关于运动量度的争论

第十一节　关于运动量度的争论

17世纪末，在笛卡儿学派和莱布尼兹学派之间发生了一场关于“运动的量度”的争论。这场争论所直接涉及到的两个物理学概念：动量和动能，它们的意义在今天是非常清楚的，争论早已成为历史。不过，当我们回顾这场古老的学术争论时，仍可以得到某些启发。

近代科学发展到17世纪末，力学已相对比较成熟，关于机械运动的一些重要规律已相继总结出来。但是，对机械运动以外的其他运动形式，如热运动、电磁运动等，还没有深入的研究，自然也就还谈不上有什么规律性的认识，而对于运动的理解基本上局限在物体的空间位置随时间而变化上。在科学家进一步研究时，为了从量的方面去研究和比较各种机械运动的大小，试图找出一个普遍的物理量来作为运动的量度。

但是，当时有一个特别值得注意的与上述问题有关的现象，就是关于“力”的概念上的严重混乱。在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，他并未对“力”作出可操作的独立概念。这样一来，就很容易混用“力”的概念。当时，除了把外加的力称为“运动力”之外，还把惯性称为“物质固有的力”、“阻抗的力”等；把加速度称为“加速力”；把“运动力”与碰撞、压力、向心力等相提并论。这种概念上的混乱状况普遍存在于牛顿时期前后的有关力学著作中。正是这种概念上的混乱，导致了关于运动的量度的争论。

应该用一个什么样的量来表征物体的“运动量”呢？法国杰出的数学家和哲学家笛卡儿主张用mv作为运动的量度，得到了一些科学家的支持。

追寻笛卡儿观点的渊源，就要提到伽利略。伽利略对物体运动的路程与时间的关系，作过细致的研究。他总结了落体定律，指出落体所经过的距离与下落时所用时间的平方成正比。同时，伽利略还提出一个物体的动量是由它的质量和速度决定的。那时还没有现代所说的“力”和“质量”的概念，伽利略所说的质量就是重量。对同一个物体或者两个同样重的物体，运动就只和速度成正比了。笛卡儿对碰撞现象作了研究，他就是在这一基础上接受了伽利略的观点。落体现象和碰撞现象是早期力学研究的主要对象。笛卡儿是第一位对碰撞进行系统研究的学者，他认为碰撞是最基本的运动，把物体间的一切相互作用都归结为碰撞和压力，其它所有的运动都是由此而引起的。

他受荷兰学者比克曼影响与鼓励，提出了自然三定律。第一定律说，如果没有外来的原因，一切单一的物体不会有任何变化（包括它的大小、形状、位置和运动）。第二定律说，一切运动物体本身只具有维持直线运动的倾向。第三定律说，运动物体与另一物体相碰，如果其前进的力小于后者对它的阻力，则运动物体保持自己的运动而只是改变运动的方向；反过来，如果其前进力大于后者对它的阻力，则两者一起运动，前者所失去的那部分运动等于后者所获得的运动。第一、二定律是关于惯性定律的表述，第三定律则是动量守恒思想的不成熟表述。由于笛卡儿尚未认识到动量的方向性，还没有关于弹性碰撞与非弹性碰撞的清晰概念，而且还含混地认为较小的物体无论速度多么大也不能把运动传给较大的物体，所以他的第三定律并不正确。但是，笛卡儿以运动量守恒为基础来讨论碰撞问题确实是一个卓越的见解。

笛卡儿在1644年出版的《哲学原理》一书中，把他从碰撞研究中总结出的运动量守恒的思想加以推广，认为宇宙的运动量是守恒的。他这样写道：“……物质的运动有一个固定的量，这个量是从来不增加也不减少的，虽然在物质的某些部分中有时候减。就是这个缘故，当一部分物质以两倍于另一部分物质运动，而另一部分物质却是这一部分物质的两倍时，我们应该认为这两部分的物质具有等量的运动，并且认为每当一个部分的运动减少时，另一部分的运动就相应地增加。”

笛卡儿的这一思想受到了科学家们的重视，产生了很大的影响。在这里，他明确地指出，“运动量”是由“物质”的大小和“速度”的乘积给出的。

牛顿支持笛卡儿的观点，他也认为应以mv作为运动的量度。他指出：“运动之量，以速度及物质之量联合度之。全体之运动，为其各部运动之和。故速度等而物体倍大，则运动量加倍，速度与物体均加倍，则运动量加四倍。”在《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿完善了动量的概念，并给出明确的定义：“运动的量是用它的速度和质量一起来量度的。”这样，以mv作为运动的量度似乎就是众所公认的了。

然而，到了17世纪80年代，在数学上有较高造诣的德国著名学者莱布尼兹对笛卡儿学派的观点提出了批评。他在1686年发表了一篇论文，题目为《关于笛卡儿和其他人在确定物体的运动力中的错误的简要论证》。他以落体运动为例，指出笛卡儿的运动量度和伽利略的落体定律之间存在着矛盾，同时提出了应以mv²作为运动的量度。他认为，动力不能用“物质的大小”与速度的乘积来衡量，而只能由它所产生的效果来衡量。他说：“力是应该从它所能发生的作用量来估计的，例如，从它提升某一已知其量与质的物体所能达到的高度作估计，而非从它施加于某物的速度作估计。”笛卡儿还进行了具体的论证，把1磅重的物体A举高4爱尔（即e11，西欧旧长度单位，现已不用）与把4磅重的物体B举高1爱尔，两者所需要的力是相等的，因此当这两物落下时所获得的力也应相等。可是，由伽利略的落体定律已经知道，二物体下落时，A的速度为B的速度的二倍。（计算方法如下：m_a＝l，mb＝4，s_a＝4，s_b＝1；由＝2gs_a，＝2gs_b，得到v_a＝2v_b）这样，两者的动量并不相等。既然笛卡儿的运动量度不适用于落体定律，于是莱布尼兹得出结论：笛卡儿的运动量度与伽利略的落体定律是矛盾的。

菜布尼兹发现“矛盾”以后，进而提出用mv²作为运动的量度，就能够使上述两个物体的“运动量”相等。具体推算如下：把质量为m的物体举高h的“力”将同样能把质量为m/n的物体举高nh；当这两个物体降落下来时，它们的运动量必然相等。如果第一个物体落到地面时速度为v，第二个物体的速度则为。按照笛卡儿的量度则有mv＝，但它们肯定不相等；而按照莱布尼兹的量度，则有mv²＝（）²，这表明两物体落下时有相等的运动量。因此，莱布尼兹弃mv而以mv²。作为运动量度。

莱布尼兹也看到了笛卡儿提出的量度m。在有些情况下还是适用的，比如，在杠杆、滑轮等简单机械装置的场合下。所以，他在1696年指出，上述这些场合是“死力”的场合，“死力”是静止的物体产生的压力或拉力，mv是“死力”的量度，即相对静止的物体之间的力的量度；而mv²则是“活力”的量度，是真正的运动的量度。莱布尼兹认为宇宙问真正守恒的东西正是总的活力，虽然在有些情况下，例如非弹性碰撞中，活力会减少，但是它并不是消灭了，而只是被物体内部的微小粒子吸收了。后来，他又进一步阐述这种思想。他说：我曾主张活力在宇宙中是保持不变的，“人家反驳我说，两个软的或无弹性的物体，彼此相对同时运动时，就失去了它们的力。我回答说，不。的确，就它们的整体运动说，两个物体是失去了力，但其各个部分接受了此力，受到了那同时运动或冲撞的力在内部的振动。因此这种力的损失只是表面上的。那些力并没有被消灭，只是分散在各细小的部分中了”。

莱布尼兹的这一思想是相当深刻的，它实际已经涉及到了能最（动能）问题，而超出机械运动的范围。只是当时对于能量的概念还不明确，许多科学概念还混同在一起，造成这种新思想难以被广泛理解。

莱布尼兹对笛卡儿关于运动量度的观点进行了批评，这种批评并没有使笛卡儿学派放弃自己原来的看法，他们仍然坚持认为只有mv才是运动的量度。面对来自莱布尼兹的批评，他们采取的办法是利用数学运算试图把mv²归结为mv。具体的数学运算是这样的：在落体运动中，物体下落达到的速度为二倍时，由于有v²＝2gs，下落的距离则增加了四倍，但是由于有s＝gt²/2，故所需的时间则为二倍；若以所需的时间去除mv²，就仍然得到与mv成正比例的量了，可用公式表示为mv²/t＝mvgt＝mvg（式中v＝gt）。从以上推算中可以看到，在mv与mv²之间确实存在一定的联系。但是，这种联系并不是可以把mv²。归结为mv的那种联系。上述联系还是有一定意义的。我们做一简单的换算可以得到：由于对自由落体有f＝mg，所以mvgt/t可以变换为fv，fv＝fs/t。对于fv我们可以认为是重力所作的功，而fs/t则是功率（单位时间所作的功），fv＝fs/t表明了功率与速度之间存在正比的关系，即速度越大，功率也就越大。但是，功率与mv²则还是两个不同性质的量。它们的区别在于，功率表示的是力在单位时间内作功的大小；而mv²则表示的是力在整个运动过程中作功的数量。前者与时间有关，而后者则与时间的长短无关。由此看来，mv²还是无法归结为mv。

笛卡儿和莱布尼兹的争论把欧洲的数学家和力学家分成了两大派别，两派各持自己的观点使这场争论长期得不到解决。

1743年，法国力学家达兰贝尔对这场争论做了一个所谓的“最后的判决”，他在《动力学论》的序言中指出了两种量度的同样有效性。表面看来，达兰贝尔是一种模棱两可的态度。实际上他的观点还是有一定价值的。他指出，“力”这个词的意义是模糊不清的，“运动物体的力”更是一种假想的东西，是应该抛弃的概念。在物体的运动中，有两点是清楚的，一是它通过了某一空间距离，另一是它通过该距离需要一定的时间。“运动物体的力”只能用来表示“物体为克服障碍或阻止该障碍而产生的那种效果”，这样“运动物体的力”就应该理解为物体克服障碍的一种属性。物体能克服的障碍越大，就表示该物体的力越大。他具体指出，在“具有刚刚立即毁灭物体运动所必需的那种阻力的障碍”，即平衡的情况下，可以用质量与速度的乘积或运动的量表示力；而在“一点一点地毁灭物体运动的那种障碍”，即减速运动中，被克服的障碍的数量与速度的平方成比例。在上述分析的基础上，达兰贝尔得出结论：对于平衡运动和减速运动这两种情况，分别采用不同的量度标准就没有什么不方便了。也就是说，在平衡的场合，动量mv可以作为力的表现，因为大家都承认，对于两个物体将其质量和速度相乘，如果两个乘积相等，则它们之间存在着平衡；在物体作减速运动的场合，力的作用表现为直到运动完全消失时为止所通过的距离，而这是与速度平方成正比的。达兰贝尔除了指出两种量度的有效性外，后来他又证明了mv在减速运动的场合的适用性。他指出，物体在每一瞬间所失去的运动量d（mv）是跟阻力与无限小时间的乘积成正比的，而这些乘积的总和便是全部的阻力，也就是被克服的障碍。用我们现在的理解，把达兰贝尔的证明用数学公式表示出来：在每一瞬间，有d（mv）＝fdt所谓“总和”就是对时间求积分，得到mv₂－mv₁＝f（t₂－t₁）。这就是说，在（t₂－t₁）这一段时间内，力的作用可以由动量的变化来表现。达兰贝尔认为，mv可以作为平衡和减速运动两种场合的共同的力的量度。这样一来，达兰贝尔实际上又偏向笛卡儿的观点了。所以，我们只能称他的讨论是所谓的“最后的判决”。他并没有解决这场争论。

达兰贝尔实际上已经清楚地认识到，正是由于“力”这个最常用的名词还没有形成清晰的概念，才产生了这场争论。他甚至认为这是一场毫无意义的字面上的争论。由于达兰贝尔在科学界的权威，他的判决还是起了一定的作用。这种作用具有积极与消极两个方面。从积极的方面来说，他肯定了笛卡儿与莱布尼兹分别提出的两种量度都是有效的，它产生的积极影响是使力学家们不再是简单地赞成一个、否定一个，而是根据问题的性质与需要来选取哪种量度进行计算；另外，他特别指出了存在于“力”的概念上的严重混乱，是造成这场争论的深层原因，这一看法是非常深刻的，在当时也是很有意义的。明确地指出这个问题，对于把混同在一起的概念加以明确的区别，对于把意义含糊不清的概念予以清晰的定义，都是有益的，会起到促进作用。达兰贝尔的判决也有一定的消极作用，这和他在《动力学论》中轻率地表示这两种运动量度的争论是一场“毫无益处的咬文嚼字的争吵”有关。他的这种态度对一些科学家产生了影响，使他们在没有搞清楚这两种量度的意义时，就不再有兴趣去探究更加深刻的理解了。

不管怎么说，达兰贝尔的表态使这场争论沉寂下来了。从表面看似乎平息了争论，但实际上并没有解决问题。问题的真正解决则是在一百年之后，能量守恒与转化定律确立了，人们才从能量转化的角度对两种量度的本质区别获得了进一步的认识。恩格斯在19世纪下半叶对运动量度的争论作了科学的分析。他肯定了笛卡儿学派与莱布尼兹学派之间发生的这场争论是一场有意义的争论，而且还进一步指出阻碍科学家搞清楚这个问题的关键在于缺乏辩证的思维。他还提出，要解决这场争论”必须弄清楚为什么运动会有两种量度“。他认为：“机械运动确实有两种量度，但是也发现，每一种量度适用于某个界限十分明确的范围之内的一系列现象，”“一句话，mv是以机械运动来量度的机械运动；mv²/2是以机械运动转化为一定量的其他形式的运动的能力来量度机械运动。”

这就是说，mv适用于量度持续的机械运动，就是运动的变化只局限于机械运动的范围内；mv²/2则适用于量度消失了的机械运动，就是机械运动不再保持原来的运动形式进行传递，它作为机械运动1的形式消失了，而是以相当的其他形式能量（如热能、光能、电能等）出现。所以说，mv和mv²/2。这两种量度之间并非是互相矛盾的，而是适用于不同条件的两种量度。

随着物理学的发展，对于动量和能量的认识已经比较清楚。当一个系统不受外力或所受外力之和为零，则这个系统的动量是守恒的。但是，当一个系统的动量守恒时，它的动能不一定守恒。当动能和其他能量之间相互转化时，则服从能量守恒定律。每一个处于运动过程中的系统，都具有一定的动量和能量，它们各自服从动量守恒定律与能量守恒定律。它们分别从不同的角度刻画了系统的运动状况。

在对一问题的认识尚未达到深刻程度时，人们总是习惯于从自己所认识到的范围来提出自己的见解，这就造成对同一问题的研究会产生不同的观点。科学争论能帮助人们，特别是帮助后来的研究者更深刻、更全面地理解和认识这一问题。