费马大定理和费马小定理

费马大定理和费马小定理

如果三个正整数分别是某个直角三角形的三条边长，这样的三个正数就叫做勾股数。一般地说，勾股数就是不定方程X²+Y²=Z²的每一组正整数解。

在公元前1900—1600年的巴比伦泥块中，记载了一些如(119，120，169)，(3367，3456，4825)，(12709，13500，18541)这样一些数值很大的勾股数，说明当时已经有人开始探求勾股数的公式。

欧几里得在《几何原本》中第一次给出了求勾股数的公式。中国的《九章算术》则最先给出了它的现代形式:

设(z+x)∶y=m∶n(m＞n＞0)，则

x∶y∶z=∶mn

显然利用公式可以给出不定方程x²+y²=z²的无限多级解。然而这个结果自然会引出这样的一个话题，在公式x²+y²=z²中，若未知数的次数比2还大，还有没有正整数解呢?

大约在1637年，费马经过认真总结研究，证明出一个立方数不可能表示为两个方立方数之和，一四次方数也不可能表示两个四次方数之和。一般说来，当正整数n＞2时，不定方程xⁿ+yⁿ+zⁿ没有正整数解，这就是人们常说的费马大定理。可是，人们一直没有发现费马的证明，这就激起了许多数学家对这个问题的兴趣。

欧拉证明了n=3或4的情形，即方程x³+y³=z³与x⁴+ y⁴=z⁴没有不为零的正整数解。

19世纪数学家勒让德和狄里赫勒同时证明了n=5的情况。之后数学家拉梅又证明了n=7的情况。

为了得到费马大定理的普遍证明，1908年德国哥廷根科学院悬赏10万马克，向全世界征求解答，限期100年，吸引得某些商人也加入了研究行列。但由于费马大定理不可能有初等证明，因而那些连初等数论的基本常识都不熟悉的人，对此只能“望洋兴叹”了。

为什么叫“费马大定理”而不叫“费马定理”呢?那是因为费马在1640年还发现过一个定理。

如果p是质数，并且a与p互质，那么数a^p－a一定能被p整除。这是初等数论中的一个重要定理，但证明的难度及影响远不如“费马大定理”，因此，后人把它称做“费马小定理”。