外国古代数学课程回顾

第二节　外国古代数学课程回顾

在本节中，我们简要回顾了外国古代数学课程的演进，包括古埃及、古巴比伦数学课程的萌芽，作为欧洲数学教育源头的古希腊、古罗马数学课程，中世纪欧洲数学课程，等等。由此可看到国外古代数学课程的主要脉络。

一、古埃及数学课程的萌芽

古埃及是世界四大文明古国之一，公元前3200年左右形成了统一的奴隶制国家。由于尼罗河每年泛滥，古埃及每年都要重新丈量土地，在这个过程中积累了丰富的几何知识。开始时，这些几何知识靠家庭传授或师徒传授的方式得以传播，这就是最早期的数学教育。为了使王公贵族的子弟受到必要的教育，在公元前2500年，埃及出现了学校，一定的数学知识是维护奴隶主统治所必需的，因而需要在学校讲授。古埃及的学校主要有以下四种形式：

（1）宫廷学校。古埃及最早出现的学校，是培养王公贵族的场所。主要对皇室及重臣的子弟进行教育，学完后可当官吏。学校主要学习书写、计算与政务等有关知识。

（2）职官学校。古埃及时期出现的学校，由政府机关设立，用以培养各种专业的官员。这种学校和业务机关联系密切，由政府官员担任教师，学校主要学习书写、计算、与各专业训练有关的知识与技能。

（3）寺庙学校。在古埃及，僧侣是学识丰富，地位较高的社会阶层，他们在社会上受到尊重，也自然承担了教育的社会职责。由他们建立的寺庙学校也是水平较高的学校，其培养的目标是专业人才。学校开设的课程有数学、天文学、建筑学等。

（4）文士学校。古埃及的文职人员称为文士，他们的社会地位高、待遇优厚、受到人们的尊重，但并不是世袭。许多奴隶主的子弟都想成为文士。由文士开设的学校叫做文士学校。学校开设书写、计算等一般课程，也开设天文学、数学、医学等要求较高的课程。

在古埃及，懂得数学的人受到社会的尊重，数学成为各类学校都重视的课程。当时的人们认为不懂计算是一种耻辱。阿默斯纸草书相传是公元前1650年左右埃及最早的数学课程材料，作者是书记官阿默斯。

概括地说，古代埃及的数学成就表现为以下六个方面：

①十进、二十进记数法的形成。

②整数四则运算。

③分数计数法及其运算。

④算术级数、几何级数求和。

⑤求解一元一次、一元二次方程。

⑥矩形、三角形、梯形的面积计算等。

二、古巴比伦数学课程的萌芽

像尼罗河流域孕育了古埃及文明一样，底格里斯河与幼发拉底河流域也孕育了亚述与巴比伦的古老文明。在公元前3000年左右，苏美尔人在这里建立起奴隶制国家。亚述与巴比伦两个古国继承了苏美尔文化，逐步积累和发展了丰富的数学知识。在公元前1800到公元前1600年间，巴比伦人已经掌握了系统的十进位制和六十进位制记数法，制定了1—60的乘法表、倒数表、平方表与立方表，能够解某些二次方程、三次方程，知道的近似值，懂得勾股定理。巴比伦的天文学也很发达，能够测出日食和月食，在水利、建筑、机械等方面积累了丰富的知识。在公元前2000年左右，亚述与巴比伦两个古国就开始有学校教育。学校的类型、性质和课程与古埃及的学校相似。为了培养大量能写会算的文士承担政府部门的管理工作，政府开办学校，文士个人也可以办学。学校的课程主要有书写和计算。历史学家所发现的泥版教科书就是当时的教科书。在巴比伦的文士学校中，数学是最重要的课程之一，学习的主要内容有加、减、乘法运算，系数与倒数知识以及这些知识的实际应用。

概括地说，古代巴比伦的数学成就表现为以下方面：

①算术四则计算。

②平方、开平方术；立方、开立方术。

③解一元一次方程、二元一次方程组。

④矩形、三角形、梯形的面积计算，平行六面体的体积，柱体的体积。

⑤勾股定理的发现等。

三、古希腊的数学课程

在公元前10世纪到公元前8世纪，希腊进入奴隶社会，形成了独特的希腊城邦制国家。公元前5世纪，希腊的哲学、科学、艺术都取得了巨大成就，成为欧洲文明的发源地。

1．毕达哥拉斯学派的数学成就

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580—前500年），古希腊人，生于爱琴海的萨摩斯岛上，青年时代学习了几何学与哲学，曾到过巴比伦、印度，学习过许多天文、数学的知识。在公元前500年，他在意大利南部建立了自己的学派。该学派是一个集科学、宗教与哲学于一体的学术团体，有成员三百多名，团体的纪律严明，并规定学派一切服从毕达哥拉斯，一切成果不得外传，违者按律处死。毕达哥拉斯是西方理论数学的创始人，在数学史上有深远的影响。他提出了万物皆数的思想，认为数是万物的本原。他在数论、几何、代数方面取得重大成就。毕达哥拉斯学派发现并且证明了勾股定理，发现了无理数，发现了五种正多面体：即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，该学派还提出了几何三大作图问题。

2．柏拉图的教育和课程思想

柏拉图（Plato，约公元前430—前349年），古希腊著名的哲学家、教育家。他的教育思想是唯心主义的。他认为，数学先于世界而存在，研究数学就是探索世界的本质。他主张数学是一切科学的基础，他在他教书的学院门前，亲自书写了“不懂几何，请勿入内”的横幅，可见他对数学的重视。柏拉图把学校课程分为低级课程和高级课程两类。低级课程包括体育、音乐、读、写、算等；高级课程包括算术、几何、天文、音乐等，这与毕达哥拉斯学派一脉相承。

3．欧几里得《几何原本》的产生

公元前338年，马其顿征服了希腊与地中海沿岸地区，许多移民进入希腊，马其顿人把高度发达的希腊文化带入广大被占领的地区，使得东西方文化进行了一次大交流。公元前10世纪到公元前8世纪，希腊进入奴隶社会。公元前5世纪，希腊进入繁荣时期。在这个时期，地中海沿岸地区的文化受到希腊文化的重大影响，使数学得到了很大发展，其标志是数学从哲学与天文学中脱胎出来，形成了独立的学科。

欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年），生于雅典，曾就学于柏拉图门下，是亚历山大前期的一位大数学家。公元前300年左右，他被聘为亚历山大大学教授，曾到亚历山大城主持这里的数学学派工作。他把毕生精力奉献给几何学的教学与研究，是一位温良敦厚的数学教育家。他谦虚谨慎，关怀他人，在学问上一丝不苟。他的代表作《几何原本》是这个时期最重要的数学著作。

《几何原本》是用公理法建立完整的数学演绎体系最早的典范，是少有的数学鸿编巨著。该书不仅开创了欧氏几何，而且开创了古典数论的研究。该书给出了独特的数学方法，先给出公理、公设、定义，然后给出一系列命题及其证明。全书共分13卷，内容丰富，文字简练，概念清晰，判断准确，推理周密。

4．《九章算术》与《几何原本》的比较

我国古代著名数学著作《九章算术》与《几何原本》相比，既有相同点也有不同点。其相同点是：

（1）从两书的材料来源来看，两书都是整理性的数学著作，分别对前人的数学成果进行了整理与总结。《九章算术》收集的实用问题246个，算法（称为术）202个。《几何原本》收集了命题477个，定义119个。

（2）从两书的作用来看，两书都起教科书的作用。《九章算术》是我国古代最有影响的数学教科书，其使用时间跨越了我国古代好几个朝代。《几何原本》是西方古代最有影响的数学教科书，其发行量仅次于圣经，直到19世纪，它仍然是学校数学中几何教材的蓝本。

（3）两书成书的确切时问尚未准确界定。

其不同点是：

①《九章算术》是以应用问题为主线的归纳体系，其目的是为了解决社会生活与生产建设的常见问题。《几何原本》是封闭的演绎体系，其目的是为了训练人们的思辨能力。

②《九章算术》的数学内容主要是解决实际问题的数学方法，先给出问题，算出解答，再总结成解决同类问题的一般方法（称为“术”），重视数值计算是《九章算术》的一大特点。《几何原本》的数学内容以几何为主，以少量不定义概念和少量不证明的命题为出发点，按照一定的逻辑规则，定义该体系中所有的其他概念，推演出该体系中所有的命题，抽象化的演绎推理是它的一个鲜明特色。

③《九章算术》是中国古代数学理论联系实际传统的体现。《几何原本》是公理化方法的雏形，其内容与当时的社会生活并没有紧密的联系，却对数学的发展产生重要的作用。

四、古罗马数学课程

古罗马原是意大利半岛上的一个小城帮，从公元前6世纪起，逐步扩展成为横跨欧、亚、非三洲的大帝国。古罗马在社会生产与文化传承方面曾取得许多成就，对欧洲后来的发展有不少的影响。公元前3世纪以后，古罗马开始了学校教育。罗马人的文化教育受到希腊较大的影响，但是他们与希腊人追求不同的教学目标。希腊人追求的是抽象的哲学家思维；罗马人追求的是演说、雄辩的政治家才干。公元前146年，罗马人征服了希腊，大批希腊教师到罗马办学。313年，罗马皇帝改信基督教，并在313年确立了基督教为国教。教会学校成为唯一的学校教育形式。罗马的学校教育分为初等教育、中等教育和高等教育三个层次。

1．初等教育

7—12岁的儿童进入私立小学接受初等教育，学习的主要内容为读、写、算，其中“算”就是简单的记数与运算知识。贵族和上层人士聘请家庭教师给子女教学。

2．中等教育

12—18岁的贵族和上层人士的子女在完成家庭教育之后，进入文法学校接受中等教育。学生学习的课程有文法（包括语言与文学）、历史、地理、科学与数学，有些学校加开音乐、几何、天文学，教学方法是讲解与听写，学习方法主要是背书。

3．高等教育

18—20岁的青年，从文法学校毕业后可以进入修辞学校接受高等教育，高等教育的目的是培养演说家与雄辩的政治家。修辞学校开设的课程有修辞学、辩证法、法律学、伦理学、数学，其中数学包括几何、算术、天文与音乐。

古罗马的大中小学都开设数学课程，其重点与希腊的数学课程不同，古罗马看重实用的数学知识，如测量与计算等。总的说来，古罗马仿效希腊的教学体制，在数学上没有新的重大成就。

五、欧洲中世纪的数学课程

476年，西罗马灭亡，这标志着西欧奴隶制的结束，开始进入封建社会。由此时直至12世纪的文艺复兴，在历史上称为中世纪。西欧中世纪初期，学校教育由教会控制，分为僧院学校、大主教学校和教区学校三种。神学和“七艺”成为当时学校的主要课程。“七艺”其实就是文法学、修辞学、辩证法（逻辑学）、算术、几何、天文、音乐。公元五六世纪，“七艺”被基督教加以改造，从而使中世纪欧洲学校的数学教育有浓厚的宗教色彩。例如学习的数字：

1——被解释为唯一的神；

2——被解释为耶稣基督具有神性和人性这两重性格；

3——被解释为圣父、圣子和圣灵的三位一体；

4——被解释为四个福音传道者。

当时学习与几何相关的一点测量常识，也是为了绘制教堂的建筑图样。由于基督教的思想禁锢，因此中世纪欧洲学校数学教育水平低下，数学研究也得不到应有的发展。直到晚期，十字军远征（1096—1291年）使欧洲人有机会接触阿拉伯国家和东方国家的文明，于是，希腊、印度、阿拉伯和中国的文化（包括我国古代的四大发明——造纸、印刷、火药、指南针）传入欧洲，使得欧洲的文化和学校教育得到了发展。意大利由于地处地中海中北部，是东西方交通要冲，因此逐渐发展成为欧洲新的经济文化中心。

六、文艺复兴时期的数学课程

从14世纪中到16世纪末，西欧兴起了新兴的资产阶级思想解放的运动，其表现是反对宗教的思想禁锢，掀起科学技术和认识的革命。这个时期被称为文艺复兴时期。

1．科学发现与思想解放

在这个时期，欧洲出现了许多杰出的科学家和思想家。正如恩格斯所指出的：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大进步的改革，是一个需要巨人而且产生了巨人的时代。”

达·芬奇（1452—1519年），意大利杰出的画家，他在建筑、机械、制图和几何方面都有过不少研究。他在科学上坚持唯物主义的见解，主张“从经验出发，并通过经验去探索原因”。他在科学研究中形成了正确的数学价值观，认为“人们不能应用数学的地方便没有任何确定性可言”。

哥白尼（N．opernieus，1473—1543年），波兰伟大的天文学家，在1543年出版了他的有关天体的伟大名著《天体运行论》。该名著提出了以太阳为中心的宇宙体系，打破了上帝创造世界的神话。这是对传统唯心主义宇宙观的挑战。他经常运用数学作为工具从事天文学的研究，在他的名著中，“数学运算的简便性达到前所未有的地步”。

伽利略（G．Galilei，1564—1642年），著名的意大利物理学家，他继承和倡导了哥白尼的学说，是第一个用望远镜研究天文的实验物理学家。他第一个发现自由落体运动，给出了该运动的数学表达式，并相信自然界是用数学语言来描述的。他的实验方法、分析方法和数学方法成为以后几百年科学研究的基本方法。他指出，如果不使用数学方法和数学语言，“人们就在一个黑暗的迷宫里劳而无功地游荡着”。

2．学校教育

随着科学技术的发展，人们的认识逐步冲破了神学的桎梏，既认识了自然的力量，也认识了自身的价值。新兴的资产阶级要求培养积极参与社会、政治、文化和工商业的人才，为资产阶级子弟就学创造条件，如15世纪意大利的孟都亚宫廷学校、16世纪的法兰西学院、日耳曼的城市中学等。这个时期的学校教学内容有所改变，开设科目有所增多，在原有“七艺”的基础上又增加了文学、历史、地理、机械与体育等课程，在教学中注意启发儿童的学习兴趣，重视实物教学，发展学生的思维能力。

3．数学课程概况

在文艺复兴的初期，数学教育尚未得到重视。文艺复兴后期，民族语言进入了学科教育，一批杰出数学家相继出现。例如，韦达（Vieta，1540—1603年）引进了字母符号，使代数系统化；纳伯尔（Napiel，1550—1617年）发明了对数，大大简化了计算；费尔马（Fermat，1601—1650年）对于数论和多个学科有杰出的贡献，创立了坐标思想和无穷小分析思想的萌芽；卡瓦列里（Cavalieri，1598—1647年）用不可分的思想方法研究几何体的面积与体积，成为微积分学的先驱；巴斯加（Pascal，1623—1662年）对射影几何进行了开创性的研究工作。这些数学家的创造性的工作，表明欧洲数学已经在古代数学的基础上大踏步前进了，这就为进入变量数学时期做了积极的准备，也为数学课程的发展创造了条件。

欧洲文艺复兴时期的数学可以概括为三个方面：

（1）算术的新发展：1585年，荷兰数学家斯蒂芬（Stevin，1548—1620年）发表了《十进制算术》，把印度－阿拉伯算术格式演化为现代形式。意大利数学家帮别利（R．Bombelli，1526—1572年）首先引进了连分数来逼近平方根。1545年，意大利数学家卡丹诺（G．cardano，1501－1576年）用十进制小数表示分数，引进并讨论了复数。1614年，苏格兰数学家纳伯尔（J．Napier，1550－1617年）发明了对数，并发表了他研制的对数表《奇妙的对数定律说明书》。

（2）代数的新进展：通过对三次、四次方程进行系统深入的研究，卡丹诺得到了三次方程代数解法公式。法国数学家韦达（Vieta，1540－1603年）发表了名著《分析方法引论》，可称为第一部符号代数学。在该书中，他有意识地、系统地使用字母，使代数成为研究由字母所构成的公式的变换以及关于代数方程的科学。

（3）几何的新进展：意大利数学家于1511年发表《论绘画》，该书是透视法方面的著作，是射影几何的萌芽。

（4）独立的三角学的建立：德国数学家缪勒（Muller，1436－1476年）于1464年写成著作《三角全书》，该书于1533年出版，使三角学成为真正独立的数学分支。丢勒（Durer，1471－1528年）发表了《圆规直尺测量法》，把平面三角和球面三角分离开来。

这个时期欧洲学校数学课程有如下特点：

①中小学普遍开设了数学课程。

②人们对数学课程的目标有了初步的认识，知道数学课程要培养学生的计算能力、空间想像力与逻辑思维能力，这就是该课程的智育功能；数学课程的实用功能也为人们普遍接受。

③学校数学课程主要由算术、代数、几何、三角等科目构成。这种课程框架已经与近现代普通教育数学课程接近了。几个欧洲国家的大中小学校开设数学课程的内容分别为：

德国——中等学校开设算术，包括比例论；

英国——私立学校开设算术、几何、代数、天文学；

法国——人文主义学校开设算术、几何、天文、音乐；

意大利——大学开设记数法、代数、几何。