论数学课题探究教学

第二节　论数学课题探究教学

一、开展数学课题探究教学的必要性

在新课程条件下，随着“探究教学”的提出与实施，传统的数学教育面临着诸多挑战。广大一线教师对如何开展课题探究教学存在着一些困惑。下面对数学教学中的课题探究进行初步探讨，以期对数学课程的实施有所裨益。

当今衡量一个人学习能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知识，而在于他探索、研究、创造能力的高低。因此，在数学教育中，培养学生的探究、创新能力和实践能力，成为教育的重要价值取向。研究表明，课题探究教学更有利于培养学生独立思考的习惯，激发学生的创造意识，不失为一种有效的教学方式。

传统数学教育过于注重升学率的提高，大搞“题海战术”，将所有的知识点精选之后，一一灌输给学生。学生为题所困，已无暇顾及系统知识的学习，更不用说形成问题解决的能力了。《基础教育课程改革纲要（试行）》（2001年）明确提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生的主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。因此，在数学教学中，可以课题探究教学为纽带，在传授系统知识的同时，注重学科的基本结构、知识间的内在、逻辑联系，从而使学生对本学科有一个全局、整体的认识，进而形成一种积极、能动地解决问题的能力，不失为一种好的方法。

事实上，课题探究教学是数学教育发展的必然要求。这主要表现在：1．随着数学新课程的改革与实施，新的数学课程在课程设计、课程目标、课程实施等方面对教师和学生都提出了更高的要求。与传统的数学课程相比，新课程适应当今科学发展分化与综合的趋势，将“既重结果又重过程”的理念渗透其中，如在课程的实施方面，注重学生的探究过程、学习过程。2．“数学为大众”这一发展特点，对教师提出了新的要求。1983年，德国数学家达米洛夫首次提出“大众数学”这一口号，这标志着数学教育不能只为少数尖子，而让多数人去陪少数人，数学教育应面向大众。1984年，在澳大利亚举行的第五届国际数学教育大会设立了“为大众的数学”专题讨论组，并确定它为数学教育的主要问题之一，在此背景下，数学教学中教师需更多地考虑每一个学生未来发展的需要，但也要注意到：这绝不是降低要求，而是要使人人都受到高水平的数学教育。这就要求充分发挥每一个学生的积极性，激励他们自主学习，主动地去探索和研究。3．数学知识应用和科学技术的发展推动了数学教学的改革。传统数学过分强调数学抽象结构的“新数”运动，只注意数学本身的特点和结构，而忽视了数学的发展和科学技术发展的需要，从而使数学的价值受到学生的怀疑。这促使人们去思考，去探索数学教学中的深层次问题：数学教学不只要传授数学知识，更为重要的是，要教会学生如何思维。所以，“问题解决”以及“探究教学”的提出不仅成为20世纪80年代数学教育的口号和中心，而且直到现在，还是数学教学研究的热点问题之一。

二、数学课题探究教学的内涵与特征

（一）数学课题探究教学的内涵

作为一种在教师指导下，以学生自主探究为主的教与学的方式，探究教学由来已久。它的思想渊源可追溯到孔子和苏格拉底的教学思想中。而明确把“探究学习”作为一种教学方式的则是美国生物学家、课程专家、芝加哥大学教授施瓦布。他认为探究教学是指这样一种教学活动：儿童通过自主地参与知识的获得过程，掌握研究自然所必需的探究能力，同时形成认识自然的基础——科学概念，进而培养探索世界的积极态度。我国学者也有类似的定义，如“所谓探究教学，就是为儿童提供真实的问题情境，让儿童通过探究事物、现象和观点而自主地获得科学知识并形成探究技能和态度的过程”，“探究教学是指在教师指导下学生运用探究的方法进行学习，主动获取知识，发展能力的实践活动”，以及“探究教学是指学生在教师的指导下，以类似科学研究的方式去获取知识和运用知识的学习方式”，等等。

尽管对于探究教学的涵义，不同的人有不同的看法，但都包含两个方面的要义：一是必须有教师的指导——教师提供必要的专业引领，使学生在探究中有明确的方向；二是以学生的“学”或“探究”为主——学生自主去思考、探究，而不是被教师直接引向问题的答案。

数学课题探究教学则是在教师指导下，围绕某一课题，学生运用探究的方法主动获取知识，发展能力的实践活动。其目的是让学生在学习数学知识的同时，掌握知识间的内在逻辑联系，从而对本学科有一个全面、系统的理解，培养科学精神和态度，逐步形成独立、能动地解决数学问题的能力。

（二）数学课题探究教学的特征

数学课题探究教学作为一种以课题为纽带的探究教学，不仅具备一般探究教学的内涵和特点（共性），同时还有自身的特点（个性）。

1．各学科课题探究教学的共性

l）面向全体学生，提高科学素养。

探究教学的根本目的不在于把少数学生培养成为尖子和精英，而是面向全体学生，使每一个学生都成为有科学素养的公民。科学素养包括科学知识、科学方法、科学态度、科学精神。探究教学就是要求学生自己动手去做，自己动脑去思考。学生在参与探究的过程中既学习了科学知识，又养成了主动、积极的科学态度和科学精神。这样，在探究教学中，逐渐发展学生的观察能力、建立假设的能力、推理和预测的能力，从而提高科学研究的能力。

2）结果与过程并重。

传统教学特别注意结果，在很大程度上忽视了知识获得的过程。探究数学则注重知识获得的过程，把学习方法和思维的训练放在首位。

3）重视学以致用。

探究教学尤其注重发展学生运用科学知识解决实际问题的能力。美国教育心理学家加涅把学习分为八个层次，其中最后三个层次分别是：①概念学习，即通过概念来了解事物的本质；②规则学习，即懂得概念与概念之间的联系；③问题解决学习，即运用概念和规则来解决问题。探究教学非常注重这后三个层次的学习，尤其是问题解决。这是它与一般的知识、技能学习的根本区别之一与一般的掌握知识、解答问题的学习活动相比，它更符合人们的生活和社会的实际需要，因而有利于提高学生学以致用的本领。

4）学生独自学习为主。

在探究教学中，教师不再是传统的“传道、授业、解惑”的知识传授者和管理者，而是学生进行探究学习的促进者和合作者。作为促进者，教师的主要任务是把握正确的探究方向，激励学生勇于探索和创造的动机，引导学生进行探究。当然，教师要根据每个学生的特点进行不同的指导和引导。而作为合作者，教师要自觉地把自己当作学习团体中的一员，与学生一起共同学习、探索和讨论。

学生作为具有创造能力的学习社会中的主体，教师应充分信任他们，相信他们在一定程度上有能力进行自主地探索和研究。因此，探究教学非常注重培养学生的主体意识，充分发挥他们的主动性和积极性，把探索和研究深入下去。

5）注重发展性评价。

传统教学评价注重标准化测试。这种评价方式过分强调学习和思维方式的统一性，压抑了个性，不利于学生创造能力的培养。而探究教学则强调评价的开放性与多元化，即更注重发展性评价。它在评价的方式和评价的标准上都是开放的、多元的。它既重视正式评价，也注重非正式评价，如小组评价、小组互评、学生自评等在评价标准上，考虑到学生的个体差异，则采用多层次的评价标准，从而使评价标准具有弹性化、人性化的特征。

2．数学课题探究教学的个性

1）数学课题的开放性。

课题的开放性要求教师不应把学习内容限制在某些方面，只要与数学有关，学生力所能及的，都可以成为课题探究的内容。同时教师也不要因为学生提出的课题“不够水平”或“不够深刻”而去干涉他们。实际上，数学史上许多有重大意义的问题开始并不为人们所理解。因此，教师应积极鼓励和肯定学生的问题意识和创新精神，不要让这些思想一开始便被扼杀在摇篮里。

2）数学课题探究方法的多样性。

作为一门基础学科，数学课题探究教学尤其注重学生的数学思维方式。思维方式不同，探究的方法也就不同。常见的方法主要有：数学演绎与归纳法、数学分析与综合法、数学化归方法、数学公理化方法等等。演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的推理方法。演绎推理的重要形式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理。这在中学数学中可大量使用。因此，在课题探究中要加强这种演绎方式的训练。归纳推理则是由个别的命题推出一般性命题的推理方法。一般根据概括对象是否完全而分为完全归纳法与不完全归纳法。完全归纳法是根据某一类事物的全体对象作出概括的推理方法，如数学上的穷举法。总之，数学课题探究教学在解决问题的同时，加强了学生思维能力的训练，这样又有利于学生提出新的课题，进而进行新的探究学习，从而形成良性循环。

3）数学课题探究需要进行抽象。

与其他学科相比，数学课题探究的抽象程度更高一些。例如，数学模型就是通过对原型的模拟或抽象而得来的，它是一种形式化和符号化的模型。在数学课题探究教学中，很多数学课题源于现实生活，而大多数学生通常在进行纯粹的数学计算、变换和推演时可能感到困难不大，可一接触到现实中有待解决的数学问题，往往束手无策。不少学生感到所学的概念、公式、定理等与实际问题对不上号。这时，教师需要引导学生对实际问题进行抽象，去掉一些无关紧要的枝节问题，把问题的本质突出出来，从而利用已学过的概念、公式、定理、方法来解决问题。

三、数学课题探究教学内容的选择

与其他学科一样，数学课题探究教学的内容十分丰富。归纳起来，可以从以下四个方面考虑。

（一）数学基本概念和规律

数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点和基础，又是探究的对象。在教与学中，教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使学生加深对概念和规律的理解与掌握。例如，在学习圆的定义时，教师可先引导学生观察实际生活中与圆有关的物体的特征：自行车的钢圈和小飞轮、台扇的外壳。通过测量中心到圆周的距离（忽略误差），学生会发现圆的一个显著特征：圆周上的点到圆心的距离处处相等。这时教师就可以引导学生归纳得出圆的定义了。

（二）数学中的综合问题

相对于知识点比较单一的问题而言，综合性问题更有利于学生去探索和研究，也更有利于培养学生的敏锐洞察力和思维能力。例如，“要证明AB＝CD、△ABC∽△DEF、AB//CD……有哪些方法，可用哪些定理？”对于这类问题的回答，就要求突破教材的结构，重新以问题为线索建构知识体系。这样，学生头脑中的认识结构就会变得更加适合于扩散性思维，也更有利于学生问题解决能力的提高。

（三）现实中的数学问题

现实生活中的数学问题可谓无处不在。数学就是从生活中的这些实际问题开始的。中国古代的数学著作《周髀算经》和《九章算术》，都是为解决生产和生活中的问题凝结成的成果。当今时代，生产和生活中同样有许多问题可成为数学探究教学的对象。例如，电话费的计费方式如何用函数来表示，银行储蓄的税后利息的计算，球队的比赛场次计算，等等。在教学中对这些问题的探究可激发学生的兴趣，有利于培养发现问题的能力和应用数学知识解决问题的能力。

（四）学科前沿中的数学问题

选取一些与学科前沿有关的内容作为探究的方向，可扩大学生的知识面，开阔学生的视野。如选取哥尼斯堡七桥问题、计算机中的二进制问题、模糊数学的有关问题等。

四、数学课题探究教学的基本环节

探究是科学的本质特征之一，没有探究就不会有发现。作为中学生，一般不可能达到真正意义的探究，因而实施课题探究的重心就在于诱导学生发现数学规律。

当前有不少师生认为开展课题探究是课堂之外的事情，其实这是一种误解。事实上，在课堂教学中，同样可以开展课题探究。

数学课题探究教学的关键在于让学生独立自主地学习，强调个人独立学习活动，教师加以引导，师生共同探究教学规律、原理。其基本教学程序可以总结如下：1．创设情境，提出课题；2．引出假设或猜想；3．实验探究，验证、论证；4．归纳结论，应用提高。数学课题探究教学过程就是在教师有目的、有组织的指导下，学生主动发现规律的过程。这里举一个简单例子加以说明。

（一）教师示范指导、诱导

在这一环节里，教师的主导作用非常重要。关于探究课题的提出，教师要根据教学内容，一般可从学生已有的知识中引出所要探究的课题。例如，在证明梯形中位线定理时，先提出：梯形中位线定理与三角形中位线定理有何异同？进而提出如何把两者结合起来的课题。然后教师引导学生根据学过的有关几何知识，对问题进行假设、猜想，并展开讨论，设计出作各种辅助线的方案。接着学生在教师的指导下，分组独立进行验证、证明。最后，学生获得新的概念、定律及证明的思想、方法，从而解决数学问题。

在整个环节中，教师要充分调动学生的积极性，有意识地激发其兴趣。心理学研究表明，兴趣是促进学生主动学习的内部动力，学生只有对所探究的课题产生浓厚的兴趣，才能想学、乐学、善学。当然，探究教学过程不一定严格按照上述步骤进行，可针对具体问题具体分析，灵活运用。

数学课题探究教学中，通过一次探究性教学，可以使学生深入地理解一些重要的原理，掌握一些重要的数学思维方法。这些突破点是引导学生进人科学殿堂的指示灯。例如，可把研究一所学校学生的身高作为一个课题，从中引出统计学中的平均数、方差以及分组、样本估计等基本概念与规律及其应用。

（二）学生探究，注重思维发展

在上一个环节中，学生会感到他和教师一样都在进行课题探究，于是就会以主人翁的态度积极地、主动地并有极大可能从各种角度去审视、参与教学活动。在这种情形下，学生就会围绕问题积极思考，于是学生的思维过程自由展示的机会就增多了。教师可根据学生思维中的漏洞、偏差，不失时机地加以点拨，同时引导其他学生共同探讨，使他们处于积极的思考状态中，独立地观察、分析、类比、联想、辨析、归纳等，以便最大限度地发挥学生自身的创造潜能。

（三）“师生共探”，学会反思与感悟

这一环节中，学生对问题已基本明了，但他们会或多或少存在一些困惑。因此教师应适时引导学生进行反思与感悟，以便加深对该课题的认识，从而促进迁移。教育是哲学，是艺术，是诗篇，是思想与思想的碰撞，是心灵与心灵的交流，是生命与生命的对话。因此，教师需要本着和学生共同研讨的精神，调动并发挥学生在探究教学中的主动性。通过优化“教学互动”的方式，通过调节师生关系及其相互作用，形成和谐的师生互动、生生互动、学习个体与教学中介的互动，强化学生与环境的交互影响，产生教、学协同与共振，从而切实提高教学效率。

五、数学课题探究教学应注意的几个问题

为了使数学课题探究教学更加有效，教师首先需要更新教育观，即数学观、数学教育观和数学教学观。在数学观方面，要用动态的观点认识数学。正如《人人关心数学教育的未来》中指出的：“数学是一门有待探索的、动态的、进化的思维训练，而不是僵化的、绝对的、封闭的规则体系，数学是一种科学，而不是一堆原则；数学是关于模式的科学，而不仅仅是关于数的科学。”在数学教育观方面，数学教育不仅是为了学数学知识，还在于根据本学科的特点使人们用数学的知识、方法，去认识自然、社会，最终达到培养人，发展人，从而促进整个人类发展的目的。在数学教学观方面，为了改进学生的学习，面向大众，教师在课堂教学的组织形式、课堂练习的水平，尤其在课堂提问的技巧和师生互动等方面，应多做些研究。

此外，教师还要有意识地引导学生，培养与发展其怀疑、猜测和实践的意识和能力，因为疑是创新的起始点，猜测和想象是创新的突破点，行是创新的立足点。在数学课题探究教学时应注意以下几个问题：

（一）倡导怀疑

怀疑是创新的心理动力，是思维独立性、批判性的体现。数学家笛卡儿说“怀疑是方法”。比如，在柯西那个时代，几乎所有数学家都相信，凡是连续函数一定可微，可是后来有一些数学家，如德国的外尔斯特拉斯就不以为然。他专门构造了一个处处连续又处处不可微的函数，于是否定了前人的传统认识。因此，在数学教学中，教师要大力倡导学生对书本、对以往的结论敢于怀疑的精神，勇于提出自己的观点。

（二）鼓励猜测和想象

数学中的猜测是根据已知数学条件和数学原理对未知的量及其关系的似真判断。这种猜测富于创造性，能够提供大量新观点、新思维、新方法。正如数学家徐利治先生在《数学方法论选讲》中指出的：“数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛性思维。”想象是创造的源泉，在某种程度上，没有想象就没有科学发现。爱因斯坦认为：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”

（三）引导行动

“千里之行，始于足下。”有了好的课题与猜想，就要立即行动起来，搜索有关信息，扎扎实实地进行探究活动。当然，这需要学生有一定的知识储备，较强的学习动机，否则，只能是一句空话。因此，教师要引导学生不轻易放过某个看似荒诞、离奇的想法，引导学生积极探究，举一反三。授之以鱼，不如授之以渔，教是为了不教，数学课题探究教学可以很好地培养学生优良的思维品质，教会他们怎样思维。

总之，课题探究教学为学生提供了一个自我发现、自主学习的机会，与传统的教学形式相比，它有更为鲜明的特点，值得我们去研究和探索。

六、对中学教师谈数学课题的揭示方法

在数学教学中揭示课题是重要的教学环节之一，因为课题是教学内容的集中体现，恰当地揭示课题可以激发学生的学习积极性，提高教学质量。揭示的方法应根据一节课的教学内容来确定。一般有：直接法、间接法、发现法、变换法、释义法、完善法、小结法、教具演示法等。课题的揭示方法千变万化，在同一节课可用不同的方法揭示课题，有待我们去研究和探索。

在数学教学中揭示课题是重要教学环节之一，因为课题是教学内容的浓缩和概括，有时也是教学内容的集中体现，适时巧妙地揭示课题，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的积极性，可以突出教学内容的骨髓，也可以起到提纲挈领归纳小结的作用。因此一节课的成功与否与揭示课题有着密切地联系。对此在教学中，必须准确恰当地揭示课题。揭示的方法，一般根据一节课的教学内容来确定。

（一）直接法：就是直截了当，开门见山，把要讲的课题直接写在黑板上。例如“函数及其图像”一章中“直角坐标系”可直接揭示课题。然后可举例影院的座位是由排数和号数确定的，某城市的地理位置是由经度和纬度确定的，来做进一步的解释，使学生体会到，确定平面内一点的位置必须用两个数来表示，这种方法就是课题中的坐标法，并引导学生向纵深做进一步研究。

（二）间接法：就是讲课前通过有意识地提出问题，再引出新的问题而点明题目。如讲“无理方程”一节，教师可以提出这样一些问题：

1．请同学们列出方程分类表，学生口述，教师写在黑板上即：

一元一次方程ax＝b（a≠0）

整式方程

一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）

有理方程

特殊的高次方程

代数方程

分式方程

空白

2．一个数与它的算术平方根的和为12，求这个数？由学生列出方程得，然后，教师引导学生找出这个方程的特点是什么？谁能猜出方程的一个解来，经学生回答后教师小结：今天我们将要研究的正是这种“未知数含在根号下的方程，我们称它是无理方程或根式方程。写出课题：根式方程及其解法”并填上上表的空白。

（三）发现法：就是通过不同题型的比较，发现解决问题的方法，从而点出课题来。例：讲解高次方程中的双二次方程时，可先请一名学生解方程x⁴＋9x²＋8＝0，除直接用因式分解法求解外，还有其他解法吗？教师引导学生考虑与x⁴＋9x²＋8＝0相关的y²＋9y＋8＝0方程，发现这两个方程之间只不过将x²换y而为y的一元二次方程，求出解后再由x²＝y求出x。从而引出换元法，写出课题：“用换元法解双二次方程。”

（四）变换法：也叫旧知更新。例如：在教学“分式方程应用题”之前，教师可先提出一道应用题：在80升的纯酒精中，要加入多少升的水，才能配成浓度为16%的酒精溶液？设加入x升水，如果按照“溶液乘浓度等溶质”可得方程式（80＋x）×16%＝80，并解这个整式方程，随后，教师启发学生，对此是否还有别的列方程的方法？于是有人提出还可按照，溶质/溶液＝浓度，即溶质/（溶质＋溶剂）＝浓度，列出方程，解得结果为16%。

这就是分式方程，根据实际问题的需要和方便，我们来研究“分式方程应用题”。

（五）释义法：就是把课题的含义解释清楚，在此基础上揭示课题。像：“完全平方公式”教学时，可引导学生按照多项式的乘法法则求出：（a＋b）（a－b）＝a²－b²，教师指出“两个数的和与两个数的差的积就等于这两个数的平方差。”因此，这个乘法公式的名字就是按照结果而得“平方差公式”，此时板书课题，就水到渠成了。

（六）完善法：随着教学的进展，逐步把课题完整化。例如：在教学“化钝角三角函数为锐角三角函数时”，可以指出，我们已经学习了查表求锐角三角函数值的方法（同时板书出锐角三角函数），那么钝角三角函数怎么求呢？（同时板书出“钝角三角函数”），在教学四个诱导公式以后，并指出，要求钝角三角函数值，关键在于将它化为锐角三角函数，同时板书“化钝角三角函数为锐角三角函数”逐步完善课题，这样，不仅揭示了新旧知识的内在联系，而且归纳出解决问题的规律。

（七）小结法：即教学内容基本结束后，在小结中产生课题的一种方法。例如：用代入法解二元一次方程组时，开始暂不写出课题，直接研究实例，待解出方程组后，指出这种方法的特点是将其中的一个未知元用另一个未知元的式子来表示，代入另一个方程，消去一个未知元，化二元为一元方程，这种方法叫代入消元法，简称代入法，把课题写在前面。

（八）教具法：用教具演示揭示概念的内涵，而得出课题的方法。例如：在矩形一节教学时用一个活动的平行四边形教具演示，使其中一个角为直角即得出“有一个角是直角的平行四边形为矩形”的概念。板书课题。这样同时还能起到启发学生进行思维的目的。

随着教学教改飞速向纵深发展，课题的揭示方法也是千变万化的，在同一节课，也可用不同的方法揭示课题，为了提高教学质量，在教学中有待于我们去探索。