怎么区分棱柱棱锥的底面

8.1　平面立体的投影

平面立体的应用在各类工程设计中极为普遍。平面立体的表面都是平面多边形，称为底面或棱面。相邻棱面的交线称为棱线。棱线与棱线或底面的公共顶点称为顶点。

立体的形状、大小和位置，是由其表面所决定。而平面立体的各个表面均可看成是由若干直线段围合而成。因此，绘制平面立体的投影，只需绘出它的各个表面的投影，即绘出构成各个表面的线和顶点的投影，并区分可见性。

常见的平面立体有棱柱、棱锥、棱台等，如图8－2所示。

图8－2　平面立体

8.1.1　棱柱

1.棱柱的几何特征

棱柱由两个形状大小相同、相互平行的平面多边形底面和若干平行四边形棱面所围成。它所有相邻棱面的交线即棱线相互平行。根据底面多边形的顶点数目，又分为三棱柱、四棱柱……如图8－2（a）、（b）、（c）所示。棱线垂直于底面的棱柱称为直棱柱。棱线倾斜于底面的棱柱称为斜棱柱，如图8－3所示。当直棱柱底面为正多边形时，称为正三棱柱、正四棱柱……

图8－3　斜六棱柱

棱柱的几何特征如下（以图8－4（a）所示正五棱柱为例）：

（1）上、下底面是两个平行且全等的多边形，正五棱柱的上、下底面为平行且全等的水平正五边形；

（2）各个侧面都是平行四边形，正五棱柱的各侧面均为矩形；

（3）所有的侧棱都相互平行且长度相等，对于直棱柱侧棱还垂直于底面且长度等于棱柱的高，正五棱柱的各侧棱均平行相等且垂直于底面。

图8－4　五棱柱的投影

2.棱柱的摆放位置

为了便于绘图和读图，棱柱的摆放位置应考虑如下因素：

（1）应使棱柱处于稳定状态；

（2）应考虑棱柱的工作状态，如柱应考虑立放，梁应考虑横放；

（3）应使棱柱的尽量多的侧面、底面和棱线平行于投影面，以便作出更多的实形投影，例如图8－4（a）中的正五棱柱在作投影图时考虑上、下底面平行于H面，后侧面平行于V面。

3.棱柱的投影特性

如图8－4（b）所示的正五棱柱的上底面ABCDE、下底面A₁B₁C₁D₁E₁为水平面，两者的水平投影重影且反映实形，正面投影和侧面投影积聚为一条水平线段。后棱面DEE₁D₁为正平面，其正面投影反映实形，水平投影和侧面投影积聚为垂直于OY轴的直线段。左前棱面ABB₁A₁、左后棱面AEE₁A₁、右前棱面BCC₁B₁、右后棱面CDD₁C₁，其水平投影积聚为等于底面边长的线段，正面投影和侧面投影均为矩形，但不反映实形，左边的两个棱面与右边的两个棱面其侧面投影重影。棱柱在各投影面上的投影特性如下：

（1）H投影：正五边形线框abcde和（a₁b₁c₁d₁e₁）是上、下水平底面重合的实形投影，其各边ae（a₁e₁）、ba（b₁a₁）、cb（c₁b₁）、dc（d₁c₁）、ed（e₁d₁）分别是四个铅垂棱面及一个正平棱面的积聚投影，点a（a₁）、b（b₁）、c（c₁）、d（d₁）、e（e₁）是各棱线的积聚投影。

（2）V投影：矩形线框a′b′b₁′a₁′、b′c′c₁′b₁′、a′（e′e₁′）a₁′、c′（d′d₁′）c₁′分别是四个铅垂的左前侧面、右前侧面、左后侧面及右后侧面的相仿投影；矩形线框（e′d′d₁′e₁′）是正平后侧面的实形投影；线段a′b′c′（d′e′）及a₁′b₁′c₁′（d₁′e₁′）分别是水平上、下底面的积聚投影。

（3）W投影：矩形线框e″a″a₁″e₁″及（d″c″c₁″d₁″）分别是铅垂左后及右后侧面的重合相仿投影；矩形线框b″a″a₁″b₁″及b″（c″c₁″）b₁″分别是铅垂左前及右前侧面的重合相仿投影；线段e″（d″d₁″）e₁″是正平后侧面的积聚投影；线段a″b″（c″d″）e″及a₁″b₁″（c₁″d₁″）e₁″分别是水平上、下底面的积聚投影。

4.棱柱的可见性判别

由于棱柱表面是闭合且具有一定体积大小的，因此将棱柱向各投影面投影时有一部分是可见的，另一部分是不可见的。对于可见部分的棱线用粗实线表示，相应顶点用对应的小写字母表示，如a，a′，a″；不可见部分的棱线用虚线表示，相应顶点用对应的小写字母加括号表示，如（b），（b′），（b″）；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。

从图8－4（b）中可以看出上底面ABCDE的H投影可见，下底面A₁B₁C₁D₁E₁的H投影不可见，顶点A₁的H投影由于被顶点A遮挡而不可见，其H投影标注为（a₁）。左前棱面ABB₁A₁、右前棱面BCC₁B₁的V投影可见，左后棱面AEE₁A₁、右后棱面CDD₁C₁、正后棱面DEE₁D₁的V投影不可见，棱线EE₁的V投影由于被棱面ABB₁A₁遮挡而不可见，其V投影用虚线表示，投影标注为（e′e₁′）。左前棱面ABB₁A₁、左后棱面AEE₁A₁的W投影可见，右前棱面BCC₁B₁、右后棱面CDD₁C₁的W投影不可见，棱线CC₁的W投影由于被棱线AA₁遮挡而不可见，其W投影应用虚线表示，但由于该虚线与粗实线a″a₁″重合，因此仍用粗实线表示，投影标注为（c″c₁″）。

5.棱柱的投影画法

投影图中的各投影可采用无轴投影图表示，各投影的间隔可任意确定，但应注意保持投影关系，即应满足“长对正、高平齐、宽相等”。

根据棱柱立体图绘制三面投影图的一般步骤为：先画出反映棱柱特征的底面形状的投影，然后再按投影关系画出其余两投影。

【例8－1】　已知图8－5（a）所示棱柱的立体图，试绘制其三面投影图。

解　（1）分析：图示棱柱为十二棱柱，但其底面看上去像是一个用双线绘制的“山”字，因此可将该棱柱底面摆放成平行于V投影面。

（2）画图步骤：先画其V投影图的“山”字，然后在适当位置绘制1条45°斜线，再根据投影关系绘制水平投影，最后绘制侧面投影，同时应注意可见性。

图8－5　棱柱的投影和绘图步骤

8.1.2　棱锥

1.棱锥的几何特征

棱锥由一多边形底面和具有公共顶点的若干三角形棱面所围成。它所有相邻棱面的交线即棱线相交于一点，该点又称为锥顶。根据底面多边形的顶点数目，可分为三棱锥、四棱锥……如图8－2（d）、（e）所示。当棱锥底面为正多边形，且其锥顶在底面上的投影位于正多边形的中心时，称为正棱锥。

棱锥的顶部被平行于底面的平面截切后形成棱锥台，简称棱台。棱台的两个底面为相互平行的相似多边形。所有的棱线延长后应汇交于被截切的锥顶，如图8－2（f）所示。

棱锥的几何特征如下（以图8－6（a）所示正三棱锥为例）。

（1）棱锥底面为平面多边形。如图8－6（a）所示，正三棱锥的底面为等边三角形，平行于H面。若为四棱锥，则底面为正方形。

（2）各侧面都是三角形，正三棱锥的各侧面均为全等的等腰三角形。

（3）所有侧棱均相交于棱锥，对于正棱锥侧棱长度还相等，正三棱锥的各侧棱均相交于锥顶且长度相等。

2.棱锥的摆放位置

为了便于绘图和读图，棱锥的摆放位置应考虑如下因素：

（1）应使棱锥处于稳定状态，如常使底面平行于水平投影面；

（2）应考虑棱锥的工作状态；

（3）常使棱锥底面平行于投影面，以便作出其实形投影，例如图8－6（a）中的正三棱锥在作投影图时考虑其底面平行于H面，后底边线垂直于W面。

3.棱锥的投影特性

如图8－6（b）所示的正三棱锥其底面ABC为水平面，所以它的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影积聚为水平线。后棱面SAC为侧垂面，所以其侧面投影积聚为一条斜线段，正面投影和水平投影都是实形的相仿三角形。左、右两个棱面SAB、SBC均为一般位置平面，所以它们的三个投影均为三角形，其侧面投影重影。棱锥在各投影面上的投影特性如下。

图8－6　三棱锥的投影

（1）H投影：等边△abc是水平下底面的实形投影，其内部包含三个等腰三角形△sab、△sbc、△sac，分别是左前、右前、正后棱面的相仿投影。

（2）V投影：等腰△s′a′c′是正后棱面的相仿投影，其内部包含两个三角形△s′a′b′、△s′b′c′，分别是左前、右前棱面的相仿投影；线段a′b′c′是下底面的积聚投影。

（3）W投影：△s″a″b″和△s″（c″）b″分别是左前棱面和右前棱面的重合相仿投影；线段s″a″（c″）是正后棱面的积聚投影；线段a″（c″）b″是下底面的积聚投影。

4.棱锥的可见性判别

从图8－6（b）中可以看出左前棱面SAB、右前棱面SBC、正后棱面SAC的H投影均可见，底面ABC的H投影由于被上述三个棱面遮挡而不可见。左前棱面SAB、右前棱面SBC的V投影可见，正后棱面SAC的V投影由于被前述两个棱面遮挡而不可见。左前棱面SAB的W投影可见，右前棱面SBC的W投影由于被左前棱面遮挡而不可见。

5.棱锥的投影画法

根据棱锥立体图绘制三面投影图的一般步骤为：先画出底面多边形和锥顶的三面投影，然后连接锥顶和底面多边形顶点的同面投影，即得棱锥的三面投影图。

【例8－2】　已知图8－7（a）四棱台的立体图，试绘制其三面投影图。

解　（1）分析：图8－7（a）所示为底面为矩形的四棱台，上、下底面平行，因此可将该棱锥台摆放成底面平行于H投影面，且使底面的四边分别平行于OX轴及OY轴。

图8－7　棱锥台的投影和绘图步骤

（2）画图步骤：先画出棱锥台被截割前完整棱锥的三面投影图，然后根据截割位置画出上底面的投影，再画出四个棱面的投影，最后将棱锥台的投影用粗实线表示，以示与作图过程线的区别。