中国古代数学课程回顾

第一节　中国古代数学课程回顾

一、奴隶社会中的数学课程

中国古代数学教育历史悠久，数学课程随着数学教育而产生。我国奴隶社会经过夏、商、周三代，数学课程在公元前11世纪夏、商时代（前17世纪－前11世纪）开始萌芽，西周时代（前10世纪－前7世纪）逐步形成，战国时代（前7世纪－前4世纪）初步定型。

西周以前的学校原以习武为主，教师主要由武官担任。数学教育以自然方式传播，尚未正式列入学校课程。西周中期以后，正式形成数学教育。数学，是以礼、乐为中心的，文武兼备的学校“六艺”内容之一。所谓六艺，就是：

礼：即政治、历史和以孝为本的伦理道德；

乐：即包括音乐、诗歌和舞蹈在内的综合艺术；

射：即以射箭为代表的军事武功；

御：即驾驶兵车等武功技能；

书：即识字与书法等文化教育；

数：即数数与计算技能。

古代规定贵族子弟从六岁开始学习识别数与方向；九岁教以数日，即数时令；十岁随老师学习，在外住宿，主要学习数的计算，如九九表等。这就是当时数学课程的内容。数学教育的目的是为了培养有一定数学知识技能的官吏。在这个时期，官学与私学同时发展，尤其是孔子（前551－前479年）的私学．有弟子三千人，其中通六艺的有七十二人。孔子所办的学校为培养人才、发展教育作出了重大贡献。

中国古代奴隶社会的数学研究已经取得宝贵的成果，如《墨经》涉及一些几何知识；《周髀算经》涉及勾股定理；《庄子》一书中说“一尺之棰，日去其半，万世不歇”，体现了朴素的极限思想。

商高是我国古代数学家，他大约是公元前1120年周朝人，其主要数学成就是勾股定理和测量术。从我国最古代的数学著作《周髀算经》可知，商高提出了勾股定理的证法，如图2－1，BD²＝4－（DC－BC）²＝DC²＋BC²。

图2－1

上述证法比欧几里得在几何原本所提出的证法更简洁易懂。我国对勾股定理的发现和证明比毕达哥拉斯（前575年）早了数百年。由上述材料可见，我国从奴隶社会开始已经为数学课程的建立在数学上和教育上积累了丰富的素材。

二、封建社会时期的数学课程

我国封建社会历时二千余年，它继承了春秋战国时期的文化思想，在数学教育方面也取得显著成就。兹就几个主要朝代与数学课程相关的教育情况作一简述。

1．秦汉魏晋南北朝时期

公元前221年，秦始皇赢政统一了中国，建立了中央集权的国家，统一了文字、货币和度量衡，这本来为数学教育的发展创造了某些有利条件。但是，秦王朝为统一教化，实行抑制教育的政策，既“禁私学，以吏为师”，又不办官学，而且“焚书坑儒”，使得许多宝贵的数学遗产为之失传，严重地抑制了教育的发展。在这个时期，国家没有数学教育，更没有学课程，这也是数学课程发展的损失。

汉朝由公元前202年至220年，历时400年，是我国历上文化教育繁荣昌盛的时代，其教育内容逐步规范化，为我国古代数学教育奠定了基础。汉代实行“废黜百家，独尊儒术”的政策，由于儒家主张以教为本，从而提高了教育的地位。汉朝既确立了官学制度，也允许兴办私学，形成了公私并举的学校系统。官学中分为中央官学（太学）和地方官学（郡国学）两种；私学分为京师讲学和书馆两种。官学主要讲授封建的伦理道德，不重视科学技术，在当时学校教育中，数学尚未得到应有的地位。

汉代教育家、数学家刘歆（前50—23年）明确提出在小学开设算术，对汉代数学教育的发展有重要意义。秦汉时期的各级官吏都要求懂得一些基本的计算技能。《九章算术》的编写与成书就反映了这种需要。《九章算术》的撰写与使用，奠定了中国古代数学课程的基础。《九章算术》开始编写的年代尚未确定，经过张苍（约前200年）和耿寿昌（约前50年）整理，基本成书后，又由刘徽作注（263年）。《九章算术》是我国古代有代表性的数学课程体系。

《九章算术》是我国宝贵的数学遗产，反映了我国重视数学应用的光荣传统，其中的“术”就是算法，可见我国古代数学也以整理算法为其特征。

从220年到589年，我国经历了三百多年的战乱与动荡，包含了五胡十六国时期，战乱阻碍了科学技术与教育的发展，但是，民族问的融合与文化交流对教育与科学技术的发展又起了一定的促进作用。

三国时期的数学家刘徽（约3世纪），生于魏晋时代山东临淄一带。他的数学著作留给后人的很少，主要有他为《九章算术》所作的注，简称《九章刘注》，此外还有《重差》一卷。刘徽的数学成就可以概括为两方面：一方面清理中国古代数学体系，完善其理论基础；另一方面，在继承中提出自己的创建，例如，通过计算圆内接正192边形的面积，推出圆周率π的近似值。在刘徽的割圆术中，他提出了朴素的极限崽想。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于小可割，则与圆合体而无所失矣。”他提出了“牟合方盖”原理，即球体正好被包幽在嘣圆柱垂直相贯的公共部分（称为牟合方盖），而且与圆柱相切，其相应截面面积比为π∶4，它正好等于球与牟合方盖的体积比，就是V_球∶V_水＝π∶4。这个原理的发现为推导球体积公式打下基础。刘徽还提出了解线性方程组的新方法，并提出了有关测高望远的方法——重差术。

南北朝时期的数学家祖冲之（429—500年），河北省范阳人，是杰出的数学家、天文学家，精通天文、力学、数学、历法。他得出了8位有效数字的圆周率，擅长机械设计，他给《九章算术》及刘徽的注作过注，著作有《缀术》（已失传）、《大明历》，还研制了指南车、千里船、水碓磨等。他对圆周率π值的推算得到了十分精确的结果，即3．1415926＜π＜3．1415927，约率等，德国数学家奥托（V．Otto，1550—1607年）在1600年才得到密率。可见，祖冲之这一成就保持世界先进水平达千年之久。

《缀术》于1023—1078年间失传，据说是因为内容深奥，官方莫能理解，故废而不理。《缀术》是我国文化的瑰宝，它的失传，说明当时我国在记载、整理数学历史文化遗产方面做得比较薄弱，统治阶级对数学也缺乏足够的重视。

祖日恒（5－6世纪），祖冲之之子，中国南北朝时期杰出的数学家与天文学家。他协助父亲求取π的近似值，独立完成了牟合方盖的体积计算，得到的近似公式是由此可以得到球的体积公式

2．唐朝（618—9117年）

589年，隋朝统一了中国，实行了一系列有利于生产发展的政策，教育、科学技术与文化都有了一些发展，为唐代的繁荣昌盛做了有益的准备。618年，唐朝建立，它继承和发展了隋朝的有关制度，生产、科学技术与教育都得到了空前的发展，建成了一个在当时世界上强大而先进的文明国家，形成了由中央到地方的学校教育体制。首先，设立了中央官学——国子监，“算学”是其中的五个学部之一，这可以说是我国古代最早的数学教育机构。算学学生主要学习内容有《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》和《五经算术》等。这是世界上第一次由国家颁布的数学教科书，也标志我国有了规范、系统的数学课程模式。在唐代，除了官学中的数学教育外，社会上还有多种形式的数学教育，如家传私学、宗教传艺、和尚道士传数术等。唐代的科举明算作为常设科目每年举行，这对数学教育的发展起了极大的促进作用。国家在国子监设算学，定期进行考试。参加考试的人员为生徒（即国子监算学学员）或乡贡（即地方数学人才），成绩优异者得到封官。这样，在科举明算的指挥棒下，数学教育得以空前发展。唐朝把数学定为国家考试的项目，作为人才选拔的标准之一，可见当时统治阶级对数学教育较为重视，也对中国古代数学的发展起了良好的推动作用。

唐朝时期的数学家主要有王孝通和张遂。王孝通生于7世纪初，在唐朝初年曾任算历博士，626年任通直郎太史丞。630年，他著有《辑古算经》一书，这是“算经十书”中最晚也是最难懂的算经。书中共收入了数学应用问题20个，从求三次方程的正根入手，解决了土建水利工程中的大量问题。这比西方一般三次方程的解法提前了8—10个世纪。他对双二次方程给出了两次开方法，还对勾股圆方图作了补充发展。

张遂（683—727年）也是唐代杰出的数学家、天文学家，曾经削发为僧，法号一行。他的数学成就主要有：详解了《九章算术》；于721年受唐玄宗之命主编了新历法《大衍历》，为编写该历法呕心沥血，编写完毕后，积劳成疾，不治而终；创制了正切函数表；提出并首次使用不等距的内插法，用二次函数来逼近函数，为我国计算科学的发展建立了功勋。

为什么唐朝盛世时我国的数学成就不算显著？这归咎于统治者对数学不够重视，也说明数学的繁荣昌盛需要一个孕育和发展的过程，需要良好的研究氛围，也需要人们对数学的深入研究与思考。

3．宋朝（960—1279年）

宋代是我国封建社会发展的成熟时期，其政治、经济、文化教行等方面都有较大发展。中华民族红历史上的四大发明中的三大发明——火药、印刷术和指南针（第四大发明是唐代的蔡伦造纸术）都是在宋代完成的。这些科学技术上的成就，为数学教育的发展创造了有利条件。

（1）学校教育

宋代加强了中央官学的地位，其学生可以不经过科举直接授予官职，地方官学的学生可以直接升入中央官学。宋代实行了鼓励私学的政策，其中许多学问家出身于私学，也就教于私学。私学以书院为其高级形式。书院既有教学的功能，又有常术研究的功能。书院允许不同的学派共同讲学，并实行门户开放的政策，学者可以在不同的书院讲学，书院外的学生也可以参加听讲。院内重视自学，提倡研讨，成绩考核多重平时表现，也重品质修养。

（2）数学教育。

无论官学、私学和书院，都设有数学教育。学生除了学习“算经十书”外，还要学习天文、历算与三式。其中天文与三式的学习包括一定的数学知识、天气预报、天象预报等常识，也包含一些唯心主义的成分。

（3）数学教育家。

朱熹（1130—1200年），宋代杰出的教育家、哲学家。作为理学家，他兼通数学，亲自教授“易数学”，该科目研究与《周易》有关的天文、历法、测量和数学问题。他所写的《周易本义》成为从元末到清末数百年的重要理学教材之一。

杨辉（约13世纪），我国著名的数学家、数学教育家。他与秦九韶、张遂并称为我国唐宋时代的数学三杰。他生活在南宋时期的钱塘一带，经常每到一地，就有人前来向他请教数学问题。他在《日用算术》一书中，主张“以乘除加减为法，秤斗田间为问，用法必在源流，命题须责实用”，体现了理论联系实际，重视数学应用的传统。他编撰的数学著作很多，流传至今的有五种二十一卷，如《详解九章算术》十二卷、《日用算术》两卷等。1296年，杨辉在《详解九章算术》中，首次展示了二项展开式中的系数的优美性质，杨辉的这一成果比法国数学家帕斯卡（Pas－cal，1623—1662年）的同样成果早了400年。人们把杨辉所发现的二项式（a＋b）ⁿ展开式的系数性质称为“杨辉三角”。

秦九韶（1202—1261年），自称山东人，生于四川安岳，是宋代杰出的数学家。他接受过官学与私学的教学教育，精通数学、历法与天文学。他的主要著作是《数书九章》，该书不但代表了当时中国数学发展的水平，也是中世纪数学发展最高水平的标志。全书列算题81道，分为大衍、天时、田域、测望、服役、钱谷、营建、军旅、市物等。书中的大衍求一术（一次同余式组解法）、“正负开方术”（一元高次方程的数值解法）领先于西方五百多年。其中他所提出的大衍求一术，被数学界称为中国的剩余定理。他的“三斜求积术”是已知三角形三边，求该三角形的面积。其公式是：

式中a、b、c分别是三角形的三边，S为三角形的面积。这一公式相当于海伦秦九韶公式S＝（其中

美国数学史专家萨顿对秦九韶的数学成就给予了很高的评价，他说：“秦九韶是他那个民族、那个时代乃至所有时代最伟大的数学家之一。”

4．元朝（1279—1368年）

元代，是由蒙古族入主中原而建立的统一的王朝，它对中华民族的形成起了重要的作用。在文化教育方面，元朝实行尊孔崇儒的政策，在教育上仿照唐宋体制，在中央设国子监，属大学教育，其中又分为国子学、蒙古国子学、回回国子学三种，后两者以培养本民族的人才为主，其中只有蒙古国子学商“好学者”兼修数学。地方官学分路、府、州、县四级。在小学及社学中有数学的启蒙内容。地方官学学习阴阳学课程，该课程包含天文学与术数等知识。

从12世纪到13世纪，我国数学发展较快，涌现了一批杰出的数学家和优秀的数学著作，朱世杰就是元代数学家的杰出代表。

朱世杰（约13—14世纪），曾寓居北京附近，精通《九章算术》，“旁通诸术”。他全面继承了宋、元以来秦九韶、杨辉的数学成就，创造性地予以发展，分别写成数学名著《算学启蒙》（1299年）和《四元玉鉴》（1303年），前者包括乘除、面积、体积、垛积、盈不足、差分、方程与天元术，内容由浅入深，是数学启蒙的优秀读物；后者主要论述垛积术与四元术。朱世杰把堆垛术与天元术有机地结合起来。他还是正负数乘除法及珠算口决的首创者。例如，他首先提出了珠算口诀“二一添作五”、“六一下加四”。

《四元玉鉴》是论述垛积术的著作，全书三卷，24门，288问，也论述四元术，即四元高次方程组的布列与解法。四元，就是用四个不同的符号“天、地、人、物”来表示不同的未知数，他们是用算筹的不同位置来表示的，相当于现在经常用于表示未知数的符号“z，y，z，w”，这就是建立四元方程组解决实际问题的数学模型。这是具有世界历史意义的成就，比西方同类方法早四百年。

《天元术》是13世纪我国利用建立代数方程求解问题的一般方法，其中所设的未知数称为天元，方程术也称为天元术。这是中国古代首次引入了数学符号。

5．明朝（1368—1644年）

从明代起，中国封建社会进入晚期。一方面，封建社会的政治、经济、文化等已经发展得十分成熟；另一方面，其内部出现了若干资本主义因素。明代中央官学的招生范围进一步扩大，中小地主的子女也有机会就学。当时，明朝的国策是“以武安天下，以文治天下”，在教育方面实行尊经崇儒。所谓经，就是四书五经；所谓儒，就是儒家学说。在这种思想的指导下，全国大办官学。除了中央官学外，州、府、县也办官学，市、镇、乡村设立社学。在学校中分礼、乐、射、御、书、数科目施教。各级官学都规定要学习《九章算术》。但是，学生所学的数学内容，不及唐宋时期多。总体说来，明代对数学教育远不如唐宋重视。明代末年，西算引入中国。为我国古代数学教育的发展注入了积极的因素，在这方面，徐光启作出了重大贡献。

徐光启（1562—1633年），上海人，明代杰出的数学家、天文学家，精通天文、历法，一生勤奋读书，治学严谨。1603年，徐光启认识了意大利传教士利马窦（Metteo　Ri－ca，1552—1610年），开始学习和引进西方科学技术，注意中西方科学技术的融会贯通。在数学方面，他的突出贡献是与利马窦共同翻译了欧儿里得的《几何原本》前六卷。他创造了许多数学专用的汉史数学名词术语，非常贴切，如几何、点、直线、曲线、平行线、角、三角形、四边形等，这些术语至今仍在沿用。在天文方面，他融会中西历算，完成了130卷历书的编译工作。

6．清朝前期（1644—1840年）

清代是我国封建社会从没落走向灭亡的时期。在这段时明，由于西方数学的传入，中西方数学开始走向合璧。由于康熙等皇帝的重视，所以清代前期我国数学有了较大的发展。徐光启等人在引进西算方面做了许多杰出的工作，促使一些学者致力于中西数学的研究，其中影响较大的有王锡阐、梅文鼎等人。清代继承了明代的官学体制，中央官学为国子监，地方官学为府学、州学、县学和社学。这里主要研究1840年鸦片战争前的数学教育。

（1）数学教育。清代在官学中开设过专业性的数学馆，开始只收八旗子弟，后来也放宽到招收蒙汉学生。康熙钦定编写的《数理精蕴》是数学馆的主要教材。当时，学习数学主要是为了社会应用，因此特别重视数学在天文历法方面的应用。钦天监是清代研究天文学的机构，其工作人员要学习较多的数学，西算在钦天监学员的学习中占有较大的分量。在清代私学中，数学教育得到了较大的发展，培养了不少人才。清代我国数学虽有较大发展，但是在同一时期，西方已经进入了资本主义社会，数学进入了高速发展的时期，我国数学与西方的差距反而拉大了。

（2）数学教育家主要有梅文鼎（1633—1721年），安徽宣城县人。他一生勤奋研究，探索数学常常废寝忘食，著成数学书籍二十余种，在算术、代数、几何、三角、天文等领域都有较大的贡献，其中数学专著13种40卷，如《笔算》、《筹算》、《方程论》、《勾股举偶》、《方圆幂积》、历学书《勿庵历算书目》等。他对于求教的年轻学者十分谦和，耐心指点。由于梅文鼎学术造诣很深，康熙皇帝对他十分赞赏。