国际数学课程的现代发展

第二节　国际数学课程的现代发展

从第二次世界大战结束后起直到现在，国际数学课程进入了的现代发展时期，这个时期的数学课程分为六个阶段：一是数学教育现代化运动阶段，以争取实现数学课程现代化为特色；二是新数运动的反思阶段，以反思新数运动的成败得失为特色；三是大众数学阶段，以争取学生在数学上具有平等发展机会为宗旨；四是信息技术与数学课程整合阶段，以信息技术越来越多地介入到数学课程为特色；五是面向21世纪的数学课程探索阶段，以研究新世纪对数学课程的需要为特色；六是数学课程发展多元化阶段，以数学课程各种理论流派相互影响、相互渗透为特色。

一、数学教育现代化运动

数学教育近代化运动曾受两次世界大战的影响而中断，第二次世界大战结束后，人们重新燃起了对教学改革的热情，数学教育的改革首当其冲，这就是人们所广泛关心的数学教育现代化运动（亦称新数运动）。

1．背景

促使新数运动发生的原因有许多，其中主要有三个，即高科技的发展、数学的发展和现代教育心理学的发展。

（1）高科技的发展。通过第二次世界大战，人们认识到现代科学技术在战争和生产建设中的作用。20世纪50年代以来，原子能、计算机、遗传工程、空间技术等先进科学技术相继出现，现代科学技术的迅速发展促使人们重视数学教学改革。

（2）数学的发展。通过各国数学家的共同努力，数学已经成为分支众多的庞大体系，法国布尔巴基学派力图把数学建立在各种结构的基础上。集合论、公理化方法成为现代数学各分支的共同基础。现代数学的这些重要的发展在中小学没有得到适当的反映。解决这种矛盾的需要，成为数学教育现代化运动的动力。

（3）现代教育心理学的发展。现代教育心理学领域出现了以皮亚杰和布鲁纳为代表的结构主义学派。皮亚杰发现人的数学思维结构与数学的自身结构十分相似；布鲁纳在其名著《教育过程》中提出结构主义的课程理论，他指出，无论学习什么学科都要先学习该学科的结构，他提倡在数学教学中要使用发现法，这就为数学课程现代化提供了教育心理学的根据。

1958年，前苏联第一颗人造卫星上天，使美国进一步感到自身空间技术落后，其原因是教育的落后，特别是数学教育落后，为此，美国人痛思需要对学校数学教学进行大力改革。这就成为美国发动新数运动的直接诱因。

2．发动

由20世纪50年代末到60年代初，在世界范围内召开了一系列国际会议，指出当时的中小学数学教育存在不少弊端，概括起来有以下六点：

（1）观点落后。缺乏近、现代数学思想，如集合论、公理法、结构主义等思想方法。

（2）内容陈旧。基本上停留在十六七世纪的内容，几何学基本上停留在欧几里得时代的水平，从而使当时的中小学数学课程严重落后于社会生产、科学技术和数学自身的发展。

（3）体系零散。代数、几何、三角等三个分科自成体系，互相割裂，缺乏共同的基础，这就难以帮助学生体会数学的整体性和紧密的内在联系，有碍于学生形成正确的学科观念。

（4）计算烦琐。过分强调计算技巧，脱离实际需要，收效甚微，因此学生没有足够的时间学习近现代的数学思想方法。

（5）方法简单。教学方法上依循以教师讲授、学生听讲为主的单一教学方法；教师的讲述多使用同一模式，如定义、定理、例题、练习、作业、批改等；重视演绎法，忽视归纳法；学生的学习偏重于模仿与记忆。

（6）大中脱节。大学数学课程与近代科学技术发展的联系比较紧密，而中学数学课程则长期停滞不前，两者差距日渐增大。

3．实验

（1）美、英数学教学改革实验。1951年，美国以伊利诺斯大学为中心，开始了数学教育改革实验。1958年，在美国政府和全美数学教师协会（NCTM）的支持下，学校数学研究小组（School　Mathematics　Study　Group，缩写为SMSG）成立，并编写了从幼儿园到大学预科的全套数学教材，称为《统一的现代数学》，同时出版了相应的教学参考书与学生辅导读物，开始了广泛的实验。1961年，英国成立了学校数学设计小组（School　Mathematics Project，缩写为SMP），编写了中小学实验教材（称为SMP教材），对数学课程的内容和体系进行了大力度改革，并且进行了一些实验研究。

（2）国际数学教育组织交流改革情况。1959年，在法国罗瓦奥蒙举行了由欧洲经济共同体成员国参加的国际数学教育会议，会议讨论了新的数学思想、新的数学教育思想和教育手段的改革问题。法国布尔巴基学派的代表人物狄奥东尼（Dieudonne，1906－1992年）在会上提出了激进的口号“欧几里得必须让开”。会议把新数运动推向高潮。

在这段时间内，一些国家与国际数学教育组织对数学教育改革也十分重视。例如，1962年，国际数学教育委员会（ICMI）在瑞典首都斯德哥尔摩召开了国际会议，21个国家的代表报告了他们国家的数学教育改革的进展。同年，联合国科教文组织（UNESCO）在匈牙利的布达佩斯召开国际数学教育会议，有15个国家派代表参加。会议的内容为数学的普遍性、数学课程计划、数学教学法、教师的职业发展、国际数学教育的联系与交流等。1964年，东南亚国家召开了“新数运动”的讨论会。

（3）其他国家的数学教育改革实验。

前苏联的数学教育一向以稳健著称，他们对数学教学改革也十分重视，1965年成立了以柯尔莫哥洛夫院士为首的确定中学数学内容的委员会，负责制订4—10年级的数学教学新大纲。1968年颁布了修订后的新大纲，同时出版了相应的新教材。新大纲与新教材力图反映新数运动的先进思想。

日本按照数学教学改革的要求，分别在1968年、1969年、1970年修订了小学、初中、高中的数学教学大纲，编写了相应的新教材，并且分别于1971年、1972年、1973年逐年在全国实施。

（4）新数运动影响下各国大纲教材的一些共性。

①统一化。力求以集合关系—映射运算，群—环—域—向量空间的代数结构为主线，把中学数学建成统一的现代数学。

②公理化。试图把集合论初步知识和公理化方法放进中学数学教材。

③通俗化。增加近现代数学的内容，使用近现代数学的语言和符号；利用现实生活中的模型，帮助学生理解。

④几何代数化。打破欧氏体系，加强代数学习，尽量用代数方法处理几何内容。

⑤手段现代化。利用计算机、计算器作为辅助数学教学的现代化工具。

⑥内容重组与简化。精简传统的中学数学的内容，增加近现代数学的知识，实现中学数学内容的优化与简化。

⑦方法多样化。提倡发现法教学，同时研究多媒体教学、程序教学和个别化教学。

综合各国数学课程的情况，新数运动对世界各国数学课程发展有不同程度的影响，20世纪六七十年代的数学课程大致分为三种类型：改革型、稳健型和折中型。

改革型：强烈主张对中小学教材作大力的改革。以美国、英国、欧洲共同体的国家为代表，这些国家的数学教育和课程论的专家力求建设具有上述特色的数学课程，美国的《统一的现代数学》教材、英国的SMP教材、比利时的Papy教材等，就是改革型的教材的代表。

稳健型：如我国、前苏联等社会主义国家，虽然受到新数运动的影响，但对课程改革持稳重态度。这些国家六七十年代的中小学数学教材，基本保留传统的体系，注意加进一些近现代数学的内容，如集合、映射、变换、向量、矩阵等，但基本保留了代数、几何的分科，对欧氏几何作了一些精简和改革。

折中型：以日本为代表的一些国家，接受了新数运动的部分思想，例如，打破了分科教学的传统模式，把中学数学的内容重新组合，编写成统一的数学新教材，增加了概率、统计等新内容，但是对传统的数学内容，例如欧氏几何的内容，仍然保留相当的分量。

4．评价

新数运动冲击了旧有的数学课程，提出了数学课程现代化的问题，对数学课程的发展有重要意义，但是学校和教育部门对运动的准备不足，行动过于仓促，带来了一系列问题，引起了人们的反思。从20世纪70年代起，各国专家学者对该运动纷纷进行评价国际数学教育大会就是在这种背景下召开和发展的，历届大会都对新数运动进行了评价与反思。

通过新数运动，获得了一些值得肯定的成果：

①涌现了一批热心的数学教育工作者，形成了国际数学教育研究合作的机制，加强了国际数学教育学术交流。

②多数国家，如英、法、日、俄等国，形成了国家统一的数学课程。

③形成了国际数学教育工作的联络网。

④广大数学教育工作者更加关注教育学、心理学研究的新成果，关注数学课程的内容及数学教学改革。

二、对新数运动的反思

1966年，荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔当选为国际数学家协会（ICMI）主席，他建议单独为数学教育召开国际性大会，会上有大会特邀的报告，也有个人发表意见的机会，这就是国际数学教育大会的发起。到2004年7月为止，已经举行过10届国际数学教育大会。

1．建立交流机制，反思新数运动

由于对新数运动的反思，促使各国数学教育工作者感到需要交流机制，国际数学教育大会就是根据这样的需要而召开的。

2．数学教育国际交流机制的建立与完善

（1）第一届国际数学教育大会——国际数学教育大会的开始。

第一届国际数学教育大会于1969年在法国里昂举行，来自42个国家和地区的600多名数学教育家与会。会议的主题是：学科教育的相对独立性以及在职教师的培训与提高。会上有21个历时一小时的大会报告，而且首次安排了大会讨论，很受与会者欢迎。

（2）第二届国际数学教育大会——国际数学教育大会的定型。

第二届国际数学教育大会于1972年在英国的埃克塞特举行，来自70个国家和地区的1400多人与会。会议的主题是：新数运动的回顾与反思。根据会议的要求，于1972年出版了第一期《ICMI通讯》。从这次大会开始，国际数学教育大会每四年举行一届，走上了规范化的道路。

（3）第三届国际数学教育大会——分课题组展开工作。

第三届国际数学教育大会于1976年在德国的卡尔斯鲁厄举行，来自70个国家和地区的1800多人与会。会议的主题是：计算机与新技术用于课堂教学；消除在数学教学中对女性的歧视；中小学的几何教学。会议围绕着13个课题组进行，每个课题组都提供了一个有启发性的框架，以后各届大会都采取这类模式。

3．中国参加数学教育国际交流的开始

第四届国际数学教育大会——对新数运动的深刻反思。

第四届国际数学教育大会于1980年在美国加州伯克利举行，米自100个国家和地区的2000多人与会。会议的主题是：新数运动的回顾与反思；问题解决在数学教学的地位。中国派了华罗庚（中国科学院）、丁石孙（北京大学）、丁尔升（北京师范大学）、曹锡华（华东师范大学）、曾如阜（华南师范大学）5位教授赴会。会上华罗庚教授作了题为《普及数学方法的若干经验》的报告，丁尔升教授作丁题为《中国数学教育简介》的报告，受到与会代表的热烈欢迎。

在本届大会上，与会代表对新数运动作了认真的回顾，认为新数运动的主要缺点是：中小学数学新增的内容分量过重；片面强调理解，学生缺乏必要的数学基本技能训练；数学课程面向成绩好的学生，忽视成绩中下学生的学习需要；数学师资缺乏培训，不少教师感到难以胜任。

三、实现数学课程大众化阶段

20世纪80年代以来，对大众数学的探讨成为国际数学课程发展的主流。对广大学生在数学上有较高的期望，让他们在数学上得到充分的发展是各国数学课程的共同目标。性别数学问题，民族数学问题，成为数学课程关注的热点。

第五届国际数学教育大会——探讨民族数学教育的发展。

第五届国际数学教育大会于1984年在澳大利亚的阿得雷德举行，来自70个国家和地区的2000余人与会。会议的主题是：问题解决的进一步研究；民族与数学教育；多文化的数学教育。我国大陆未派代表参加。

四、技术与课程整合阶段

信息技术的发展既是数学课程的动力，也是数学课程发展的重要因素。各国对信息技术与数学课程的关系加强了研究，信息技术的发展也对教师的专业发展提出了新的课题。从20世纪80年代末到90年代，信息技术与数学课程的相互关系逐步成为数学课程发展的热点问题。

1．第六届国际数学教育大会——技术与师资培训

第六届国际数学教育大会于1988年在匈牙利的布达佩斯举行，来自74个国家和地区的2414人参加会议。会议的主题是：技术在数学教学中的作用；教师的培训与提高。我国有张奠宙、丁尔升、蔡上鹤、曹笆羽、孙树本、叶其孝、袁传宽、王长沛等8人参加会议。会上我国开始了与ICMI的合作研究。

2．第七届国际数学教育大会——数学教师的作用

第七届国际数学教育大会于1992年在加拿大的魁北克举行，来自60多个国家和地区的2671人参加会议。会议的主题是：数学教育要适应科学技术的发展；数学教师在课堂教学中的作用。中国内地有9人、台湾有8人、香港有6人参加大会，我国数学教育的多样化受到大会的关注。会议分成23个工作组和17个专题组进行工作，人们开始越来越关心面向21世纪的数学教育。

五、面向新世纪的数学课程探索阶段

1996年，在西班牙的历史名城塞维利亚，第八届国际数学教育大会（ICME　8）在世界各国的数学教育家认真地思考面向21世纪的数学课程设计问题的背景下召开了。来自65个国家和地区共3500人参加会议。与会者对未来数学课程的发展极为重视。大会分为26个工作组和26个专题组开展研究．大部分研究课题与数学课程有直接或问接的联系。下面对大会有关数学课程的意见作出评述。

1．从零点起步，面向新世纪

数学课程是指学生在校学习的全部数学知识，以及全部数学训练的总和。课程是社会文化教育和科学技术发展的产物，它必须紧跟时代的步伐，以满足社会对下一代的要求。因此，课程需要不断改革，而原有的课程观念及其内容框架往往妨碍人们的创新意识，成为课程改革的阻力。为摆脱原有课程的束缚，与会专家们呼吁，应从零点上构建面向21世纪的新的数学课程。

（1）假设原来没有数学课程，而我们要在1996年创建它，那么，这个数学课程应该是满足21世纪政治、经济、文化、科技发展需要的课程。把理想的课程和现行的课程相比较，就可能找到切实可行的改革方案。我们设想21世纪社会对数学教育的期望是：

①社会趋向民主、平等、进步。公民具有良好的科学意识和文化素养，下一代有更多受教育的机会。

②科学技术高度发展，公民具有良好的数学基础和思维能力。

③数学科学日新月异，研究方法发生质的变化，公民应该掌握近现代常用的数学思想方法。

这就是我们设计面向21世纪数学课程的出发点。

（2）新课程应具备新特点。借助于现代技术，我们希望建设一个面向未来全体社会成员的数学课程。即所有不同种族、不同性别、不同背景、不同抱负的青少年，都能学到对他们有用的数学。未来数学课程的特点是：

①日常生活应用问题，是课程的基本线索。

②重要的数学思想方法，在课程中得到反映。

③近现代数学结构，在课程中有所体现。

（3）新课程应反映新观念，反映数学的发展及其思想观念的变化。例如，实验数学正在兴起，并受到数学教育界的重视。实验数学是一种研究数学的方法。它是指根据研究目的，组织适当实验，收集分析数据，发现其中规律，作出合理猜想，等等。实验数学也是当前数学教育改革一个潮流，必将对未来的数学课程产生影响。

又如，数学证明的观念也有所变化。传统的逻辑证明方法不再唱独角戏，非正式证明、机器证明、实验证明已逐步取得合理的地位。人们认为，在未来的数学课程中，逻辑推理不会受到过分强调，多元化的证明方法将会同时并存。

（4）新课程应具有新标准。20世纪80年代末到90年代初，美、英、法、日、前苏联和我国大陆，分别制定了新的数学课程标准（或教学大纲），这是各国设计面向21世纪数学课程的尝试。其中全美数学教师协会（NCTM）所设计的《学校数学课程和评估标准》在世界范围内影响较大。为了适应21世纪的需要，我们应该设计先进、新颖、细致、可行的课程标准。对课程的评估问题还可以从以下三方面考虑：

①在国际测试比较的基础上进行评估。ICME　8对近年几次国际数学教育测试比较研究的结果进行了分析，以此为基础，对各国数学课程进行了横向比较，检查相关国家数学课程及其实施中的有关问题。

②全国性的测试评估。通过全国性的测试，配合有关的观摩调查，对数学课程实施中的机制及有关问题进行宏观性评估、

③对学生学习的评估。包括书面评估与口头评估，内部评估与外部评估，自我评估与相互评估，个人评估与集体评估，等等。教师可以使用问题数据库进行评估，从中收集有关课程实施过程中的反馈信息。

2．分段考虑，全面改革

未来的数学课程应该具有新的目标。专家们认为，与其说让学生多学习一点知识，不如说以知识为载体，培养学生良好的素质和能力。我们期望的新课程应该是：知识面宽一些，对每个知识点的要求低一些，学生参与课堂活动的程度高一些，应用数学的知识和方法解决实际问题的能力强一地。

（1）小学数学的未来。

小学数学是未来社会成员必须掌握的最基础的数学知识和方法。它在培养学生的数学思维能力、形成科学的世界观等方回具有十分重要的作用。除了较为稳定的传统内容外，一些重要的数学思想方法应该提早进入小学数学。例如，使用数学符号表示数及其运算，引入直角坐标系，渗透朴素的集合思想，介绍简单的统计方法，等等。此外还要处理下列与未来小学数学有关的问题：

①教师所教的数学与学生所学的数学之问存在差异，如何做好转化工作？

②教师在传统的数学课程的责任是传授知识、管理课堂：而新课程要求教师承担的责任是设计问题、组织活动和指导学习。如何做好教师责任的转化工作？

③学生的任务将不仅是学会书本知识、完成教科书的练习，他们还要在活动中学会假设、选择、辩论、尝试失败、反思、纠正错误，在不熟悉的线索中进行工作，尝试解决不熟悉的问题，从中形成能力。如何指导小学生完成上述任务？

④学生在升级或转学时，将会遇到不同的教师，如何帮助他们适应学校和教师的变化？

（2）中学数学的未来。

中学生处于世界观形成的关键时期，其知识，能力在此阶段迅速发展。数学课程应促进中学生良好素质的形成，为一部分学生的就业做准备，为另一部分学生的升学深造打好基础。因此，中学数学课程应该有不同的标准和要求。未来中学数学课程要考虑以下问题：

①内容的转变。中学数学不再局限于传统的初等数学，未来的中学数学有三部分内容：代数、函数与微积分；几何，包括二维几何与三维几何，综合几何与解析几何；离散数学，包括概率、统计、图论、组合数学等。有关中学数学的科学性与严谨性，只作适度要求。

②教法及其衔接。鼓励学生在活动中养成主动、独立的学习习惯和发挥相互协作的精神，注意中学与小学、中学与大学、中学与成人工作环境间的自然衔接。

③学科间的联系。数学与其他学科之间应该相互促进、相互联系，例如，在数学中插入相关的历史材料，培养爱国主义精神和民族自豪感，在问题解决过程中适当进行辩论，发展思维能力和语言表达能力，指导学生运用数学知识解决其他学科的问题，等等。为了做好与其他学科问的联系，教师要有宽广的知识面和良好的科学素质。

（3）大学数学的未来。

大学的专业设置纷繁，各专业对数学要求各异。IC－ME　8主要研究高等学校的两类数学课程。

①作为为高等教育服务的数学课程。此类课程大多数称为高等数学课程，其教学目标是：为大学生学习专业课打好基础；为大学生以后从事专业工作提供数学工具；培养大学生良好的数学素质．

②作为培养未来数学师资的数学课程。此类课程的目标是：理解数学的基础理论，掌握数学的思想方法；树立正确的数学观；了解数学教学的目的、意义和要求；能胜任未来的数学教学工作，并具有数学教学研究的初步能力。

师范院校的数学（包括数学教学）课程，应该具有鲜明的师范性，紧密联系中小学教学实际，具有改革创新的精神，重视先进的教育思想的传播，重视现代技术的运用。可惜，当前师范院校的数学课程离开上述要求尚远，传统的讲授方法仍然在大学讲台上占统治地位。

3．利用技术，促进改革

计算机、图形计算器、视听显示技术目前已经在各国数学课程发挥巨大作用。在ICME　8的各种会议上，各国专家纷纷带去仪器及软件，竞相展示技术的威力。我国的数学课程改革也必须考虑技术这个因素。

（1）技术促进课程内容更新。

①几何学焕发青春。20世纪60年代以来，几何在各国中学数学课程的地位逐步削弱，计算机的出现使实验几何得以崛起，机器证明作为行的办法得到承认。几何的传统任务是给物理空间以数学描述，现代几何的迅速发展已经跨越了它的传统界限，包含了诸如凸论、图沦、结论、镶嵌、分形几何、计算几何等应用性很强的分支。它们又反过来作用于计算机和机器人的研究，以及计算机绘图等过程。这些戏剧性的变化向数学教育提出挑战，人们开始考虑如何在未来数学课程中适当反映几何研究的这些新成果。

②离散数学大放异彩。在历史上，人们研究数学是从离散数学开始的。微积分兴起以后，数学家们对连续性表现了更大的兴趣，离散数学曾一度被冷落。而计算机的出现，使离散数学如命题逻辑、组合分析、概率统计等数学的重要分支重新受到重视，并成为未来数学应该考虑的内容。

③传统代数得以改造。代数是中学数学的传统内容，过去主要包括数的概念、恒等变换、解方程与解不等式，如今又包含集合、函数、数列等，将来还会包含数学模型、迭代方法和问题解决等，而集合、无限等思想方法会贯穿其中，从而将使代数成为内容广泛的综合性科目。

（2）技术辅助教学改革。

计算机科学迅速发展，其绘图技术逐步完善，视听等多媒体技术精彩纷呈。这些新技术能为数学教学改革创造良好的外部环境，能激发学生产生动态的视觉想像，多方而感知和探索有关的数学原理。

①利用图象功能，发展几何直觉。利用计算机的绘图技术，使得图形的全等、相似等性质关系，面积、体积等度量关系，垂直、平行等位置关系，都能形象地得到显示；让学生细致地观察平移、旋转、反射、位似、反演等变换的动态过程，有利于学生探索图形的特征，发展形象思维和空间想像力。

②设计适当软件，展示数学规律。以计算机为基础的学习环境，可以更好地展示数学规律和内部结构。例如，函数的形态特征，随机事件的统计规律，都能够得到直观的或数量方面的显示。借助适当的程序和储存功能，便于学生开展实验、进行调查，提高分析问题和解决问题的能力。

③联网便于交流，储存便于跟踪。利用人机对话，学生能调整学习进度，并对学习效果作自我评价；通过计算机联网，促进学生之间、师生之间的数学交流；根据数据储存，能够对学生的学习成绩进行跟踪分析，便于进行全面、客观的教学和学习评价。

技术在数学教学中的应用，已经在我国的一些学校取得局部性成果。但就全国而言，我国当前尚缺乏全而、系统的研究。我国各类学校逐步开展了计算机教育，但是发展不够平衡，就全国而言，计算机教育多用于计算机应用常识、简译的语言和程序的教学。对于全面的CAI研究，我国尚处于起步阶段，需要奋起直追。

4．共同发展，教学相长

近年来，“大众数学”的观念已经成为国际数学教育界的共识。人们认为，未来的数学课程应该面向不同种族、不同民族、不同阶层、不同性别的全体学生。而当今的数学课程在各个围家和地区的发展并不平衡，实施效果也不一样，使得“机会平等”仍然还只是一个努力方向。在ICME　8的各种会议上，“机会平等”再次成为与会者关心的主题之一。

（1）民族与数学。

即使是在发达国家，现在亦未实现机会平等。在美国黑人、印第安人聚居的地区，其数学的发展相对缓慢；在南非．有机会进入大学深造的，多为白人男青年。在一些地区，教师所使用的语言，不是学生所使用的母语，教科书中所举的例子缺乏本民族常见的生活现象。为了使少数民族的青少年有更好的机会学习数学，我们可以考虑为他们另定课程标准，并另编具有民族文化特色的教材或参考书。

（2）性别与数学。

男、女学生的数学学习有何不同特点？如何根据这些不同的特点进行教学？男、女学生数学学习的机会是否平等？在我国，对此关心的人不多，而在国际上，这方面的研究已经有扎实的基础，也有明确的目标。有关的研究结果表明，在数学教育中，对待男、女学生的不公平的现象仍然存在，忽视男、女学生的差异，用同样的方式进行数学教学就会造成不公平。为了填补这方面的研究空白，我们今后需要研究和借鉴国外有关的资料和结果。

（3）不同需要的学生的数学。

即使实施同样的课程，在同样的学习条件下，学生的学习还会存在差异。这是课程实施中需要解决的问题。对于不同的学生，应该采取不同的策略，提出不同的学习要求。

①数困生。教师要通过调查，弄清差生在数学学习方面的心理障碍，逐一予以排除。对于差生来说，思想上的引导和学习上的帮助具有同样的意义。调查表明，我国中小学校数学慢生较多，切实帮助他们学好数学，是我国数学课程实施的重要任务。

②特殊需要学生。生理缺陷是残疾学生学习的主要障碍之一，我们要从实际出发，对他们提出恰当的要求，使他们通过努力能学到在未来工作或生活中有用的数学。

③有数学才华的学生。我国不少学校和教师对“数学尖子”倾注了很高的热情，这些学生是在各类考试和竞赛中涌现出来的。然而，什么是有数学才华的学生？他们是否就是数学尖子？有数学才华的学生的数学学习有什么特点？如何培养学生的数学才华？高考和数学竞赛是否是发展数学才华的主要途径？只有正确认识和处理上述问题，才能使数学课程真正面向全体学生。

（4）教师要有能力驾驭课程？

建设高水平的数学课程，首先要有高水平的教师队伍。在我国数学教师中，有不少高水平的教学专家。他们在课程的设计、实施和评价中，都发挥了骨干作用。从整体上看，我国数学教师队伍的素质还要不断提高，才能跟上课程发展的步伐，才能驾驭课程。因此，在职教师的培训和提高，也是数学课程发展的重要课题。

六、数学课程发展多元化阶段

进入21世纪以来，各国都积极建设而向新世纪的数学课程，让数学课程的理论和方法趋于多样化。由于国际数学交流日趋频繁，各种理论流派相互影响、相互渗透，已成为当代数学课程发展的重要特色。

1．数学教育研究的现代发展

第九届国际数学教育大会于2000年在日本的东京举行，来自80个国家和地区共2069人参加会议。这是21世纪召开的首次国际数学教育大会，对新世纪的数学课程发展产生了重要影响。

ICME　9是首次在亚洲召开的数学教育大会，标志着近年亚洲数学教育成果显著，引人注目。我国参加会议的人数达到153人（含大陆114人，香港22人，台湾17人），为历届之最。大会的召开是国际数学教育新千年的序曲。务实、合作、改革、创新是大会的主旋律。大会组织了全体会议报告4个，正式报告55个。大会分13个工作组和23个专题组开展分组研究。下面对本界大会作一评述。

（1）举世瞩目，面向未来。

在大会的开幕式上，主席宜读了美国前总统克林顿和日本前首相森喜朗的贺词。克林顿总统指出：“数学是人类文化的中心部分之一，它在社会上、科学上被广泛应用，它的思想方法威力无穷、美不胜收，丰富了人类的精神财富。我期待大会在推进仝球数学方面获得成功。”森喜朗首相说：“大会首次在亚洲召开的事实，将不仅是日本，也是亚洲地区对国际数学教育的贡献。”在大会的闭幕式上，又宣读了秘鲁前总统滕森的贺词，他热烈祝贺大会取得了圆满成功。多国首脑向大会致贺词，在ICMF的历史上实属少见。

多年担任国际数学教育协会秘书长的摩根·尼斯教授作了题为《数学教育研究的主要问题和趋势》的全体报告。他根据过去20年来国际数学教育的状况，总结了当前数学教育研究的宏观问题：什么是数学教育的研究问题？它们涉及什么现象和对象？数学教育研究的方法有何特点？方法与结果有何关系？当前数学教育面临的困难和挑战是什么？摩根·尼斯指出，当前在数学教育理论工作者与实际工作者之间，存在一条鸿沟，我们应该尽力缩小这条鸿沟，否则，数学教育就犹如在旱地上游泳，难以取得成功。

（2）数学教育思想的转变。

①培养学生的首创精神。面向新的千年，数学教育思想必须发生深刻的变化，以适应科学技术的进步，适应人类思想的提高，适应数学自身的发展。美国的阶利·贝克教授指出，数学教学思想最普遍的变化是：过去把教学看成是一种处理，把学习看成是教学的结果；现在把学习看成是积极的建构活动，在活动中，学生被看成是数学的建构者。贝克认为，在未来世纪，数学教学应该赋予学生更大的首创精神。

②克服数学教育的各种障碍。为了迎接新世纪的到来，各国纷纷推出新的课程标准。这些标准的主调是，让大众接受更适当的数学教育。澳大利亚的阿兰·毕肖普教授指出，现代社会要求公民们学习比过去更多的数学知识，这是新世纪对数学教育最根本的挑战。新西兰的卡拉克·摩根教授认为，对公众的文化缺乏理解，造成了少数民族学生数学学习的障碍：在数学教育中，教师既要帮助学生提高文化素质，又不能损害他们的自信心。澳大利亚的克莱门特教授指出，在世纪交接期间，东南哑和大洋洲各国都力求摆脱殖民传统，建立独立自主的数学教育体系。

③重视数学思想方法的传播。各国与会者认为，在数学教学中，不仅要帮助学生掌握数学知识，更要帮助学生理解和运用数学思想方法。意大利的卢斯亚纳教授通过对学生解决代数问题的观察，分析了学生感知代数思想的三个初始阶段：认识的起源，概念和符号的命名过程；认识的内核，即感知、激活、预感和转移的过程；认识的强化，逐步形成解决问题程序，获得结果的过程。

墨西哥的里亚多教授通过大学数学的教学实践，指出在高等数学的教学中，要正确处理具体与抽象、实践与认识的关系。美国的杜宾斯基教授提出了APOS理论。这是以建构主义为基础的数学教学理论，它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情景，从而建构他们自己的数学思想。根据上述想法，杜宾斯基成功地帮助大学生们学习了一系列与微积分、离散数学、抽象代数等学科分支有关的概念，如群、子群、陪集、商群等。

（3）研究方法的转变。

①研究方法的多元化。定性研究与定量研究相结合，理论研究与实验研究相结合，群体研究与个案研究相结合，硬件研制与软件设计相结合，这说明数学教育已经摆脱了单一的模式，向综合化、多元化发展。英国的布朗·马格丽特教授认为，在数学教育研究中，存在两种不同的传统：一种关心有效性，利用大规模的研究，去检验可度量因子间的联系；另一种。关心可行性，它以一定的理论为指导，进行小范围的教学实验研究。马格丽特试图把上述两种传统结合起来，寻求提高小学数学教学质量的有效途径。

②调查研究与实验研究。要提高数学教学质量，首先就要提高数学教育师范生的质量。瑞典的巴布洛教授对大学数学、教育师范生作了深入的调查研究。他通过观察、谈话和问卷，了解师范生对数学基本概念的理解和表述，他认为这正是数学教师的重要专业素质。

美国的堪斯顿教授报告了他的建构主义的实验研究。他通过讨论日常生活情景、研究解决文字问题、参与数学游戏这三类活动，帮助儿童建构对数的概念理解，帮助他们在活动中掌握和运用加、减、乘、除等四则运算方法，而不用使用教科书。堪斯顿教授试图用实验结果说明，他所实验的方法优于传统的数学教学。

③向传统观念提出挑战。东亚国家许多学者都相信熟能生巧，并把它看成是数学学习的信条。而西方不少教育工作者却强调对数学概念的理解，并对机械操作性练习持反对态度。我国华东师范大学的李仕琦教授对数学学习过程进行了深入的研究，他以二元论的观点分析了常规性练习与数学理解之间的关系。他认为，操作性练习是理解的初始步骤；对象的形成是综合理解的下一步，而且是更重要的一步。李仕琦的报告引起与会者很大的兴趣。

（4）教育系统的转变。

①重视教师的作用。数学教师是课程设计的参与者和课程实施的主力军，扮演着课程评价的权威角色。本届大会高度评价了数学教师在教学改革中的作用。德国的伊力克教授认为，发展数学教育不能靠外部强加，而应该利用学校系统的自我发展能力。教师不能被简单地看成为被使用者，他们是学校发展进程的动力。伊力克通过精心设计，积极进行实验研究，探讨如何在特殊环境中实行教师数学教育，有效地发展了数学教师间的相互合作与影响。

②建立教师状况的模型。数学课堂教学受到多种条件的约束，正确把握这些条件，对提高教学质量有重要意义。法国的卡拉尔教授试图建立一个模型，用以描述约束数学教师课堂教学的诸因素。首先，约束来自教师本人在课堂教学中的表述；第二，约束来自所教的数学课题、教师对课题的掌握程度，以及所选定的教科书；第三，约束来自教师对学生所提的问题、提问的方式、学生的回答，以及教师对回答的处理。

③提高教师的专业素养。面列新世纪的到来，各国纷纷采取有力措施，提高数学教师的素质。新加坡的林涛教授表示，该国规定小学教师需要具备四年制的大学学历，1998年，新加坡公布了小学教师培训用的数学课程，该课程集数学的概念、原理、应用与教法于一体。津巴布韦的戴维教授表示，该国采取了以学校为基础的导师制，导师对青年教师在数学专业上予以指导，在教学方法上予以帮助，成为青年教师专业发展的良师益友。概率统计在中小学的重要性日益增加，为了适应这种形势，韩国的韩世柏教授指出了中小学数学教师应该具有的概率统计知识，并且根据这种认识编写了相关的培训教材。

（5）数学应用的转变。

①数学应用的新特点。由于计算机的发明，改变了数学教育的内容和方法。计算机科学的发展，使人们能够解决复杂的非线性的数学问题。日本数学教育协会主席藤田宏教授作了题为《数学教育的目的与数学应用的方法》的主题报告。他指出，当前应用数学的特点是：应用数学不是孤立的，它与其他领域紧密地联系着；与应用数学有关的概念、方法和对象都产生了深刻的变化；计算机不仅为应用数学提供了解答，而且赋予人们以灵感和直觉。藤田宏认为，计算机与数学应用的成就值得被看成为数学发展史上的新高峰。

②数学应用对数学教育产生深刻影响。数学模型的教学、数学开放题的教学受到各国的重视。我国首都师范大学的王尚志教授向大会作了题为《在中学开展数学建模活动》的报告，介绍近年我国北京开展数学模型竞赛活动的经验和体会，中学数学建模已经成为教师继续教育的课程。上述经验引起与会者的广泛兴趣。我国广州大学的李传中教授向大会作了题为《自动推理与教育的智力平台》的报告，介绍以张景中院士为首的专家组所研制的“数学实验室”软件，该软件具有一系列良好的科学性能，如知识表述、动态构造、问题产生、自动解决、相互推理、课文编辑等。几位中国专家的报告，说明我国数学教育与数学应用的研究已经引起了广泛的关注，并取得了一些成就。

③新技术逐步普及，多媒体发挥威力。大会的组织高效、紧凑，向与会者提供许多学习交流的机会。大会报告与分组发言相结合，开放性的圆桌会议讨论了当时数学教育的热点问题，专题讨论会研究一定范围的专门课题，每个报告之后，听者都可以提出问题、发表评论。大会报告与分组报告都用多媒体方法予以表述。计算机、计算器、投影机、录像机等纷纷展示风采。大会开幕前，会议的第三次通知和报告摘要已经通过互联网公布。新技术的逐步普及与广泛应用，构成面向新世纪的数学教育的重要特征。

在我国张奠宙教授的倡议下，在大会期间，全球华人数学教育工作者举行了两次集会。海峡两岸、港澳地区、东南亚与世界各国的华人数学教育工作者共聚一堂，相互学习，分享成果。

会场之外，数学教学成果展览、数学教育书展、数学课外活动世界、“快乐的小时”的文艺演出，在大会期间同时举行，形式生动活泼，内容丰富多彩。各种媒体相互辉映，向人们展示了数学与数学教育的魅力。与发达国家相比，我国数学课程的差距犹在，中国数学教育工作者在新世纪任重而道远。

2．各种理论流派的平衡与协调

第十届国际数学教育大会于2004年在丹麦首都哥本哈根举行，来自世界106个国家和地区约2161名数学教育工作者参加了大会，中国与会者约77人（含大陆54人，台湾16人，香港7人）。下面对本届大会的特点和主要报告作一评价。

（1）大会的背景和基本情况。

本届大会的日程丰富多彩，令人目不暇接。包括8个全体会议、5个新颖的调查分队报告、80个正式报告，这些报告反映了数学教育的最新成果和问题。大会组织了多种群众性的交流活动，包括29个专题研究小组、24个讨论小组、5个下午主题研讨、5个国家报告会、46个工作车间、252个大会公开的张贴报告、扩展性旅游、数学杂耍、各种数学出版物的非商业性展览等。与会者普遍感到耳目一新，收获巨大。

（2）大会的主旨。

国际数学教育协会秘书长摩根·尼斯教授在大会开幕式上提出了本次大会的关键词，就是20年来国际数学教育霞点的转变。ICME　10是一个大型学术会议，不同专业的学者人数众多，难以为大会确定单一的主题。然而，某些特定的主题是必须在大会强调的。调查分队所研究的问题，以及专题讨论会所讨论的问题，就是大会的主要问题。大会的主要目的是根据正在进行的研究，以及根据教学的实际，展示世界范围的数学教育正在出现的现象；围绕世界数学教育的问题交流信息；学习和分享数学与数学教育的最新的先进成果。

①强调转变认识。“转变”是大会的关键词。它既包含近二十年来数学教育重点的转变，也包含数学教育当前面临新的转变。尼斯指出，在20世纪80年代，数学教师关心思想和材料的发展，关心在实践水平上的软件和工具的运用。从那个时候开始，对学生个人学习成就的关心不断增加，这是数学教育重点的一个转变。当前还应该注意把对数学学习的理解和对教学的理解协调起来，使得数学教学成为对数学学习的有力支持，这是我们面临的新转变。

②实现相互协调。大会认为要注意克服认识上的片面性，注意各种意见的平衡与协调。美国密执根大学教授、国际数学教育协会主席希门·巴斯作了题为《数学、数学家和数学教育》的报告。他提出了两个相关的问题：数学家的参与能够带来解决数学教育的问题有什么特殊性？在数学教育中，这种特殊性能够促使数学家形成哪些丰富的内涵？

随着时间的推移，不少卓越的数学家已经把专业注意力部分转向中小学数学的问题。数学家关注教育已经有很长的历史了。无论从历史上看，或从当前来看，对数学教育的争论都能够促进我们的思考。数学既是发现和创造的训练，也是教与学的科目。每一种数学新思想的发展，都受到社会的吸收、批评、转换和传播。然而，学习专业以外的数学，常常使师生处于困难的境地，他们苦于寻找在学校中所学到的数学工具，寻找解决问题的数学思想方法，这些思想是灵活的、优雅的、强有力的，即使是在初等的水平上也是如此。因此，一些数学家开始关心青年人的数学学习。对于青年学生而言，知识和技能既是一种基本的素养，也是文化的传承。数学家不能只从数学角度思考问题，也要注意数学教育的规律性。

（3）大会的特色。

大会既注意对历届ICME的传统专题进行整合，也注意推介最近的数学教育研究成果，还注意在活动程序的设计方面推陈出新。

①构建小分队，调查出成果。大会组委会构建了5个新颖的调查分队，每个调查分队都要鉴别和刻画直到大会召开前与该专题有关的重要的新知识，研究它的近来发展、新的前景和当前的紧迫问题。各调查分队分别提出研究结果，并在大会上报告。各分队调查的问题分别是：数学教育的研究工作与实际工作的关系；在数学教育中的推理与证明；数学教师的职业发展；通过测试改进数学教育；在数学教育中的信息与交流的技术。

例如，第一调查分队（由以色列、日本、巴两、法国、丹麦等国专家组成）在大会上报告了他们关于“数学教育的研究工作与实际工作的关系”的研究成果。该专题由以色列海法大学的安纳·斯法德教授主持，报告的主题是《好的研究是否就是一种实践：在数学教育中，研究和实践的相互关系》。对于数学教育而言，当前似乎是特别的时候。公众对此课题的兴趣和热情空前高涨。数学的教与学的专题引起了传媒前所未有的关注。在当前教育全球化的讨论中，这个专题就是其中的热门话题之一，其原因一方面也许是全球性的数学教育改革的努力，另一方面是诸如TIMSS和PISA这些国际比较研究。面对广泛的宣传，面对诸如国际学生数学学习成就测试的结果，来自不同国家的人们开始疑虑，是否有可能系统地改进数学教学的基础研究。该调查分队对课题进行系统的调查后，让我们思考如下问题：

你如何描述近五年来在数学教育工作方面的要点？

在你的国家，或者在世界上，你的工作如何受到当前数学教育状况影响和鼓动？

近五年来，你和你的同事所做的工作是否真正影响到数学教育的实践？

在大会上，各分队专家从各个侧面报告了他们调查研究的最新进展。

②联网示程序，电邮传规范。为了鼓励与会者积极参加交流活动，程序委员会（IPC）提前一年就在网上公布了大会的程序，29个专题研究小组（TSG）和24个讨论小组（DG）分别利用电子邮件提前公布了小组的研究要点和论文的学术规范。这些规范对数学教育其他专题的研究，也很有参考价值。

例如，TSG　23组（数学教师的教育、职业生活与发展）提出了如下学术规范：

论文必须集中到本组相关的问题上。论文应该紧扣题组的焦点，即数学教师和教师教育工作者的工作性质及其发展。我们特别感兴趣的问题是：教师如何学习？如何照顾学生的需要？他们是否具有足够的数学知识？这些知识如何在实践中反映出来？教师如何有效地使用技术，在什么问题上使用技术？他们如何以及在什么问题上进行有效的评价？如何才能发展学生对数学知识的理解，取得更大的成效？如何才能使教师和教师教育工作者更好地合作？文章在怎样的宽度上处理这些问题？文章应该注意理论与实践的适当的结合。如果文章报告研究工作，它应该提出非常清楚的方法论原则，以及所采用的具体途径。在文章的表述方面，其内容是否具有清楚的原理和论据？是否符合格式规范标准？为了帮助教师掌握论文的学术规范，TSG 23组发动组员对所提交的论文进行互审互评，从而给组员提供了交流与学习的极好机会。

③首发两大奖，专家获殊荣。大会首次设立和颁发了两项大奖，用以表彰杰出的数学教育家，它标志着从此数学教育领域有了自己的国际性的大奖。国际数学教育评奖委员会主席米歇尔·亚德格教授在说明这两项大奖时说，评出得奖人是严格而且高标准的。设立大奖的目的是：强调在数学教育领域内存在高质量的研究工作；支持和吸引广大数学教育工作者参与本专业的研究。评选的标准是：可推广性——研究成果应该是持续、有效、可推广的；深刻性——研究应该是原创而且有广泛影响的；创新性——研究应该有助于更新与提高研究工作的群体。

第一项是克莱因奖，它以大数学家克莱因（F．Kleiu，1849—1925年）的名字命名，用以表彰得奖人在数学教育研究领域上的终身成就。在本届大会上，这个奖项颁发给法国波多尔教师教育学院的教授基尔·布鲁索（Guy　Bmus－seau）。他通过引入社会学的概念和方法，把数学教育研究与其他学科的训练联系起来，他定义了数学教育的许多新概念，在教学情境理论、教学连结概念等方面产生了巨大的影响。布鲁索的贡献还在于他在若干国家建立了数学教育研究的组织，首创性地鼓励教师终身发展。

第二项是弗赖登塔尔奖，它以著名数学教育家弗赖登塔尔（Has　Freudenthal，1905—1991年）的名字命名，用以表彰得奖人近十年内在数学教育方面取得实质性的创新成果。本届大会的得奖人是英国伦敦大学教育学院的教授希丽亚·赫依莱斯（Celia　Hoyles）。她在把技术引入数学的教与学方面作出了首创性的卓著贡献。

④前辈谈卓识，厚望寄新人。参加大会的有资深的数学教育工作者，也有第一次参加大会的年轻人。为了使年轻人更快取得经验，做到“后浪推前浪”，大会安排了别开生面的公开访谈会，让四位资深的数学教育工作者根据自身的经历，谈谈对发展数学教育的理解与及看法。法国巴黎第七大学米歇尔·亚德格教授主持了这一访谈会，出席的资深专家有巴西的丹波罗西奥教授、加拿大的翰那教授、美国的亚辛斯教授、法国的维格诺德教授等。

公开访谈会是ICMI　10引入的一种新的研究方式。其目的是通过提问某个领域的资深专家，让与会者了解该领域的最新发展，分享专家的个人经验。专家们来自不同国家、不同的背景，以不同的兴趣、不同的切入点参与研究。他们有丰富的但各不相同的研究经验，因此，访谈能够反映数学教育领域的内在差异。访谈会含有三个部分：第一，专家被问及各自在数学教育领域的切入口，以及初始进入该领域时的感受；第二，致力于分析该领域的发展，指出必须克服的困难和障碍，说明本人对该领域的贡献，这些成就是如何产生的，以及还有哪些抱负没有实现；第三，说明对未来数学教育的展望。访谈会以非正式的方式交流个人的经验，希望提供给参与者，特别是年轻人一种丰富的、亲切的、发自内心的感悟。

（4）主要报告概述。

大会安排的全体报告和正式报告，是由世界各地的优秀的数学教育工作者作的正式演讲，这些报告有着覆盖面广阔的主题、专题和问题。限于篇幅，下面只对部分报告予以评价。

①理论研究与实践探索的关系。英国南伦敦大学的斯蒂芬·莱文教授所作的大会报告的主题是《数学教育为了谁，为什么？在数学教育为大众，以及数学教育为高水平的数学活动之间的一种平衡》（英、美、葡、日、南非分队调查研究成果）。当前，许多国家的数学教育社团面临改革的强大压力，越来越少人在大学里学习数学，年复一年，越来越少人准备从事数学教学的工作。我们怎样才能够平衡所有人对数学知识的需要？这些知识必须呼唤什么样的关键的数学文化？专门的数学知识是否可以在校外学习？怎样使得具有一定需要、一定兴趣的人群对数学感兴趣并认为学习数学具有挑战性？我们能够对扩展到多方向的资源进行限制吗？我们能够使基础学段之后的数学具有可选择性吗？数学课程应该是怎样的？怎样才能以不同的方法来区分所有的学生？谁去决定什么学生应该接受什么类型的数学教育？分队成员对上述热点问题都畅所欲言，各抒己见。

②数学知识的重新建构。芬兰图库大学的欧内·列丁能教授作了题为《数学教育与学习科学》的报告。他指出，存在某种可能的方法，使得科学的传统、数学的训练以及学习科学能够在数学教育中得到考虑。传统的数学教育，特别是在高水平的数学教学中，强调数学的学科知识，而没有认真地思考学习和教学的知识。然而，在初等水平的数学教育中，常常强调教学法的知识，而数学学科的知识又较少得到认真的考虑。在当前主流的数学教育中，数学和学习科学这两方面的训练，或多或少得到平衡，但它们或被分割或被作为必要的信息平行地加以处理。学科的知识受到数学家的影响，教学方法的知识则来自于学习的科学。所选择的数学知识以数学的传统为基础，而教学方法则来自一般教育，两者之问没有实质性的相互影响。他还报告了一项实验研究，就是学生对数的概念认识的转变。他进一步说明，平行地使用学科的知识和教学法的知识，对于成功的教学是不够的，应该通过利用在学习科学中所发展起来的理论思想和分析方法，把数学知识予以重新建构。

③教师教育研究的新发展。南非维特沃德兰大学的基尔·亚德莱（Jm　Adler）教授代表第三调查队作了题为《数学教师教育的研究：一个正在显露的领域的景象》的主题报告。该调查分队的成员分别是美围的波尔教授、澳大利亚的卡兰内教授、中国台湾的林福来教授、捷克共和国的诺沃特纳教授。报告的要点是：当前数学教师教育的状况如何？包括内在的状况和交叉线索的状况如何？在最近一段时间，已经构成了什么中心的问题？已经发生了什么改变，包括理论上的改变和方法上的改变？这些改变能够识别吗？能够解释吗？谁在进行研究？在什么地方研究？已经取得了什么进步？这些进步是经验上的，还是方法论上的？是否存在什么鸿沟？如果有，它们在哪里？这些鸿沟是什么性质的？我们揭示了两个研究焦点：其一是对教师学习理论的关注，以及对教师学习的理解；其二是更直接地关心课程改革方面，即教师教育的初始目的是什么？如何使教师教育适于评价？评价研究的范围集中在教师教育对课堂教学改革的影响上。对于课堂教学而言，教师或教学上的需要是什么？如果要指出最近几年的变化，似乎要从学习方面人手，说明在教师教育的主要问题和成功经验，说明在课程改革的起始阶段应该提倡什么。

④自然界中的构造——数学模型。德国比乐费尔德大学的安杰斯·德勒斯（Andreas　Dress）教授报告的主题是《把在自然中构造的形成，作为一个数学的专题》，陔报告的主要内容是：从原子、分子到水晶，从遗传基因到组织，从山脉到银河系，大自然产生许多令人神往的结构，由此产生对定律和法则的理解，这些定律和法则支配着基本结构的形成过程。在科学中，结构是最有挑战性的课题。数学的任务就是发展一种理性的工具，使得有可能系统地描述和理解归因于结构的自然界的特征性质。

⑤数学教育研究的多样性和交叉性。意大利托力诺大学的费德纳多·哑萨勒罗（Ferdinando　Arzarello）教授报告的主题是《数学景象以及它的居民：感知、语言和理论》，他以微积分中的函数教学为例，说明如何通过实例，设汁适当的情景，分析数学概念的产生。他说明，利用这些例子，有可能填补学生认识上的鸿沟，就是学生所具体经历的现实世界的真理，以及逻辑的真理之间的鸿沟。学生的经历提供了学习数学的感性材料，逻辑的真理表达了数学中严格的正式的方面。两者的巧妙配合，使数学在学生的认知中得以生存。思维活动依赖于一种动态的集合，这些活动作为一个整体而运作。它的构件是头脑、身体、文化和物质世界。当学生学习数学的时候，上述所有的构件（可能还有其他，感情就是其中之一）非常活跃地展开活动，教师必须对这些活动予以考虑。

（5）我国学者积极参与交流活动。

参加大会的我国学者，包括来自大陆、港澳台地区、新加坡的学者，都积极参加了交流活动。华东师范大学的李俊博士和苏州大学的鲍建生博士分别担任了TSG 11组（概率统计的教学）和DG　11组（数学教育的国际比较）的组长；中国香港大学的苏曼强博士、旅美的蔡金法博士和旅新加坡的范良火教授分别担任TSG　17组（数学史在数学教育中的作用）、TSG18组（数学问题解决）和DG　14组（数学教材）的组长，等等。一批中国学者被邀请作正式报告，例如，张奠宙、戴再平两位教授作了题为《中国的双基教学与开放问题解决》的报告，刘意竹编审作了题为《数学教材中的实践设计》的报告，香港中文大学黄毅英教授作了题为《孔子的遗产：数学教育由此学习什么？》的报告。上述报告受到热烈欢迎，说明中国学者在国际数学教育交流中发生越来越大的作用。

（6）大会的一些启示。

大会对我国数学教育有许多重要的启示。这里只就数学课程改革谈一点认识。

①数学课程改革需要兼顾数学与教育两个方面的规律性，片面强调一方面的认识，不利于课程的健康发展；大会所强调的“平衡”与“协调”的精神，值得深入思考。

②在课程的推进中，应该非常重视调查研究，各种不同的意见都值得深入思考。及时解决在调查中所发现的问题，将有利于课程的健康发展。调查分队的工作为我们树立了榜样。

③教师教育既是国际数学教育的热点，也是我国课程改革的关键。帮助教师解决课程实施中的具体问题，有利于排除课程发展的障碍。在数学教师培训方面，我们仍然任重而道远。