具有积聚性的特点，直接求出△DEF的边FD、ED与铅垂面△ABC的交点M、N的H面投影m、n。

②按线上取点的作图方法，求出点M、N的V面投影m′、n′，并连接m′、n′两点。

③判别可见性：投影图上，交线是可见部分和不可见部分的分界线，对水平投影来说，因为铅垂面△ABC的水平投影有积聚性，所以它不可能将△ABC平面遮挡住，所以不需要进行可见性判断。正面投影的可见性，可利用线、面相交判别可见性的方法来判断，即在交线的任一侧找一对重影点，如图6－12（c）中的点1′（2′），根据它们的H面投影来判断1属于ab、fe中哪一条，由于点1′可见，从图6－12（c）的H面投影可看出，1在直线fe上，即f′e′的重影部分是可见的，应画成实线，其余部分的可见性可根据重叠区域的边界线的可见性是相互间隔的来确定。

图6－12　求一般面和铅垂面的交线

6.2.4　一般位置直线和一般位置平面相交

在一般位置直线和一般位置平面相交的问题中，由于它们的投影都没有积聚性，不能直接由投影图得到交点的投影，不过可以参照投影面垂直面与一般位置平面相交的情形，以投影面垂直面作为辅助平面来解题。

如图6－13（a）所示，为了求得空间一般位置直线DE与一般位置平面△ABC的交点，可先包含一般位置直线DE作一投影面垂直面（铅垂面P）为辅助平面，如图6－13（b）所示，该铅垂面与一般位置平面△ABC相交于交线MN，该交线可利用上一节所讲的投影面垂直面与一般位置平面相交求交线的方法求出。直线MN与直线DE交于点K，由于交点K既属于直线DE，又属于平面△ABC，则交点K为一般位置直线DE与一般位置平面△ABC的交点，如图6－13（c）所示。

图6－13　一般位置直线和一般位置平面相交

这种利用辅助平面（常为投影面垂直面或投影面平行面）求作一般位置直线与一般位置平面的交点的方法称为辅助平面法，因求出的是线面之交点，因而又称线面交点法。

如图6－14所示，在投影图中利用辅助平面法求作一般位置直线DE与一般位置平面△ABC的作图步骤如下：

（1）包含已知直线DE作辅助平面P，常以投影面垂直面作为辅助平面；

（2）求辅助平面P与一般位置平面△ABC的交线MN；

（3）求交线MN与已知直线DE的交点K，即为所求直线与平面的交点；

（4）利用重影点可见性的概念判别相交后直线DE在投影图中的可见性。

图6－14　求一般位置直线与一般位置平面的交点

6.2.5　两特殊位置平面相交

当相交两平面均为特殊位置平面时，因为每个平面都有积聚投影，根据平面的积聚投影即可确定交线的一个投影；而在没有积聚性的投影上，可以按面上取点、取线的方法作出交线的投影。

相交两平面均为特殊位置面时交线的几种情形如下：

（1）若相交两个平面同时垂直于一投影面，则交线必为这个投影面的垂直线；

（2）若相交两个平面分别垂直于不同投影面，则交线必为一般位置直线；

（3）若相交两个平面分别是同一投影面的垂直面和平行面，则交线是该投影面的平行线；

（4）若相交两个平面分别是不同投影面的垂直面和平行面，则交线是投影垂直面所垂直的投影面的垂直线；

（5）若相交两个平面分别是不同投影面的平行面，则交线是第三投影面的垂直线。

【例6－8】　如图6－15（a）所示，已知铅垂面△ABC与铅垂面DEF相交，交线为MN，试求MN的两面投影并对投影进行可见性判断。

解　（1）分析：如图6－15（a）所示，因为相交两个平面同时垂直于H面，所以交线必为铅垂线；又因为交线是两个相交平面的共有线，所以不难看出两平面积聚投影的交点即为两平面交线的积聚投影（在此为H面投影）；而在没有积聚性的投影上，交线的投影可以按面上取点、取线的方法作出。投影可见性判断的方法与前面相同。

（2）作图步骤如下。

①利用铅垂面的水平投影有积聚性的特点，直接求得两铅垂面交线的H面投影m、n。

②按线上取点的作图方法，求出点M、N的V面投影m′、n′，并连接m′、n′两点。

③判断可见性：因两铅垂面的水平投影均有积聚性，因而无须判别可见性。正面投影的可见性，可利用线、面相交判别可见性的方法来判断，即在交线的任一侧找一对重影点，如图中点i′（j′），由于点i′可见，从图6－15（b）中的H投影可看出，i在直线fe上，即f′e′的重影部分是可见的，应画成实线，其余部分的可见性可根据重叠区域的边界线的可见性是相互间隔的来确定。

图6－15　求两铅垂面的交线

6.2.6　两一般位置平面相交

当相交的两个平面均不是特殊位置平面时，由于它们的投影都没有积聚性，不能直接由投影图得到交线的投影，不过可以参照一般位置直线与一般位置平面相交求交点的方法，通过构造特殊位置的辅助平面来解题。下面介绍两种以特殊位置平面为辅助面求两个一般位置平面交线的方法。

1.采用线面交点法求两个一般位置平面的交线

线面交点法是采用求一般位置直线和一般位置平面的交点的方法，求出交线上的两个点，这两个点的连线即为两个一般位置平面的交线。作图时，应先后在某个（或两个）平面内任取两直线，分别求出这两条直线对另一个平面的两个交点，连接这两个交点即为所求。

【例6－9】　如图6－16（a）所示，已知两个一般位置平面△ABC与△DEF相交，交线为MN，试求MN的两面投影并对投影进行可见性判断。

解　（1）分析：如图6－16（a）所示，用线面交点法可以求出△ABC上的直线AB和AC与△DEF的交点M、N，求出M、N的投影，连线即可。投影可见性判断的方法与前面相同。

图6－16　线面交点法求两一般位置平面的交线

（2）作图步骤如下。

①求直线AB与平面△DEF的交点M：过直线AB作一个正垂面Q，求出直线FD、FE与正垂面Q的交点的投影1′、2′和1、2，直线ab和直线12的交点m就是直线AB与平面△DEF的交点M的水平投影，再根据点M是直线AB上的点，由m求出m′。

②求直线AC与平面△DEF的交点N：过直线AC作一个正垂面P，求出直线DE和DF与平面P的交点的投影3′、4′和3、4，直线ac和直线34的交点n就是直线AC与平面△DEF的交点N的水平投影，再根据点N是直线AC上的点，由n求出n′。

③连接点m、n和m′、n′，它们即为平面△ABC与△DEF交线的投影。

④投影可见性判断的方法与例6－7相同。

2.利用三面共点的几何原理求两个一般位置平面的交线

线面交点法采用了求一般位置直线和一般位置平面的交点的方法，比较直观，但作图时，如果两平面的投影分离或者选择的辅助面（投影面垂直面）不合适，则不容易得到题解。此时，可以选择与两个一般位置平面都相交的特殊位置平面作为辅助平面，利用“三面共点”的几何原理，求出两一般位置平面交线上的一个点，然后，用同样的方法求出这条交线上的另一点，连线即可。

要求如图6－17（a）所示的两个一般位置平面的交线，可以作两个水平面P、Q，使之与已知的两个一般位置平面都相交，得到四条交线AB、CD、EF、JK，这四条交线两两对应相交，交点的连线MN为两个一般位置平面的交线。具体作图过程如下：

①在V面上，作两条直线平行于OX轴，标出A、B、C、D、E、F、J、K各点的V面投影，如图6－17（b）所示的a′、b′、c′、d′、e′、f′、j′、k′，再求出上述点的H面投影；

②直线ab和cd交点为m，直线ef和jk交点为n，再根据直线上点的投影规律求出上述点的V投影m′、n′，连接m、n和m′、n′；

③直线MN即为这两个一般位置平面的交线。

图6－17　三面共点法求两一般位置平面的交线