数学课程的传统

第三节　数学课程的传统

我国数学教学有许多行之有效的优秀传统，包括近代的和现代的传统。人们对我国数学课程传统的理解，正在与时俱进，不断完善。

一、三大能力，同步发展的传统

我国自20世纪60年代初以来，逐步形成了发展以计算能力、逻辑思维能力、空间想像能力等三大能力为代表的数学教学理念。

1．三大能力，相互依存

把发展三大能力作为我国数学教学的主要目标，并且让学生的三大能力得到同步的发展，是新中国成立以来形成的数学教学传统之一。三大能力的含义，也随着时间的推移，不断明确，不断丰富与完善。

（1）每一种能力都依赖于其他能力而发展。

三大能力是相互紧密联系的，其中每一种能力都依赖于其他能力而发展。以空间想像能力为例，我国比西方国家更加重视空间想像力的培养。要培养学生的空间想像能力，必须帮助他们探索和认识图形的性质。要探索图形的度量方面的性质，就需要借助于适当的计算来实现，因而，一定的计算能力就成为发展空间想像力的重要条件；而要探索图形的几何特征性质，往往又需要借助于直觉猜想和逻辑推理，因而一定的思维能力就成为必不可少的了。在我国几何教学中，不少教师既注意发展学生的空间直觉，也注意通过逻辑推理和度量关系等两个层面，较为深入地探索图形的性质。同样，丰富的空间想像能力既可以支持学生用数形结合的方法解决有关计算问题，也有利于学生对图形性质的思考、探索与论证。

（2）“双基”与“三力”相辅相成。“双基”所指的是基础知识和基本技能，而能力的形成是比发展“双基”更高层次的教学目标，“双基”的发展促进了三大能力的形成，而三大能力的发展也促进了“双基”的获取。我国对知识、技能和能力及其相互关系的认识，也有一个发展的过程。

1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》首先提出了基础知识和三大能力。

1982年《全日制重点中学数学教学大纲（征求意见稿）》开始注意知识、技能和能力的关系，它指出：“学生的能力是通过知识、技能的掌握而形成和发展起来的，这些能力一经具备，又有助于学生更快地去获取和运用知识。”

1986年《全日制中学数学教学大纲》正式把“双基”与“三力”并列，作为中学数学教学目标的核心内容。大纲指出了在数学教学中抓“双基”的要领。该大纲认为“掌握知识、技能和培养能力是密不可分的”。

1986年《全日制初级中学数学教学大纲》指出：“能力是在知识的教学和技能的训练过程中，通过有意识地培养而得到发展的；同时，能力的提高又会加深知识的理解和技能的掌握。”可见上述大纲已经对“双基”与“三力”的关系作了进一步的阐述，并且指出了教师的教学工作在其中的地位。此外，在我国1988年、1992年、1996年、2000年的初、高中教学大纲中，都分别表述了上述观点。

2．发扬传统，与时俱进

与西方国家相比，我国在数学教学中有关抓“双基”的教学理念，明确地表述在历次数学教学大纲和课程标准中。我国一贯把发展三大能力作为数学教学的目标，并且让学生的三大能力得到协调的发展，这是新中国成立以来形成的数学教学传统之一。

1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》指出：“中学数学教学目的是……培养学生正确而迅速的计算能力、逻辑推理能力和空问想像能力，以适应参加生产劳动和升入高等学校学习的需要。”这是三大能力的首次提出。

1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》指出：“中学数学教学目的是：使学生具有正确而迅速的计算能力、一定的逻辑思维能力和一定的空间想像能力，从而逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。”这是对三大能力外延的扩展。

1992年《全日制初级中学数学教学大纲（试用）》的教学目的中，对三大能力中每一种能力的涵义，都作了较具体而详细的阐释。这种阐释直到2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》仍然保持下来。

思维能力是指：

①会观察、比较、分析、综合、抽象和概括。

②会用归纳、演绎和类比进行推理。

③会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。

④能运用数学概念思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

可见，此时我国已经扩大了思维能力的范围，从过去仅限于逻辑思维，扩展到更广泛的思维能力和思维品质。

运算能力是指：

①会根据法则和公式正确地进行运算，处理数据，并理解算理。

②能够根据问题的条件，寻求与设计合理简捷的运算途径。

可见，此时对运算能力的要求已经超越了过去只要求“迅速正确”的要求，反映了概率统计的教学需要，而且已终初步考虑了算理与算法的思想在计算中的指导作用。

空间想像力是指：

①能够由实物形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物形状。

②能够想像出几何图形的运动变化。

③能够从复杂的图形中区分出基本的图形，并能分析出其中的基本元素及其基本关系。

④能够根据条件作出或画出图形；会形象地揭示问题的本质。

可见，1996－2000年的历次大纲对空间想像力作了明确的界定，比过去更加清晰地说明了对培养空问想像力的具体要求。

随着近、现代数学部分内容引入中学数学，随着中学生数学视野的不断开阔，我们应该与时俱进地对三大能力予以新的解释。但是，提出过多的能力，教师不易把握，实际在教学中也不易操作。对待外来的理念，应该采取洋为中用、以我为主的原则。如果国外的理念与我国原有的理念相同或相接近，应该以我国原有的理念为主，并注意吸收国外理念中的合理成分。例如“计算能力”、“空间想像力”是我国的提法，“数感”、“符号感”、“空间感”是美国的提法，其本质是一样的。美国的提法停留在感知认识阶段的描述，我国的提法已经是对知识的应用和能力的要求。显然，我国的提法比美国的提法更加明确具体。在这种情况下，是不是非要用外国的提法不可呢？在中外学术交流中，坚持我国的民族精神，才能发挥我国数学教育在世界上更大的影响力。

二、数形结合，博思寻解的传统

“数”与“形”是中小学数学的两大研究对象。我国数学教育工作者历来重视数形结合方法的运用。“数”泛指有理数、实数、复数、函数以及有关的代数对象及其相互关系等．是抽象思维的产物；“形”泛指二维与三维几何图形、各类函数图象等，是形象思维的产物。数形结合方法的运用，是我国从20世纪上半叶以来形成的教学传统。

1．数形结合体现了数学的内在联系和整体性

我国20世纪30年代的教学大纲已经把认识“数”与“形”的相互关系作为数学的一个重要目标，从而体现数学的整体性。

1932年，民国政府制定的《高级中学算学课程标准》就指出：“充分介绍形数之基本观念，使学生认识二者之关系，明了代数几何各科呼应‘贯之原理，从而确立算学教育之基础。”

1942年，民国政府制定的《六年制中学数学课程标准草案》再次指出：“介绍学生形象与数量之基本观念，使能了解其性质，及二者之关系，并明了运算之理由和法则，及各分科呼应一贯之原理，从而确立普通数学教育之基础。”

1951年，新中国首次制定的《中学数学课程标准》指出：“数学以讲授数量计算、空间形式及其相互关系的普通知识为主”，“沟通形数，奠定学习解析数学的基础”。

由此可见，新中国的建国之初，我国已经把“数”与“形”及其相互关系作为数学学习的主要对象，把“沟通形数”作为数学课程的基本理念。

2．“数形结合”上升为数学教育的基本要求

1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》指出，应该重视“数与形各自的内在联系以及数与形相互之间的联系与区别”，“把数和形的研究结合起来，提高他们综合应用数学知识的能力。更有利于学生系统地掌握平面解析几何的基础知识，为以后学习高等数学打下扎实的基础”。

1986年的教学大纲指出，“使学生初步了解运动变化和形数结合的观点，并初步领会用这些观点去分析问题的方法”。“通过数形结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育”。

可见从20世纪60年代起，我国对“数”与“形”的关系的教学要求，已经从“沟通形数”，认识“相互联系”，上升到“数形结合”的水平，把“数形结合”作为数学教学的基本要求，也作为分析问题的思想方法，这是对我国传统数学教学理念的重要发展。

3．把“数形结合”作为解决问题的思想方法

从20世纪90年代起，我国加强了数学思想方法在数学教学中的渗透，对“数形结合”又有新的理解和阐释，这种理念在数学教学大纲中得到反映。

1990年《全日制中学数学教学大纲》分别指出：“使学生初步了解运动变化和形数结合的观点，并初步领会用这些观点去分析问题的方法。”（初中）

“使学生了解解析几何的基本思想，初步了解如何用坐标法研究几何问题，通过数形结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育。”（高中）

1992年和2000年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》分别指出：“使学生……理解‘特殊—一般—特殊’、‘未知—已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化为简单问题等基本的思想方法。”“通过函数的教学，使学生体会事物是相互联系和有规律地变化着的，并向学生渗透数形结合的思想方法。”

2000年《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》“在教学内容的确定与安排”一段中还指出：“要处理好数学各部分内容之间的联系，特别是数与形的结合。”

由上述大纲可见，数形结合既被看成数学教学的理念，也被看成是解决问题基本的思想方法，并应注意把数学思想方法的教学与辩征唯物主义观点的形成联系起来。

2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲（试用修订版）》把数形结合思想方法予以具体化。例如：“了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系”；“掌握平面向量的数量积及其几何意义”；“通过函数图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质”；“会用二元一次不等式表示平面区域”；“了解解析几何的基本思想”；“掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义”；“了解定积分的定义和定积分的几何意义”，等等。可见在大纲中，数形结合思想的运用已经反映到具体的数学教学内容中。

2000年美国数学教师协会（NCTM）制定的《学校数学的原则和标准》中，有一条标准称为“数学的联系”，其中包括数学内部的联系、数学与日常生活的联系及其应用。与美国的这条标准相比较，我国大纲关于“数形结合”的提法有如下的优越性：

①它扣紧了数学的两大对象——“数”和“形”（我们对数与形有更广义的理解）。

②它超越了美国标准中关于“联系”的提法，要求把两者结合起来，做到以数论形，以形示数，相得益彰。

③它既是数学教学与学习的有效的方法，也是解决问题常用的方法，它还反映了事物的运动变化，反映了它们的相互联系与转化的辩证唯物主义思想。

我国数学教师在数学教学中，注意鼓励学生运用数形结合思想方法解决问题，创造了许多成功的经验。当前在数学教学中，数学思想方法的运用已经超越了数形结合的范围，但数形结合思想方法仍然是数学教学常用而有效的方法，它有利于培养学生的辩证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。随着人们数学视野的不断扩大，数形结合的含义也在不断丰富，其他数学思想方法也得到人们的重视与使用。因此，结合当前我国数学教育的实际，数形结合思想方法仍然值得弘扬与提倡，它对于学生形成正确的数学观，有十分重要的意义。

三、审问慎思，言必有据的传统

我国在数学教学中，比美国更加重视推理论证能力的培养。与美国相比，我国对于推理论证的教学有两个特点：

1．审问慎思的学习理念

我国数学推理论证教学有起步早、要求严、题量大的特点。从初中一年级开始就对学生进行推理论证的初步训练，随着图形的复杂化，推理论证的难度逐步加大。推理论证能力的培养，符合我国自古以来“审问慎思，言必有据”的学习理念。孔子主张“学而不思则国，思而不学则殆”（孔子《论语》），宋代教育家朱熹说“读书无疑须教有疑，有疑者却要无疑，到这里当是长进”（朱熹《蒙童须知》）。我国不少数学教师设计生动活泼的问题情境，启发学生思考；在新课程所倡导的研究性学习中，鼓励学生提出问题，解决问题，这些都是对我国传统学习理念的积极发展。

2．言必有据的教学传统

我国不少数学教师在几何入门教学中，要求学生在推理的每一步骤中都说出道理，既加深了学生对数学概念与命题的理解，复习了有关的知识，也可以逐步领悟逻辑推理的真谛。在几何教学的处理上，我国和美国各有优势，美国的几何入门教学比中国早，而中国的论证推理教学比美国早。当前，两国正在相互学习。我国已经把几何教学的部分内容下放到小学，美国在数学教学中也加强了推理论证的训练。我国多年数学教学的实践证明，初中开始几何推理的训练是完全可行的。我国数学教学重视推理论证的传统，应该在新时期得以发扬。对于“审问慎思，言必有据”的教学传统，应该予以新的解释，几何直觉的形成、数学猜想的提出，也应该以丰富的图形经验为基础，以合情推理为依据。

四、勤勉拼搏，学而时习的传统

在数学教学中，既要设计生动活泼的问题吸引学生的兴趣，又要承认学习的艰苦性；既要强调足够的练习，又要注意减轻学生的负担。

1．勤奋拼搏的民族精神

在教学中要培养学生对数学的正确态度。我们与美国同行的看法不完全一样。美国比较看重数学的趣味性，而我们认为也应该让学生感受学数学的艰苦性。学生应该认识到，学习数学并不总是有趣的，他们常常会遇到严峻的挑战，他们应该具有足够的信心和勇气去克服困难。当学生经过拼搏，克服困难之后，就能更加体会数学的美学价值，获取成功的感受。

为了引导学生认真学习，必须重视教师的指导作用。尊师爱生是我国优良的教学传统。我国学校的班级规模较大，更应该重视教师在教学中的领导地位，保持必要的纪律和秩序。如果上课时每个人想干什么就干什么，数学教学就不能有效且有序地进行，学生的学习活动就得不到保证。在观摩教学中注意到，在美国一些学校，许多教师不敢对学生严格要求，疏于对纪律的管理，我们不愿意看到中国出现这种情况。

2．学而时习的求知途径

在数学学习中，要注意做适当的练习。通过演练，打下坚实的学科基础，掌握常用的数学思想方法，灵活运用数学解决有关问题。对于“学而时习”这句古训，应该赋予新的含义。“习”意味着练习，也意味着实践，前者表示适当的演练，后者表示利用数学知识解决实际问题。综观我国近百年来的数学课程标准（教学大纲）可见，我国从来把演练习题看成是数学课程的重要组成部分。例如，1951年《中学数学科课程标准草案》指出了演练习题的意义是“透彻理论，熟练方法，触类旁通，学以致用”；1963年《全日制中学数学教学大纲（草案）》指出如何控制练习的分量，该大纲认为“练得少，就不能达到熟练；但是也不宜盲目多练，给学生增加不必要的负担”；1978年《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》指出练习与“双基”的关系，叙述了提高练习质量的要领，即由浅入深，逐步提高，组织适当的复习题与综合题。

20世纪90年代以来，我国数学课程对练习有了新的阐释，数学练习应该包括传统常规的问题，也应该有开放性、探索性的问题；有联系实际的问题，也有对数学自身的探索问题。这种趣味性、多样性和挑战性的练习，对学生未来的发展具有重要的意义。专家认为，在强调开展探索性活动，推进研究性学习的时候应该十分重视基础知识的学习，重视基本技能的培养。“双基”是解决问题的基础，也是探索性活动和研究性学习得以顺利进行的一个基本保证。

专家认为，既要保持我国的民族传统，又要与时俱进地给这些传统赋予新的含义，从而促使我国数学教育赶上世界的先进水平。