数学教育的价值

第四节　数学教育的价值

一、略论数学教育的科学价值

对于数学教育，时下人们谈论较多的是它的人文价值。这的确需要进一步加强研究和实践，却似乎有点冷落对数学教育科学价值的研究。这是否表明数学教育的科学价值在理论上已经清楚、在实践中已经解决了呢？答案是否定的，在数学教育实践中仍需要加强对学生科学意识、科学观、科学精神的培养，需要加强数学与科学的联系；在理论上仍需要澄清数学课程中数学的“科学性”与“人文性”（这里的“人文性”是指数学教育的人文性，而不仅限指数学的人文性）的关系，确立数学课程改革中的“数学科学价值”定位；等等。这里主要探讨数学的科学价值、数学教育的科学素养价值和数学教育的“数学科学价值”。

（一）数学的科学价值

数学的科学价值，是指数学对自然科学的产生与发展的作用和意义。自19世纪20年代以来，数学的研究对象和方法在本质上越来越凸现出与（自然）科学的区别，数学也就从科学中分离出来，自立“门户”，自成体系。然而，这种分离并不是数学与科学的割裂，而是表明数学的应用更加广泛，不仅包括（自然）科学，也包括政治学、历史学、经济学、语言学、军事学等人文、社会科学，以及音乐、绘画、雕塑等艺术科学，还涉及技术、经济建设乃至社会的许多领域。特别是当今时代，科学技术迅猛发展，科学数字化的趋势越来越明显，现代科学正朝着广泛应用数学的方向发展。

数学对于科学的价值，表现在诸如物理、化学、生物、天文等学科的产生和发展的许多方面。如果从数学的要素来看，具体表现在以下四个方面。

1．数学知识的应用

在科学的产生和发展中，应用数学知识是最为直接的，也是最为广泛的。这从天文学的发展可以窥其一斑。哥白尼在提出日心说时，并没有多少观测证据，甚至在某种程度上，一些结果还不如原来的地心说准确，正是他依据数学的理论、运用数学的方法建立起新的天文学理论；开普勒则进一步在天文学上应用数学，他利用第谷、布拉赫的大量观测数据，通过大量的计算和数学分析工作，其结果使得他抛弃了从古希腊人开始就一直认为行星具有圆形轨道的观点，从而建立起新的行星运行理论；到了伽利略和笛卡儿那里，数学就成了一般的科学方法。在19世纪，数学应用的成果更为突出：高斯提出行星轨道的计算方法（1809年），泊松建立计算电势的微分方程（1811年）和理想气体的状态方程（1823年），傅立叶利用三角级数研究热传导（1822年），麦克斯韦用数学语言表达法拉第的力线概念（1856年）并建立电磁理论，预言电磁波的存在（1864年），等等。此外，科学与数学的结合产生了一些交叉和边缘学科，如数学物理方程（方法）、生物数学、数学生态学等。

2．数学（符号）语言的应用

数学是科学的主要术语。数学语言与科学之间的联系，早在古希腊自然哲学中就已经凸显。“希腊哲学已经发现了一种新的语言——数的语言。这个发现标志着我们近代科学概念的诞生”。在现代，把数学“看成一种新的强有力的符号体系，对一切科学的目的来说，这种符号体系比言语的符号体系具有无比的优越性”。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略也认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。比如，当代物理学的基本规律——牛顿力学的运动规律，牛顿万有引力定律，电磁场原理，热力学第一、第二定律，统计力学原理，狭义相对论原理，广义相对论原理，量子力学定律，电子的相对论波动原理，规范场论等的表述，如果没有数学语言，是不可想象的。

3．数学思想方法的应用

数学计算、数学证明、数学模型等方法对科学的产生起着至关重要的作用。比如，计算是各门科学（技术）中最为重要的方法之一，1846年勒维耶通过计算预见海王星，在科学史上传为佳话。在现代科学中，由于数学思想方法的广泛应用，从而产生了大量与计算有关的边缘科学和交叉科学，如计算力学、计算流体力学、计算结构力学、计算物理学、计算化学、计算生物学、计算胚胎学、计算地质学、计算地震学、数值气象学等。

4．数学思维方式的应用

诸如符号化、数字化、抽象化、公理化、结构化、逻辑分析、推理计算、从数据进行推断、优化等数学思维方式在科学理论的建构和发展中起着非常重要的作用。比如，牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉格朗日的《解析力学》、克劳修斯的《热的机械运动理论》等科学史上的奠基性的著作都是运用公理化的方式写成的。又如生物学的发展，起初，它“不得不像其他自然科学一样，从对事实的简单分类开始……”，其后逐渐“进展到了一个‘演绎公式化理论’的新阶段”。

（二）数学教育的科学素养价值

数学教育的科学素养价值，是指数学教育对形成人的科学素养（如科学意识，科学思想、方法，科学精神，科学态度，科学品质）的意义和作用。数学教育之所以具有这种价值，是因为数学仍保留着科学的许多特性，如“都具有对可以理解的规则的信念；想象力和严格逻辑的相互影响；诚实与公开的思想；同行评论的极端重要性；第一个取得重大发现的价值；国际范围和随着大功率电子计算机的发展，运用电子计算机技术，开辟新的研究领域”。具体说来，它有如下几个特性。

1．数学中的科学特性

早在古希腊时代，数学与科学本是同一的，近现代数学与科学都是寻找一般规律和关系的学问。“世界是可被认识的”的科学观，科学的“真、善、美”的本质观，科学理论评价的“外部的确认”与“内部的完美”两条标准，科学知识的发展性和不确定性，科学探索中的“观察”“实验”“验证”“证据”，科学的解释和预测功能等诸多的科学特性，也无不都是数学的特性。

2．数学中的科学思想方法

无论是实证方法、理性方法、臻美方法，还是科学发现中的类比推理、合情推理、直觉和灵感，无不与数学的发现方法和模式完全相同和一致。法国著名科学家、哲学家庞加莱就较为详尽地论述了“数学美”和“数学直觉”在数学发现和学习中的作用，指出：“数学的美感、数和形的和谐感、几何学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的审美感……缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者”；“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄辞藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力……如果直觉对学生是有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须臾不可或缺的”。

3．数学中的科学精神

科学精神究竟包括哪一些？到目前为止，说法不一。数学体现的科学精神有：求真、求实、客观的精神，合理怀疑、批判、创新的精神，民主、平等、合作的精神，不断探索、顽强执著、锲而不舍的精神，等等。

4．数学的科学应用

数学的产生和发展同其他科学一样，来自于问题。这里的问题一般可分为实际问题和理论问题两类。科学所研究的自然界无疑是实际问题的源泉，如作为世界上发展最早、历史最长的天文学之一的中国古代天文学，它所研究的历法编算和天象观测与数学就有着密切的联系。实际上，当时的数学家也就是天文学家，许多数学成果都是在编算历法的过程中得到的，如分数运算、勾股测量术、剩余定理、内插法、高次方程等。不仅如此，科学的理论问题也是数学研究的问题来源，一个著名的例子就是爱因斯坦相对论的理论问题促成了黎曼几何的产生。

（三）数学教育的“数学科学价值”

数学教育的“数学科学价值”本应是没有疑问的，但现在却成了一个复杂的课题。随着人们对数学的本质和价值的认识的不断发展，人们在反思如何认识数学教育中数学的“科学性”与“人文性”的关系，如何看待中小学数学内容的性质定位和价值取向，中小学究竟应该教授什么样的数学等若干认识论和价值论的问题。

在我国传统考试制度下，“精英教育”“天才教育”由来已久，似已形成“中国的传统”，而且自20世纪90年代以来，大有愈演愈烈之势（显然，基础教育不应是“精英教育”或“天才教育”）。这种教育思想和社会思潮对数学课程和数学教学的影响是十分深刻而重大的，致使不少人对过去的数学教育提出种种批评。有的人认为这种数学教育是“培养数学家的教育”，是“数学天才的教育”；有的人认为它只是注重数学的科学价值取向，忽视了人文价值取向；等等。这些批评在一定程度上有其合理性。显然，数学教育不应是“培养数学家的教育”或“数学天才的教育”。但是，我们还应该仔细地分析和思考一下这样几个问题：在什么意义上讲过去的数学教育是“培养数学家的教育”或“数学天才的教育”？美国所提倡的“大众数学”“问题解决”等观念和改革是否一定是公正、合理的数学课程价值取向（或者说一定符合我国的国情）？如何把握数学课程中数学的“科学性”与“人文性”——数学教育的“数学方面”与“教育方面”两者之间的关系？这些问题有待我们作进一步的分析和思考。

数学教育不是“数学”与“教育”的简单相加，但至少包括这样两个方面，即“数学”既是教育的“目的”，也是教育的“手段”。作为手段，学生通过学习数学（主要是知识、理论及相应的数学活动，如数学解题、数学证明等）来提高思维能力和分析问题解决问题的能力，形成良好的个性品质和心理结构，增强民族的自尊心和自豪感；作为目的，学生要学会数学、理解数学、掌握数学，即要通过数学教育使学生获得基础的数学知识、基本的数学技能和重要的数学思想方法，又要形成正确的数学观和一定的数学意识。根据“目的与手段相统一”的哲学原理，掌握数学知识是至关重要的；忽视知识，实际上“在很大程度上是形而上学思维方式的产物，割裂了知识与方法、知识与能力之间的关系”。“可以相信，无论什么时候，扎实的知识功底、广博的知识视野、合理的知识结构和良好的知识素养，都是教育所要追求的目标，这在知识激增时代也不例外，甚至更加重要。通过知识而获得发展，这算得上是一条颠扑不破的教育真理”。这表明，数学教育的“数学方面”与“教育方面”两者是统一的，两者之间必然要保持一定的均衡，忽视哪一方面都是不合理的、不公正的。

美国1989年出台《学校数学课程与评价标准》，后来颁行《数学教师专业标准》（1991年）和《学校数学评估标准》（1995年），并实行数学课程改革，就实施的总体结果来讲是事与愿违。据第三次“国际数学与科学教育研究”调查表明，美国学生的表现与人们的期望相距甚远，其中八年级和十二年级学生的测试成绩远远低于其他国家，四年级学生也只达到平均水平。对此，纽约大学的FranCurcio教授指出其原因有七条，即：忽视基本计算；对问题仅有近似解答就足够了；数学教学只有唯一的方法；与标准一致的教材就是支持改革的；没有有效的研究来支持改革；具体的经验能自动导致抽象；现代技术在数学中的使用等于教学改革。国内外学者还就“大众数学”“开放题”“过分重视应用”等问题的局限性和所带来的后果进行了理性分析，认为，使数学越来越“简单化”“实用化”和“生活化”，最终学生所学到的将不是数学，而是别的什么东西，而且并不能真正调动学生学习数学的积极性，反而使学生感到数学是无意义和毫无用处的。

当前，我国的数学教育（包括其他的学科教育）不仅加重了学生的负担，而且数学已成为筛选学生的“筛子”。这是由于我国社会、经济、传统文化诸多因素综合作用造成的，决不能不加分析地把一切责任都归咎于数学课程。

综上所述，在任何情况下，数学仍然是数学（数学是文化，它首先应该是“数学科学”，核心也是“数学科学”），数学教育决不可忽视其“数学科学价值”——基础知识、基本技能和体现数学本质的数学活动（如数学推理、数学证明、数学思维、数学理性）。也只有这样，才能真正实现数学教育的“人文价值”。

二、如何引导学生学习有价值的数学

我是如何培养学生应用数学的意识和综合运用所学知识解决问题的能力，引导学生学习有价值的数学呢？

（一）以生活的方式呈现数学内容

数学是和现实生活联系最密切的学科之一，许多数学知识都来源于生产、生活实际。教师要善于挖掘生活中的素材，让数学贴近生活，使学生发现数学就在自己身边，感受数学应用的广泛性。因此在教学中，我非常重视以学生容易理解的、生活化的方式呈现数学内容。

例如：教学《圆柱的表面积》，每个学生都准备好了圆柱体实物，有饮料罐、水杯、曲奇饼干盒、月饼盒等，我也准备了茶叶盒。问学生：“现在我想代替饮料厂的厂长，招聘一名设计师，招聘的方法是：对每位应聘者进行考试，择优录用。考试要求是：每个小组的桌上都有饮料罐，小组同学合作。测量出必要的数据，并计算出做这样一个饮料罐至少需要多少平方厘米的材料？比一比，看哪个小组方法好，计算准？”学生讨论得非常热烈，求饮料罐的用料就是侧面积加上两个底面积。到底怎样求圆柱体侧面积呢？黄粤富同学用一张白纸剪成长方形围在饮料罐的侧面，突然他兴奋的喊起来：“我找到方法了。圆柱体的侧面积等于底面的周长乘上高。”同学们也豁然开朗。最后达成共识，不管是求圆柱的侧面积还是表面积，只要测出物体的底面直径或半径和高两个条件就可以了。在这一活动中，学生通过亲自观察、思考、合作、探究发现了数学，并把它作为数学研究的材料，不仅使学生认识到数学就在我们身边，在一个真实的生活情境中学会了数学，增强了学生学习数学的意识，而不是把数学当成脱离实际的“经卷”去苦读研习。

当学生学完圆柱的表面积、体积之后，有的学生把圆柱的表面积、体积计算混淆起来。因此，我及时调整了教学策略。利用活动课把学生带到了校园。让学生以小组为单位，去寻找身边的、校园中的与圆柱有关的问题。同学们的积极性别提有多高了。有的小组发现：“艺术长廊共有柱子17根，底面周长约1．5米，高约4米，这些柱子大约要粉刷多大面积的涂料？每根柱子的占地面积是多少？每根柱子的体积是多少？”有的小组发现，支撑建筑物的柱子里面隐藏着数学知识，同学们用卷尺测量每根柱子大约底面周长1．7米，高3米，经调查校园内约有100根柱子，在每根柱子的表面贴上条形瓷砖，每块条形瓷砖底面长19厘米，宽4厘米。大家提出了很多数学问题：这些柱子一共贴了多少块瓷砖？每根柱子的体积是多少？这一活动极大地激发了本班学生学习应用题的热情，针对圆柱的有关计算，能准确地判断是求圆柱的表面积还是求圆柱的体积，教学效果非常好。

通过以生活化的方式呈现数学内容，同学们渐渐明白：数学与生活实际紧密联系，数学知识来源于生活实际，生活中处处蕴含着数学，以养成良好的数学意识。

（二）以活动化的方式尝试数学应用

学习数学是有用的，他可以帮助人们解决日常生活中的问题。但仅仅让学生枯燥的演算书本上的习题，学生是不可能很好的体会这一点的。

在教学中，我常常配合所学的知识内容，有目的的组织学生开展活动，使学生在开放的实践空间中，学习数学，应用数学。如结合我校对学生进行环保教育，把垃圾丢到垃圾桶里，爱护环境。有的把垃圾桶搬到教室。请同学们自愿组合小组，自备工具，帮助总务处测量、计算出：如果按校园内有60个垃圾桶，1千克油漆可漆5平方米计算，一共要买多少千克的油漆？活动中，学生表现出了出乎我意料之外的解决问题的能力和创造性。比如在量底面周长时，很多小组在没有可以弯曲的软尺能直接测量的情况下，积极动脑筋，想办法。有的小组先用玻璃丝绳量，再用直尺量绳的长度；有的小组仔细认真的量前后两个投放垃圾口的长、宽的长度；有的小组用一把米尺，测量底面直径时，只见他们把米尺的“0”刻度线固定在圆周上，然后旋转米尺，当量得的长度最长时即为直径。在学生的实践活动中，既积累了实物测量的经验，又培养了以变通的思维方式应用数学知识解决实际问题的能力。

学生进行有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。比如在一节活动课教学中，我问同学们：“老师这里有2张长18．84厘米、宽12．56厘米的硬纸板，做成2个空心圆柱形的筒子，一个以长作圆柱的高，另一个以宽作圆柱的高，接口处不重叠，请你们猜一猜：哪一个空心圆柱装的东西多些？同学们议论纷纷，有的说以长作高圆柱装的东西多，有的说以宽作高圆柱装的东西多，还有的说装得一样多。此时学生兴趣盎然，思维异常活跃。接着引导学生亲自动手实践。每个小组都有2张大小一样的硬纸板，一个装有麦粒的水槽，让学生验证一下：到底是哪一个空心圆柱装的东西多些？实验结果令同学们心服口服，以宽作圆柱的高装的东西多一些。

这里的操作虽然简单，但是，它却把抽象的认识具体化，形象化，化静为动、由动促思、由思促说，真正体现了“实践是认识的源泉”这个真理。然后让同学们帮助农民伯伯解决这样一个难题：用一张长9．42米，宽6．28米的长方形竹席，怎样围能围成一个容积最大的圆柱形玉米囤？（接头处不计）这个玉米囤的容积大约是多少立方米？大家调动自己头脑中已有的生活经验、知识基础，尝试解决生活中鲜活的实际问题，学生不仅体会到探究、成功的乐趣，而且在鲜活而朴素的生活问题情境中，通过猜测、验证、灵活应用，更有效地认识数学、理解数学、掌握数学。

数学教学应尽量贴近学生的生活实际，教师充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，让学生在感知、认知的气氛中乐学、学会、会学，并结合教学内容，组织学生参加社会实践，养成善于运用数学眼光从现实生活中发现和提出数学问题。