素描圆柱投影在圆锥上

9.4　平面与曲面立体相交

实际工程中有些工程形体是由曲面立体被平面截割而形成的，如图9－24所示。与平面体被切割一样，曲面立体被截平面截割，在曲面立体表面将产生交线，称为曲面立体的截交线。本节主要介绍曲面立体被平面截割的截交线的作图原理及方法。

图9－24　曲面体截交线的应用

9.4.1　截交线基本知识

1.截交线的形状

平面截割曲面立体的截交线的形状取决于曲面立体表面的性质和截平面与曲面立体的相对位置。通常是封闭的平面曲线，如图9－24（a）中圆柱的截交线；有时可能是由平面曲线与直线组成的图形，如图9－24（b）中半球的截交线；特殊情况下为一个平面多边形，如表9－1中圆柱被平行于轴线的平面所截的截交线等。

表9－1　圆柱的截交线

2.截交线的性质

与平面立体的截交线一样，曲面立体的截交线同样具有闭合性与共有性。

（1）闭合性：曲面立体是由曲面或曲面与平面共同围成的封闭空间，因而其与截平面的交线必定是闭合的图形。

（2）共有性：曲面立体截交线是截平面与立体表面的交线，它既属于截平面又属于曲面立体的表面，截交线上的点为立体表面和截平面的共有点，截交线是曲面立体与截平面共有点的集合。

3.截交线的作图方法

（1）辅助素线法：在曲面立体表面取若干条素线，并求出这些素线与截平面的交点，然后将其依次光滑连接即得所求的截交线，如图9－25（a）所示。

（2）辅助纬圆法：在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点，然后将其依次光滑连接即得所求的截交线，如图9－25（b）所示。

（3）辅助平面法：用三面共点的原理作适当数量的辅助平面，并求出辅助平面与立体表面以及截平面的交线，则这两条交线的交点就是截交线上的点，然后将其依次光滑连接即得所求的截交线。如图9－25（c）所示，首先求出辅助平面Q与截平面P的交线AB，接着求出辅助平面Q与圆锥面的交线圆C，线AB与圆C将有交点Ⅰ、Ⅱ，点Ⅰ、Ⅱ即为圆锥截交线上的点，再设立其他辅助平面求出交点Ⅲ、Ⅳ等，最后将所求的交点依次光滑连接即得所求的截交线。

图9－25　曲面体截交线的作图方法

选取辅助平面时应使它与曲面体的交线的投影为简单而又易于绘制的直线或圆。因此，辅助平面往往选择投影面平行面或投影面垂直面。

本书所讨论的立体与平面的截交线仅限于截平面为特殊位置的情况，故截交线的投影至少有一个具有积聚性，而截交线的其他投影可能具有实形性、积聚性或类似性。

4.截交线的求解步骤

（1）空间分析及投影分析：分析曲面立体在未截割前的形状以及截平面与曲面立体轴线的相对位置，以便确定立体是如何被截割的以及截交线的空间形状。分析截平面与投影面的相对位置，以明确截交线的投影特性，如实形性、积聚性或相仿性等。确定截交线的已知投影，预见未知投影。

（2）求点的投影：利用在曲面立体表面定点的方法，首先求出截交线上特殊点的投影，再求出适量一般点的投影。

（3）判别可见性并连点：根据“位于曲面立体表面可见部分的截交线的投影是可见的，否则为不可见”的原则判断截交线投影的可见性，并将上述各点依次光滑连线。

（4）整理轮廓线：对截切后的曲面立体轮廓线进行分析，补全可见与不可见的曲面立体轮廓线，并擦除被截切掉的轮廓线。

若截交线的投影为圆或直线时，可直接求出，再判别可见性和整理轮廓线即可。

5.截交线上的特殊点

（1）极限位置点：确定曲线范围的最上、最下、最前、最后、最左、最右点。

（2）转向轮廓点：曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，是区分曲线可见与不可见部分的分界点。

（3）特征点：曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴的端点，抛物线顶点，双曲线顶点等。

（4）结合点：当截交线由几部分不同线段组成时结合处的点，如相邻截平面所截截交线的交点或相邻截平面的交线与曲面立体表面的交点，如图9－26中的点C、D。

图9－26　圆柱被两个平面截切

9.4.2　圆柱的截交线

平面截割圆柱，可因截平面与圆柱轴线相对位置的不同而有不同的形状，如表9－1所示。当截平面与圆柱轴线垂直时，截交线的空间形状是一个圆，该圆的直径与圆柱的直径相同；当截平面与圆柱轴线平行时，截交线的空间形状是一个矩形；当截平面与圆柱轴线倾斜时，截交线的空间形状是一个椭圆，其短轴与圆柱的直径相同，而长轴随截平面对圆柱轴线的倾角变化而变化。椭圆的投影一般情况仍为椭圆，其形状、大小和长短轴的方向与截平面和圆柱轴线的夹角有关，作投影图时，可利用在圆柱表面取点的方法（即辅助素线法）求出一系列共有点，再依次光滑连接各点的同面投影即可。

【例9－5】　如图9－27（a）所示，已知圆柱被正垂面P截切后的V投影，试求截交线的其余投影和断面的实形。

解　（1）分析：圆柱轴线垂直于H面，截平面P垂直于V面，与圆柱轴线斜交，截交线的空间形状为椭圆。如图9－27（b）所示，椭圆的长轴AC平行于V面，短轴BD垂直于V面。椭圆的V投影积聚为一直线段与截平面P的V面积聚投影P^V重影，椭圆的H投影落在圆柱面的H面积聚投影上而成为一个圆，因此只需求出椭圆的W投影。

（2）作图步骤：具体作图如图9－27（c）所示。

①求作特殊点的投影：点A、C、B、D为椭圆长、短轴的端点，P^V与圆柱最右、最左素线的V投影的交点a′、c′为长轴端点A、C的V投影，P^V与圆柱最前、最后素线的V投影的交点b′、（d′）为短轴端点B、D的V投影，由此可求得a″、c″、b″、d″。

图9－27　圆柱被正垂面截切的截交线

②求作一般点的投影：为准确作出椭圆的W投影，还应作出若干个一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，首先在P^V上取对称点1′（2′）、3′（4′），然后利用在圆柱表面定点的素线法求出其H投影1、2、3、4，再根据V投影及H投影求出其W投影1″、2″、3″、4″。

③判别可见性并连点：由于圆柱的左上部分被截切，因而其W投影均可见，应用实线表示，在W投影上用光滑的曲线顺次连接a″－3″－b″－1″－c″－2″－d″－4″－a″。

④整理轮廓线：由于圆柱的最前、最后素线只有位于B、D以上部分被截，因而W投影图中最前、最后素线的W投影位于b″、d″以上部分不应画线，而其下应用粗实线表示；圆柱上底面已被截割，因而W投影图中表示上底面的积聚投影的线也不应画出。

⑤求断面实形：用一次换面法求得断面实形，设立新投影面H₁平行于截平面P，新投影轴O₁X₁平行于P^V，分别作出A、C、B、D、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等点在H₁面上的新投影a₁、b₁、c₁、d₁、1₁、2₁、3₁、4₁，顺次光滑连接a₁－3₁－b₁－1₁－c₁－2₁－d₁－4₁－a₁，即得所求断面的实形。

从本例可知，轴线垂直于H投影面的圆柱被正垂面所截切，截交线椭圆的W投影一般仍是椭圆。当截平面与圆柱轴线的夹角α＞45°时，空间椭圆长轴的W投影，变为W投影椭圆的短轴；当截平面与圆柱轴线的夹角α＜45°时，空间椭圆长轴的W投影仍为W投影椭圆的长轴；当截平面与圆柱轴线的夹角α＝45°时，空间椭圆长轴的W投影成为一个与圆柱底圆相等的圆。

【例9－6】　如图9－28（a）所示，已知半圆柱的三面投影及被水平面P、正垂面R截切的V投影，试求半圆柱被截切后的H、W投影。

解　（1）分析：由所给的V投影可知，正垂截平面R与圆柱的轴线斜交，与圆柱面的截交线是椭圆，但截平面R未与圆柱上所有素线相交，因此截交线为不完整的椭圆（即椭圆弧），其V投影积聚在R^V上，H面投影为相仿形，W投影重合在圆柱面的积聚投影圆周上；水平截平面P与圆柱的轴线平行，与圆柱面的截交线为矩形，其V投影积聚在P^V上，H投影反映实形，W投影积聚为直线段。如图9－28（b）所示，要作出矩形需定4个点A、B、D、E，要作出椭圆弧，需定5个点B、C、D、Ⅰ、Ⅱ，其中B、D为结合点。

（2）作图步骤：具体作图如图9－28（c）、（d）所示。

①求作水平面P与圆柱面的截交线：水平面P与圆柱面的交线为ABDE，其中点A、E为截平面P与圆柱左底面的交点，点B、D为两截平面的交线与圆柱面的交点，AB、ED为圆柱素线的一部分。由截交线的V投影a′－b′－（d′）－（e′）可直接求出W投影a″－（b″）－（d″）－e″，然后根据点的投影关系求出H投影a－b－d－e。

②求作正垂面R与圆柱面的截交线：正垂面R与圆柱面的交线为BⅠCⅡD，其中点C为截平面R与圆柱最上素线的交点，可直接由c′求出c及c″；点Ⅰ、Ⅱ为椭圆弧的中间点，根据素线法，由1′、（2′）求出1″、2″，再根据点的投影关系求出1、2；点B、D为结合点，其投影在第①步已作出。

图9－28　圆柱被两个平面截切的截交线

③判别可见性并连点：由于圆柱的左上部分被截切，因而其H、W投影均可见，应用粗实线表示，在H投影上用光滑的曲线顺次连接a－b－1－c－2－d－e－a，bd为两截平面的交线也应连接。由于圆柱面W投影具有积聚性，椭圆弧与圆柱面积聚投影重合，矩形积聚为一直线段，因而截交线的W投影只需连接a″（b″）－e″（d″）。

④整理轮廓线：将圆柱被截切部分的投影轮廓线擦除，本例中被截切部分对剩余形体的投影轮廓线没有影响，因而在H、W投影中没有要擦除的轮廓线。

9.4.3　圆锥的截交线

平面截割圆锥，截平面与圆锥底面的交线为直线段，截平面与圆锥面的交线根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，而可能为圆、椭圆、抛物线、双曲线和相交两直线段等五种情况。因而，平面截割圆锥体，截交线的空间形状如表9－2所示，有如下五种情况：

①当截平面与圆锥轴线垂直时，截交线的空间形状是一个圆周；

②当截平面与圆锥轴线倾斜且与所有素线相交时，截交线的空间形状是一个椭圆；

③当截平面与圆锥轴线倾斜且平行于任一条素线时，截交线的空间形状为抛物线和直线围成的图形；

④当截平面与圆锥轴线平行且平行于任两条素线，截交线的空间形状为双曲线和直线围成的图形；

⑤当截平面与圆锥轴线倾斜且通过锥顶，截交线的空间形状为等腰三角形。

表9－2　圆锥的截交线

注：表中α为截平面与圆锥轴线的夹角，β为半锥顶角。

平面截割圆锥面所得的截交线圆、椭圆、抛物线、双曲线，统称为圆锥曲线。当截平面倾斜于投影面时，圆、椭圆、抛物线和双曲线的投影，一般仍为相仿形，其投影分别为椭圆、椭圆、抛物线和双曲线，椭圆的投影在特殊情况下亦可能为圆。作投影图时，可利用在圆锥表面取点的方法（即辅助素线法或辅助纬圆法）求出一系列公共点，再依次光滑连接各点的同面投影即可。

【例9－7】　如图9－29（a）所示，已知圆锥被正垂面P截切后的V投影，试完成它被截切后的H、W投影，并求作断面实形。

解　（1）分析：截平面P与圆锥轴线斜交且与所有素线均相交，截交线的空间形状为椭圆。如图9－29（b）所示，正垂面P与最左、最右素线的交点，分别为椭圆长轴的端点C、A，其连线AC平行于V面。短轴BD垂直于V面，且垂直平分长轴AC。截交线椭圆的V投影积聚为一直线段与截平面P的V面积聚投影P^V重影，其H、W投影仍为椭圆。由于短轴BD垂直于V面，必平行于H、W面，故AC和BD的H、W投影ac、bd和a″c″、b″d″亦分别垂直，为H、W投影椭圆的长、短轴。

（2）作图步骤：具体作图如图9－29（c）、（d）、（e）所示。

图9－29　圆锥被正垂面截切的截交线

①求作椭圆长短轴端点的投影：点A、C、B、D为椭圆长、短轴的端点，P^V与圆锥最右、最左素线的V投影的交点a′、c′为长轴端点A、C的V投影，根据a′、c′可直接求出a、c及a″、c″，分别为H、W投影椭圆的长轴端点。a′c′的中点b′（d′）为短轴端点B、D的V投影，由纬圆法或素线法可求出B、D的H、W投影b、d及b″、d″，即为H、W投影椭圆的短轴端点。

②求作转向轮廓点的投影：点Ⅰ、Ⅱ为圆锥最前、最后素线上的点，也是W投影轮廓线上的点，还是W投影椭圆与轮廓线的切点。圆锥最前、最后素线的V投影与P^V交点1′（2′）即为转向轮廓点的V投影，由此可先作出W投影1″、2″，然后根据点的投影关系求出H投影1、2。

③求作一般点的投影：为准确作出椭圆的H、W投影，还应作出若干个一般点Ⅲ、Ⅳ，首先在P^V上取1′（2′）的对称点3′（4′），然后利用在圆锥表面定点的纬圆法或素线法求出其H投影3、4，再根据V投影及H投影求出其W投影3″、4″。

④判别可见性并连点：由于圆锥的左上部分被截切，因而其H、W投影均可见，用实线表示，在H、W投影上用光滑的曲线顺次连接A－Ⅰ－B－Ⅲ－C－Ⅳ－D－Ⅱ－A各点的对应投影，即得投影椭圆的H、W投影。

⑤整理轮廓线：由于圆锥最前、最后素线位于Ⅰ、Ⅱ以上部分被截，因而W投影图中最前、最后素线位于1″、2″以上部分不应画线，而其下仍用粗实线表示。

⑥求断面实形：用一次换面法求得断面实形，设立新投影面H₁平行于截平面P，新投影轴O₁X₁平行于P^V，分别作出A、B、C、D、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ等点在H₁面上的新投影a₁、b₁、c₁、d₁、1₁、2₁、3₁、4₁，顺次光滑连接a₁－1₁－b₁－3₁－c₁－4₁－d₁－2₁－a₁，即为所求断面的实形。

【例9－8】　如图9－30（a）所示，已知圆锥被水平面P、正垂面Q截切后的V投影，试完成它被截切后的H、W投影。

解　（1）分析：由V投影可知，圆锥被两个截平面P和Q截切，截交线由两部分构成，截交线应分段作出。水平截平面P与圆锥轴线垂直但未与所有素线相交，其截交线为不完整圆周（即圆弧），其V投影积聚在P^V上，H投影反映实形，W投影积聚为一直线段；正垂截平面Q与圆锥轴线倾斜且平行于一条素线，但未与圆锥底面相交，其截交线为抛物线，其V投影积聚在Q^V上，H、W投影均为相仿形。两部分截交线之间的结合点为点D、E，如图9－30（b）所示。

（2）作图步骤：具体作图如图9－30（c）、（d）、（e）所示。

①求作水平面P与圆锥的截交线：水平面P与圆锥的交线为圆弧ECABD，其中点A为截平面P与圆锥最左素线的交点，直接由a′作出a及a″；点B、C为截平面P与圆锥最前、最后素线的交点，由b′（c′）直接作出b″及c″，再在H面上以底圆中心为圆心包含a作圆，其与最前、最后素线H投影的交点即为b、c；点D、E为两截平面的交线与圆锥面的交点，由d′（e′）向下作投影连线可作出d、e，再根据点的投影关系作出d″、e″。

②求作正垂面Q与圆锥的截交线：正垂面Q与圆锥的交线为DⅣⅡⅠⅢⅤE，其中点Ⅰ为截平面Q与圆锥最左素线的交点，可直接由1′作出1及1″；点Ⅱ、Ⅲ为截平面Q与圆锥最前、最后素线的交点，可直接由2′（3′）作出2″及3″，再根据点的投影关系作出2、3；点Ⅳ、Ⅴ为抛物线曲线的中间点，根据纬圆法可先后求出4、5及4″、5″。点D、E为结合点，其投影在第①步已作出。

③判别可见性并连点：由于圆锥面的H投影均可见，且其左中部被截切，因而截交线的H、W投影均可见，应用粗实线表示，在H投影上用圆弧连接e－c－a－b－d，用光滑的曲线顺次连接d－4－2－1－3－5－e，de为两截平面的交线也应连接，但由于被遮挡用虚线表示。由于水平截平面P的W投影具有积聚性，因而其上截交线积聚为直线段b″c″，再用光滑的曲线顺次连接d″－4″－2″－1″－3″－5″－e″。

图9－30　圆锥被两个平面截切的截交线

④整理轮廓线：将圆锥被截切部分的投影轮廓线擦除，由于圆锥的最前、最后素线位于ⅡB、ⅢC部分被截，因而W投影图中最前、最后素线位于2″b″、3″c″之间部分不应画线，而2″、3″以上部分、b″、c″以下部分应用粗实线表示。

9.4.4　圆球的截交线

平面截割圆球，不论截平面的位置如何，截交线的空间形状总是圆。根据截平面对投影面相对位置的不同，截交线的投影可能反映圆的实形，也可能积聚为直线段，还可能为椭圆。当截平面为投影面平行面时，截交线在它所平行的投影面上的投影反映圆的实形，其余投影积聚为直线段，直线段的长度等于圆的直径；当截平面为投影面垂直面时，截交线在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线段，其长度等于圆的直径，其余投影为椭圆。

如图9－31所示截平面P为水平面，截交线的H投影反映圆的实形，圆的直径可在V投影或W投影中量出，为a′c′或b″d″。圆的V、W投影分别与P^V、P^W重合。

图9－31　圆球被水平面截割

【例9－9】　如图9－32（a）所示，已知圆球被正垂面P截切后的V投影，试完成它被截切后的H、W投影。

解　（1）分析：截平面P为正垂面，截交线的空间形状为圆。截交线圆的V投影与截平面P的V面积聚投影P^V重合，为已知投影，而其H、W投影均为椭圆。如图9－32（b）所示，可首先求出椭圆的长、短轴端点A、B、C、D，再求出中间点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，最后用光滑曲线连接即可。

（2）作图步骤：具体作图如图9－32（c）、（d）、（e）所示。

①求作投影椭圆长短轴端点的投影：点A、B、C、D为截交线圆两根相互垂直平分的直径，AB平行于V面，CD垂直于V面，AB、CD在H、V面上依然相互垂直平分，并且分别成为投影椭圆的短轴和长轴。由V投影可知，a′、b′为P^V与正平赤道圆V投影的交点，可直接由此作出a、b及a″、b″，分别为H、W投影椭圆短轴的端点；线段a′b′的中点为c′（d′），可根据纬圆法求出c、d及c″、d″，为H、W投影椭圆长轴的端点。

②求作投影椭圆中间点投影：点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为截交线圆上的中间点，也为截交线H、W投影椭圆的中间点，其中点Ⅰ、Ⅱ为水平赤道圆上的点，点Ⅲ、Ⅳ为侧平赤道圆上的点。因而可由P^V与圆球V投影水平中心线的交点1′（2′）直接作出1、2，同样由P^V与圆球V投影竖直中心线的交点3′（4′）直接作出3″、4″，再根据点的投影关系分别作出1″、2″及3、4。1、2、3、4及1″、2″、3″、4″分别为H、W投影椭圆的中间点。

③判别可见性并连点：由于圆球的左上部分被截切，因而其H、W投影均可见，用实线表示，在H、W投影上用光滑的曲线顺次连接A－Ⅰ－C－Ⅲ－B－Ⅳ－D－Ⅱ－A各点的对应投影，即得投影椭圆的H、W投影。

④整理轮廓线：由V投影可知，圆球的水平赤道圆Ⅰ、Ⅱ之左部分被截去，且截交线投影椭圆的H投影与该部分轮廓圆弧相切于1、2，故在H投影中1、2之左部分轮廓线不再绘线，只将1、2之右部分轮廓线用实线绘出；同理，圆球的侧平赤道圆Ⅲ、Ⅳ之上部分被截去，且截交线投影椭圆的W投影与该部分轮廓圆弧相切于3″、4″，故在W投影中3″、4″之上部分轮廓线不再绘线，只将3″、4″之下部分轮廓线用实线绘出。

图9－32　圆球被正垂面截切的截交线

【例9－10】　如图9－33（a）所示，已知半球被正垂面P及水平面Q截切后的V投影，试完成它被截切后的H、W投影。

解　（1）分析：半球被正垂截平面P和水平截平面Q截切，其空间形状都是圆弧，截交线由两部分构成，截交线应分段作出。水平截平面Q与半球的截交线为水平圆弧，其V投影积聚在Q^V上，H投影反映实形，W投影积聚为水平直线段；正垂截平面P与半球的截交线为正垂圆弧，其V投影积聚在P^V上，H投影和W投影均为椭圆弧。两部分截交线之间的结合点为点B、C，如图9－33（b）所示。

（2）作图步骤：具体作图如图9－33（c）、（d）、（e）所示。

①求作水平面Q与半球的截交线：水平面Q与半球的交线为圆弧CAB，其中点A为截平面Q与半球正平赤道圆的交点，可直接由a′作出a及a″；点B、C为截平面Q及P的交线与半球面的交点，从b′（c′）向H面引投影连线与半球过A点的水平纬圆的H投影的交点即为b、c，再根据点的投影关系作出b″、c″。

②求作正垂面P与半球的截交线：正垂面P与半球的交线为BⅡⅠⅢC，其中点Ⅰ为截平面P与半球正平赤道圆的交点，可直接由1′作出1及1″；点Ⅱ、Ⅲ为截平面P与半球侧平赤道圆的交点，可直接由2′（3′）作出2″及3″，再根据点的投影关系作出2、3；点B、C的投影在第①步已作出。由于b′（c′）为过球心所作P^V垂线的垂足点，因而b、c及b″、c″分别为H、W面投影椭圆弧的长轴端点，H、W面椭圆弧均为半个椭圆。

图9－33　圆球被两个平面截切的截交线

③判别可见性并连点：由于半球的H投影均可见，且其左上部被截切，因而截交线的H、W投影均可见，应用粗实线表示，在H投影上用圆弧连接c－a－b，用光滑的曲线顺次连接b－2－1－3－c，bc为两截平面的交线，其H投影可见，也应用粗实线连接。由于水平截平面Q的W投影具有积聚性，因而其上截交线的W投影积聚为直线段b″c″，再用光滑的曲线顺次连接b″－2″－1″－3″－c″。

④整理轮廓线：因半球平行H面赤道圆未被截切，因而半球H投影轮廓线均用粗实线表示。而半球平行W面赤道圆在Ⅱ、Ⅲ之上部分被截切，且截交线投影椭圆弧的W投影与该部分轮廓圆弧相切于2″、3″，故在W投影中2″、3″之上部分轮廓线不再绘线，只将2″、3″之下部分轮廓线用粗实线绘出。