平面立体表面上点及线的投影

8.2　平面立体表面上点及线的投影

平面立体可看作是由若干个平面图形所围成的，所以在平面立体表面上取点或取线时，可把属于平面立体的棱面、底面作为单独的平面来考虑。在平面立体的表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法基本相同。由于立体是不透明的，因此还要判断所求出的投影的可见性。

1.求解方法

根据平面立体表面上的点和线相对位置的不同，求解其投影通常有如下三种方法。

（1）从属性法：当点位于平面立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的同面投影上，即可利用线上点的“从属性”求解。

（2）积聚性法：当点所在的平面立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点的投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。

（3）辅助线法：当点的位置不特殊时，可在棱面内过点作一辅助线，使其与棱面的棱线相交，再利用直线上点的投影性质作图。

2.常用的辅助线

（1）棱柱的辅助线：常用的辅助线为平行于棱柱棱线及底边线的直线段。

（2）棱锥的辅助线：常用的辅助线为平行于棱锥棱线和底边线的直线段以及过锥顶及某已知点的直线段。

3.连点成线的原则

不同表面上的点相连，线段将从立体内部经过。为了保证连接的线位于立体表面，则只有位于同一个棱面或底面上的点才能相连，不位于同一个面上的点不能相连。

4.判别可见性的原则

平面立体是由若干个平面线框连续依次围成的，不论平面立体如何摆放，在每一投影图上同一封闭线框内，总有形体的两个表面重叠在一起，若某一个表面可见，则另一个不可见。凡是位于形体可见表面上的点和线，其投影是可见的；位于不可见表面上的点和线，其投影将是不可见的。因而，在确定形体表面上点和线的投影时，应首先判断它们位于哪个表面上。

若点所在平面立体表面的投影积聚为线段时，则可不判别点在投影图中的可见性。

【例8－3】　如图8－8（a）所示，已知正六棱柱表面上点A、B、C的一个投影，求点的其余两投影。

解　（1）分析：从图中可以看出，由于点A的正面投影a′是可见的，所以点A应位于正六棱柱的右前棱面上。点B的正面投影（b′）是不可见的，所以点B应位于正六棱柱的左后棱面上。点C的水平投影c是可见的，所以点C应位于正六棱柱的上底面上。

（2）作图步骤：正六棱柱的棱面及底面均具有积聚性，则可利用积聚性法作图求解。

①如图8－8（b）所示，利用右前棱面的水平投影具有积聚性，可自a′向下引投影连线与正六棱柱的右前棱面的积聚投影相交即得点A的水平投影a，同时由于点A所在的右前棱面的水平投影具有积聚性，因而可不判别点A水平投影的a的可见性；再根据点的投影规律由a及a′求出a″，由于右前棱面的侧面投影不可见，故a″不可见，标记为（a″）。

②利用左后棱面的水平投影具有积聚性可首先求出点B的水平投影b；再根据b及b′求出b″。

③利用上底面的正面投影具有积聚性可首先求出点C的正面投影c′；再根据c及c′求出c″。

图8－8　棱柱体表面取点

【例8－4】　如图8－9（a）所示，已知三棱锥表面上点及线的一个投影，求其余两投影。

解　（1）分析：从图中可以看出，点D的H投影d可见，所以其应位于三棱锥的后棱面上。点E的V投影e′可见，该点位于棱线SB上。点K的V投影k′可见，其位于左前棱面上，同样点M位于右前棱面上。由于点K与点M不共面，因此需补充中间点N。

（2）作图步骤：具体作图如图8－9（b）所示。

图8－9　棱锥体表面取点

①先作出45°斜线。过点B的H投影b作水平线，再过其W投影b″作竖直线，两线将交于一点，过该点作与水平方向成45°的线段即为所求的45°斜线。

②求点D及点E的两投影。点D所在的面SAC的W投影s″a″（c″）具有积聚性，可采用积聚性法首先求出d″，然后利用d及d″求出d′，由于棱面SAC的V投影不可，因而其V投影不可见，表示为（d′）；点E位于棱线SB上，可利用从属性法首先求出e″，然后求出e。

③求线KNM的两投影。点N位于棱线SB上，可利用辅助线法首先求出其H投影n，再利用从属性法求出W投影n″；过n作ab、bc的平行线与过k′、m′作的OX轴垂直线分别相交，得k及m，利用点的正投影规律可求出k″、（m″）；最后连接kn、nm、k″n″、n″（m″）；n″（m″）所在棱面SBC的W投影不可见，应用虚线表示，但该线段与可见的用实线表示的k″n″重合，因此采用实线表示。