测量不确定度和测量结果的报道

第二节　测量不确定度和测量结果的报道

一、测量不确定度的概念

设某被测量X的测量结果为，误差限为u，则

上式表明，虽然真值X不能确切知道，但它将以一定的置信概率落在以为中值的［-u，+u］区间内。u越大，表示真值可能出现的范围越大，真值不确定程度也越大。可见u的取值说明了测量结果的不确定程度，因此我们把u称为测量不确定度，表示由于测量误差的存在而对被测量值的真值不能确定的程度。

按不确定度的获得方法，在将可修正的已定系统误差修正后，把余下的全部误差引起的不确定度划分为两类不确定度分量：凡是可以用统计方法计算的误差（如随机误差），称为不确定度的A类分量u_A；凡是用非统计其他方法估算的误差（如仪器误差），称为不确定度的B类分量u_B。

应当注意，不确定度和误差是两个不同的概念。误差是指测量值与真值之差，一般情况下，它是未知的、确定的、可正可负的量；不确定度是表示误差可能存在的范围，它的大小可以按一定的方法计算（或估算）出来。不确定度大，不一定误差的绝对值也大。另外，A类不确定度和B类不确定度不一定与通常所讲的随机误差和系统误差存在简单的对应关系。

二、测量不确定度的评定

对测量不确定度的评定，常以估计标准偏差去表示大小，称其为标准不确定度。

1.A类标准不确定度的评定

对直接测量，若测量次数足够多，测量结果以平均值x表示，其A类标准不确定度可以直接用平均值的标准偏差来评定，即：

对有限次测量，当测量次数减小时，概率密度分布曲线变得平坦，随机误差分布会偏离正态分布而遵循t分布（也叫学生分布）。这样，在有限次测量的情况下，为要保持同样的置信概率，（1-2-1）式要乘上一个大于1且与测量次数有关的因子t_p。但本课程为了简化计算起见，我们约定，在处理数据的时候，一律按式（1-2-1）计算A类不确定度，不作t分布修正。

2.B类标准不确定度的评定

在本课程的物理实验中，B类标准不确定度的评定，我们可以只取仪器的标准误差σ_仪＝一项来计算，即：

其中系数是把仪器误差Δ_仪转换为标准误差σ_仪时的变换系数。

对由式（1-2-2）表示的符合均匀分布的标准误差的概率水平比正态分布要低些，这里我们忽略了这种差异，仍按它有68概率水平去考虑。

计算B类不确定度时，如果查不到该仪器的误差限信息，可取Δ_仪等于分度值或其1/2，或某一估计值，但要注明。

3.合成标准不确定度u_C

将A类不确定度分量和B类不确定度分量进行方和根合成，即得合成标准不确定度u_C：

对于受多个（如k个）误差来源影响的直接测量，如果不确定度的各个分量彼此独立，则测量结果的合成不确定度u_C，用广义方和根法计算评定：

4.标准不确定度的传递合成公式

对于间接测量量y＝f（x₁，x₂，…，x_n），设直接测量量x₁，x₂，…，x_n互相独立，且相应的标准不确定度分别为u₁，u₂，…，u_n。根据误差理论，将微分式中的各项求“方和根”，便可得到间接测量量y的合成标准不确定度：

当间接测量的函数式为积商（或含和差的积商）形式时，为使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分和各项的“方和根”，便可得到间接测量量的相对不确定度：

上面两式叫做不确定度传递合成公式，其中的偏导数为不确定度传递系数。表1-2-1给出了一些常用函数的不确定度传递合成公式。

表1-2-1　常用函数的不确定度传递公式

三、测量结果报道

不确定度的大小反映了测量结果的可信赖程度，不确定度小的测量结果可信赖程度高，反之则低。所以在报道测量结果时，为了既能反映测量结果又能反映测量结果的可靠程度，对物理量x测量的最终结果应按如下形式表达：

即要求同时报告测量平均值绝对不确定度u_x，相对不确定度E_x，并注明置信概率P，当然还要有单位。另外u_x一般取一位（特殊情况可以取2位）有效数字（有效数字概念后面讲到），实验结果平均值的最后一位与不确定度的最后一位对齐。相对不确定度E_x取一位或两位有效数字。

四、由测量数据计算报道测量结果举例

1.由测量数据计算测量结果的步骤

（1）对测量数据中的可定系统误差加以修正；

（2）计算各测量列的算术平均值，作为各直接测量结果的最佳值；（3）计算各测量列中各次测得值的测量偏差；

（4）计算各平均值的标准偏差，作为A类不确定度；

（5）由测量仪器的仪器误差估算B类不确定度；

（6）计算间接测量的测得值，将各直接测量的算术平均值或单次测量值代入测量公式，算出间接测量值；

（7）选择适当形式的不确定度传递公式计算间接测量的A、B类不确定度和合成不确定度。

2.报道测量结果

例2-1　用单摆测重力加速度g。设摆长为l，摆动n次的时间为t，则g＝

记录：用钢卷尺测摆线长为0.972 2m（测1次），用游标卡尺测摆球直径为1.265cm（测1次），摆幅小于3°，用精度为0.1s的停表测单摆摆动50次时间t，记录于下表。

请计算并报道测量结果。

解：1）计算各直接测量量的平均值

2）计算时间测量值的标准偏差

3）计算直接测量量的不确定度

（1）l的标准不确定度：l只测量一次，其A类不确定度为0。测量摆球直径用游标卡尺引入的不确定度较小，故只考虑来源于测量器具钢卷尺和目测读数引起的不确定度，即有

（2）t的标准不确定度：

考虑到实验者在判定计时开始和结束时会有约0.1s的估计误差，再加上秒表本身的0.1s精度，所以估计Δ_秒表＝0.3s。

由摆的幅角、锤的直径、摆线质量及空气浮力等项引起的不确定度较小，略去不计。

4）计算间接测量量g的测量结果和不确定度

5）报道测量结果

习　题　二

（1）如何理解不确定度概念？它与测量结果的误差有什么关系？

（2）测量的真值是不可确知的，但在测量之后对真值毫无所知吗？

（3）某电阻的测量结果为R＝（35.78±0.05）Ω（P＝68），下列各种解释中哪一个正确的？

①被测电阻值是35.73Ω或35.83Ω；

②被测电阻值是35.73Ω到35.83Ω之间；

③在35.73～35.83Ω范围内含被测电阻真值的概率约68；

④用35.73Ω表示被测电阻时，其测量误差的绝对值小于0.05Ω的概率约为0.68。

（4）级别为0.5、量程为10mA的电流表对电路的电流作10次等精度测量，测得数据为：9.552，9.560，9.500，9.534，9.600，9.400，9.576，9.620，9.592，9.560（单位：mA）。请计算并以规定形式报道测量结果。

（5）用一级千分尺（示值误差限为±0.004mm）测量某物体长度10次，测得值为14.298、14.256、14.262、14.290、14.234、14.263、14.242、14.272、14.278、14.216（单位：mm）。请计算和报道测量结果。