青蛙的对称跳

青蛙的对称跳

1985年，第三届五四青年智力竞赛中有这样一道题:

地面上有A、B、C3点，一只青蛙位于地面上距离C点为0.27米的P点，青蛙第一步从P跳到关于A的对称点P₁，我们把这个动作说成是青蛙从P点关于A点作“对称跳”;第二步从P₁出发对B点做对称跳到P₂;第三步从P₂点出发对C点做对称跳到达P₃;第四步从P₃再对A做对称跳到达P₄，……，按这种方式一直跳下去。若青蛙第1985步对称跳之后到达P₁₉₈₅，问此点与出发点P的距离为多少厘米?

要在短时间内把1985步对称跳都做出来是困难的，这里面一定隐含着某种规律。

设想我们在地面上建立了一个直角坐标系，使出发点P正好是坐标原点，并设A(a₁，a₂)B(b₁，b₂)，C(c₁，c₂)。

根据对称跳的定义，P和P₁关于A点对称。由于P(0，0)，则点P₁的坐标为(2a₁，2b₁)。设P₂(x₂，y₂)，由于B是P₁与P₂的中点，则x₂=2b₁－2a₁，y₂=2b₂－2a₂。实际上，我们只须关心点的第一个坐标。

设P_i(x_i，y_i)，i=1，2，3，4，5，6，我们又有

x₃=2c₁－x₂=2(c₁－b₁+a₁)，

x₄=2a₁－x₃=2(b₁－c₁)，

x₅=2b₁－x₄=2c₁，

x₆=2c₁－x₅=0。

类似地可知y₆=0，这表明P₆=P，也就是说，经过关于A，B，C的6次对称跳之后，青蛙又回后到了原出发点，这又可以说成:这样的对称以6为周期。由于1985=6×330+ 5，所以经过1985步对称跳，实际上相当于只做了5次对称跳，或者说只差一步就跳回到原点，它与P是关于点C对称的两点，因此。

P₁₉₈₅与P的距离=P₅与P的距离

=2×(P与C的距离)=2×0.27米

=0.54米=54厘米。