数学问题的解决

第四节　数学问题的解决

一、数学问题情景的创立和问题的解决

（一）数学问题的涵义

1．什么是数学问题

数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如幂的指数由正整数到正分数，对初学的学生来说就是一个不能直接用已有的数学经验和方法解决成进行计算的情景状态，它就是一个问题。就信息加工而言，数学问题对学生来讲是一组尚未达到目标状态的、有待加工处理的信息。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。假如构成这个系统的全部要素都是学生已知的，那么这个系统对学生来说就不是问题系统了，而是一种稳定系统。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性，即学生不能直接看出问题的解法和答案，必须经过深入的研究与思考才能得出其答案；二是可接受性，即它能激起学生的学习兴趣，学生愿意运用已掌握的知识和方法去解决。

2．数学问题的结构

数学问题作为一种有待加工的信息系统，它主要由以下三种成分构成。

l）条件信息。条件信息是指问题已知的和给定的东西，它可以是一些数据、一种关系或者某种状态。如计算题中给定的数据和运算符号，应用题中的已知数量及其相互之间的关系等都是数学问题给定的条件信息。

2）目标信息。目标在这里是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所说的要求什么。数学问题一旦由问题状态转化成目标状态以后，它就不再是一个问题系统了。

3）思维信息。这里是指条件所允许采取的求解行动，即可以采取哪些思维方式把数学问题由问题状态转化成目标状态，它是问题求解的途径。

3．数学问题的类型

就数学问题而言我们可以把它按内容归纳为；计算问题，证明问题，实际问题。按形式可归纳为：填空题，选择题，计算题，证明题，作图题，应用题，阅读理解题等等。

4．数学问题情景的创立

数学问题情景的创立是指帮助学生在要解决的问题之间创立新的情景状态，有利帮助学生运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程。

1）创设趣味、游戏情境

在学习二元一次方程组时，设置：鸡兔共49只，100条腿满地走，问鸡兔各几只？学生被这个有趣问题吸引，思考问题的答案。以“趣”引“思”，使学生处于兴奋状态和积极思维状态。这是诱发学生主动学习的一种好方法。

如讲相似三角形判定定理一节时，授课前，先给同学们讲一个故事：古希腊有一个哲学家泰勒斯旅行到埃及，在一个晴朗的日子里，埃及伊西达神殿的司祭长陪同他去参观胡夫金字塔，泰勒斯问司祭长：“有谁知道金字塔有多高吗？”司祭长告诉他：“没有，我的孩子，古代草片文字没有告诉这个，而我们今天的知识使我们甚至不可能大概地判定这金字塔究竟有多高。”泰勒斯说：“可是，这是马上可以测出来的，我可以根据我的身高测得金字塔的高度。”说完，泰勒斯随即从白长袍下取出一条结绳，在他的助手帮助下，测得塔高是131米。故事讲完了，在学生们还沉浸在故事之中时，问：“谁能说出泰勒斯是如何测出塔高的？”学生们面面向视，回答不出，老师告诉学生：“下面将要学习的相似三角形的判定定理就能帮助你回答。”这一悬念的设置，使学生产生好奇心和浓厚的兴趣，急于释疑，很自然地把学生引入到生机盎然的学习情况中去。

华东师大新编教材，创设了许多非常好的娱乐游戏情景，例如，做一做，试一试，阅读材料，每一册书的最后一章，都是统计学的有关知识，在这里有许许多多的游戏，例如“抛硬币”，“抛骰子”，“抢答数字”……等等，增加了学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，使他们在开心、愉快的心境中获得知识，不断成长。

2）创设应用情境

例如，在讲授《三角形全等的判定2》时，开始就设置问题：

一块三角形的玻璃，不小心打成了两块（如图），要裁用同样大小的玻璃，要不要将两块都带去？为什么？如果带去一块可以的话，应带去哪一块？为什么？这样创设问题情景，能吸引学生注意力，启迪思维，足以激发学生不断追求新知识。

3）创设联想情境

在讲授新知识之前，教师要提问本课所用到的旧知识，以达到顺利地完成本课教学任务的目的，也为学生积极思维创造条件，同时又能降低思维的难度。例如在讲梯形中位线定理时，教师首先提问：“三角形的中位线定理的内容是什么？”当提出梯形中位线定理之后，继续问：“能否利用三角形中位线定理使本定理获证？这样以旧引新的联想，引发学生的思维，为梯形中位线定理证明奠定了基础，使学生紧紧围绕三角形中位线的性质积极思考。于是，本定理证明的主要难点—辅助线就很容易被突破。

又例如：学习二次根式的运算时，先让学生回到整式中去，复习其中的有关运算方法，法则及注意事项；这些能否应用到二次根式的运算中去呢？以旧带新就显得很自然，通俗易懂。

4）创设猜想情境

在习题的教学中，一些习题难度较大学生思路受阻，往往丧失学习兴趣。如果能在教学中引导学生通过对比、观察、分析和综合，对问题产生猜想，则能开通学生的思路，激发起学生的学习兴趣。

要对a⁴＋a²b²＋b⁴分解因式，学生感到困难，可先让学生用两种方法将a⁶－b⁶分解因式：

解法一：a⁶－b⁶＝（a²）³－（b²）³＝（a＋b）（a－b）（a⁴＋a²b²＋b⁴）

解法二：a⁶－b⁶＝（a³）²－（b³）³＝（a＋b）（a－b）（a²＋ab＋b²）（a²－ab＋b²）

两种方法，解出两种结果，学生通过对比、观察便可自然产生猜想：

（a²＋ab＋b²）（a²－ab＋b²）＝a⁴＋a⁴b⁴＋b⁴

至此，学生情绪激昂，信心十足，就像发现了新大陆，几乎不费力地得出拆项法分解a⁴＋a²b²＋b⁴的方法。

又例如，在讲授《三角形内角和》时，设置问题：①任意画一个△ABC，②剪下∠A、∠B并与∠C相拼，组成一个什么角？③由此你能猜出什么结论？从中悟出证明三角形内角和定理的方法，创设这样的问题情境，便于学生操作，并能引起学生积极猜测，深入思考问题。通过实验观察，猜测出结论；再通过度量计算或说理得出结论，这是数学发现的重要方法。如果按照这个程序创设问题情境，既启发学生积极思维，又使学生尝试到模拟数学家发现结论的方法，增强学习的兴趣。

5）创设直观情境

初中学生处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，过分抽象的内容他们往往会感到枯燥乏味，难于理解。如果能把抽象的内容通过直观教具来演示，加强直观教学，则有助于兴趣的激发。

垂径定理及其推论是平面几何中的一个重要定理，在讲授这一节时，教师用硬纸板做了一个如图所示的教具。

教具沿对称轴折叠演示，使学生从直观上了解到：当直径CD与弦AB垂直时，直径CD就平分弦AB所对的两段弧。

在感性认识的基础上，再从理论上加以证明，这样有助于学生理解掌握。

菱形的性质及其推论在四边形中是非常重要的，华东师大版的教材《八年级上册》P41的做一做，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么图形呢？再通过的展开、合并，就可以直观地得到菱形的所有性质及其推论，创设一个简单的剪纸游戏，让学生在娱乐中掌握了知识。

6）创设实验情境

“爱动”是初中生的一大心理特征，在教学中如果想方法设计，顺应其心理需要，使学生通过实际操作，动手动脑，自己发现真理和论证思路，则会活跃课堂气氛，发展学生的数学思维，促进智力的开发。

学生在动手操作中自然会产生疑问；老师要引导学生的实验朝目标方向去思考。例如：在讲“直径所对的圆周角是直角”这节课时，教师要求学生在纸上划一个圆，假定不知道圆心，这时问学生：“谁能用三角板找到圆心？”通过动手实验，有的学生小声说：“要找到两条直径的交点就好了，但直径怎么找呢？”进一步实验，学生会发现：三角板直角顶点在圆周上，两条直角边与圆的交点连起来就是直径。最后教师提问：这个实验说明了什么道理？学生的思维马上回到本课要讲的内容上。在上述教学过程中，学生可以广泛地调动起来，深深地沉浸在对问题探讨的过程之中。

7）创设类比情境

不少数学知识在内容和形式上有类似之处，它们之间既有联系又有区别。对于这样的教学内容，如果能引导学生对新旧知识进行比较，以期触类旁通，则能把学生已获得的知识和技能从已知的对象迁移到未知的对象上去，促使他们迫不及待地学习和研究。

学习三角形内角平分线性质定理时，为了证明线段成比例，必须添辅助线，创造平行条件，在三角形的外部作内角平分线的平行线。达到要证明三角形的外角平分线性质定理，对比三角形内角平分线性质定理的作处理，提出问题：

①如何创造线段平行的条件，从而推出线段在比例的结论呢？

②在三角形的内部还是外部作平行线？如何作？

这样通过对比提问，学生会类比已证题目顺利添上辅助线。这两题做完后，还可引导学生思考这一类题添辅助线的规律：根据平行线分线段成比例定理，添上辅助平行线，作出第四比例线段。

8）创设变异情境

初中生往往只能集中精力学习30分钟，在这以后的时间里，如果题目没有吸引力，注意力就容易分散。因此，我们可以采取一题多问，一题多变，一题多解以及变换问题的条件或结论等形式，改变问题的情趣，创设出问题的情境，来集中学生的注意力。

初三学生学过全等三角形后，对解下题可能满不在乎：

已知：AD与BC相交于E，BE＝EC，AE＝ED。

求证：ABE≌DCE。

但如果把问题的结论稍加变化：要证明ABE与DCE全等，需要哪些条件？问题一变，单项思维变为发散思维，学生当即兴致勃勃，思绪如潮，大有“不尽长江滚滚来”之势。

总之，创设问题情境的方法很多，没有一定的模式，教师只要深入地钻研教材，多方学习，多了解学生的具体情况以及教学原则来精心设计，定能创设出活泼、热烈、跃跃欲试的问题情境有效地激发起学生在获取知识过程中的好奇欲望，探索欲望和竞争欲望。

（二）影响问题解决的因素

数学问题解决的过程是一个复杂的心理活动过程，它对学生的学习和发展具有重要的作用。

1．学生原有知识的掌握水平

数学问题解决，从根本上来讲是把前面已学到的数学知识运用到新的情景中去的过程，并且这种运用不是一种简单的模仿操作，而是一种对已经掌握的数学概念、规则、方法和技能重新组合的创造性运用。这个过程本身就是一种加深数学知识的理解并灵活运用所学知识的过程。如解以一元二次方程，要综合运用到一元一次方程的基本解法、开平方，因式分解，配方法等知识才能使问题得到解决，很明显，这个过程的本身就是一个提高开平方运算，因式分解，配方法掌握水平的过程。

数学问题解决和练习都有提高知识掌握水平的功能，但两者有着根本性的区别。前者主要是通过对已有知识和方法的重新组合而生成新的解题策略和方法，它通过创新活动去实现已有数学知识在更高层次上的掌握；而练习则更多地是一种对已有知识的重复学习，它主要是通过巩固去加深知识的理解和掌握。

2．学生运用所学数学知识解决实际问题的能力在数学问题解决的过程中，根据实现问题目标的需要，学生要主动地将原来所学过的有关知识运用到新的情景中去，使问题得到解决。这个过程本身就是一个运用数学知识，使知识转化成能力的过程。

因此数学问题解决对于培养学生的数学能力，特别是运用所学数学知识解决简单实际问题的能力具有重要的意义。首先，它促使学生在原有认知结构中去提取有用的知识和经验运用于新的问题情景，培养学生根据目标需要检索和提取有用信息的能力。其次，数学问题解决促使学生将过去已掌握的静态的知识和方法转化成可操作的动态程序。这个过程本身就是一个将知识转化成能力的过程。另外，数学问题解决能使学生将已有的数学知识迁移到他们不熟悉的情景中去，并作为实现问题解决的方法和措施。这既是一种迁移能力的培养，同时又是一种主动运用原有的知识解决新问题能力的培养。

3．学生对问题解决的情感态度

在数学问题解决的过程中，学生对面临的问题主观愿不愿意运用这些知识去解决问题，他们遇到困难有没有勇气和决心去解决它。例如求出X的取值范围，有相当一部分同学怕，甚至看都不想看。还有相当一部分同学由于长期被动的接受数学知识，失去了切身感受到运用数学知识解决问题后的成功体验，无兴趣可言。

4．思维方式和方法的障碍

中学生对数学问题解决，用数学的眼光去观察身边的事物，用数学的思维方法去分析日常生活中的现象。常常感到无从入手，或进行不下去。例如已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，很多数学问题对学生来说都是第一次遇到的新情景，怎样去实现问题的解决并没有现成的方法和措施可采用，需要学生根据具体的问题情景去探索和发现能使问题达到目标状态的方法与途径，这个过程的本身就是一个主动探索的过程。另一方面，任何数学问题的解决都不能直接依赖于已有的知识和方法，只有通过对已掌握的知识和方法的重新组合并生成新的策略和方法才能实现问题的解决。很明显，数学问题解决的过程又是一个创新的过程。

（三）问题解决的策略

问题解决的策略是这一过程促使学生寻求新的途径和方法去实现问题的解决的有效过程。它不仅可以使学生获得初步的创新能力，同时还可以让学生从小养成创新的意识和创新的思维习惯，为今后实现更高层次的创新奠定良好的基础。

在教学中挖掘数学问题解决中隐藏的培养学生探索精神和创新能力的巨大潜力，引导学生加强数学问题解决的学习，充分发挥其培养学生探索精神和创新能力的功能，在当前也是素质教育赋予数学学科教学的重要任务。

1．感知、理解问题

感知和理解问题是数学问题解决的第一步。这一步主要是学习者明确问题所提供的条件信息和目标信息，并在头脑里建立起问题的表象。具体来讲，在这一步先感知问题通过文字描述、画面或其他形式所提供的信息，了解问题给定了哪些已知条件和有用的东西，在此基础上明确问题中有哪些可供利用的有用信息；然后进一步了解问题所提供的目标信息，即知道要解决什么问题，由此在头脑里形成问题事件的表象，明确问题的初始状态和所要达到的目标状态。

感知和理解问题时要注意对问题的已知条件和问题的初始状态有全面而完整地认识，尤其是对那些综合性强、关系复杂的数学问题，要注意发现问题中的隐蔽条件，充分搜集有用的信息，这对实现问题的解决有重要的意义。例如，在问题“大数和小数的差是80．l，小数的小数点向右移动一位就刚好与大数相等，大数和小数各是多少”中，大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息，题中就没有直接告诉，而是隐蔽在“小数的小数点向右移动一位刚好与大数相等”之中，需要学习者自己去发现。

另外，感知和理解问题时不要忽视问题目标的导向作用，要根据目标信息去搜集条件信息，这样不仅可以更容易获得使问题达到目标状态的所有有用信息，同时还可以有效地排除无用信息的干扰。

2．确定求解方案

这是一个根据前面获得的条件信息、目标信息、问题的初始状态及学习者头脑里形成的问题目标状态选择解题方法，制定求解计划的过程，这是实现问题解决的最关键的一步。这一步是一个复杂的心理活动过程，要连续完成以下几方面的任务。

1）问题类化

问题类化在这里是指把问题中的主要内容同学习者原有认知结构中有关的数学知识和方法联系起来，并把这些已有的知识和方法作为重新组合成解决问题的新方法的依据和基础。如在上例中，这一步就是将问题中的内容同原来已掌握的“小数点位置移动引起小数大小变化规律”。“解答差倍问题的方法”等内容联系起来，让这些内容在学习者头脑里处于激活状态，为后面确定求大数和小数的解题方法做好准备。

如果问题内容太复杂、太抽象，一时难以类化，就应采取适当的措施降低难度，使问题同学生原有认知结构中的有关内容建立起联系。其方法一是可以利用实物、模像或图示等直观手段，使问题中的隐蔽条件明朗化；二是可以利用适当改变问题内容的叙述方式，将逆向表述的问题变成顺向表述的问题，使问题内容同学生原有认知结构建立起直接的联系。

2）寻找解决问题的突破口

寻找解题的突破口，在这里包含两方面的任务：一是抓住问题解决的关键，找到解题的主攻方向；二是明确从什么地方入手去解决问题，确定解题思维的起点。这一步对整个解题过程至关重要，它是问题能否实现顺利解决的关键。由于解决问题时所采用的思维方法和思维起点的不同，所以这一步在具体实施过程中具有相对的灵活性，有些问题可以从目标入手去找问题解决的条件，有些问题应当从条件入手通过条件的组合去实现问题的解决，有些问题需要将两者结合起来思考找出问题解决的办法。到底从什么地方入手去解决问题，要根据不同数学问题的具体情况和学习者的思维习惯及发展水平去定，不能一概而论。

3）确定解题步骤

确定解题步骤是指学生在头脑里拟出问题求解的具体操作程序，即确定先求什么，再求什么，最后求什么，并不是要求学生写出书面的解题计划。从解决问题的思考过程来讲，这一步主要是一个确定解题思维发展方向的问题，即在前面已确定的思考起点的基础上进一步确定出整个解题过程应沿着什么方向思考下去，以保证解题时思维目标信息确定的方向顺利进行。解题时思维过程的发展方向是直接受思考起点制约的，同一问题如果思考起点不同，思维过程展开的方向也不同。例如“小玲读一本故事书，第一天读了全书的25%，第二天读了余下的，还剩下45页没有读。这本故事书一共有多少页？”制定求解方案时，如果以求二天所看页数占全书总页数的分率为突破口，其思维过程就可以沿着“第二天看了全书的几分之几→剩下的45页占全书的总页数的几分之几→全书共有多少页”的方向展开；如果以求第一天看后还剩下的页数为突破口，就先把第一天看后还剩下的页数看作单位“l”，然后再把全书总页数着做单位“l”，其思维过程是：先求出第二天读后剩下的45页对应的分率，再求第一天读后剩下的页数，紧接着求第一天读25%后还剩下百分之几没有读，最后求出全书的总页数。确定解题步骤时，不管以什么为思考起点和沿着什么方向展开思维，都要注意两点：一是要注意问题目标的导向，思考的方向始终要朝着问题的目标状态展开；二是思维活动不能脱离数学问题所给定的条件，只能在问题的运算信息所允许的范围内进行。

3．实施问题解答实施问题解答就是将前面所制定的解题计划付诸实施，使问题达到目标状态。它要求学习者按照既定的解题思路有序地进行推导、运算、操作，直到得出正确的答案。这一步既是一个执行解题计划的过程，同时也是一个检验和修正解题计划的过程。解题时如果发现前面所制定的求解计划和解题思路不当或者不简便，应及时修正，以减少解题过程中的失误，使问题比较顺利地达到目标状态。

4．数学的建模

所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程。

数学建模的过程一般包含有若干个有着明显区别的处理阶段。

1）对于面临的实际问题，我们首先需要熟悉实际问题的背景知识、明确研究的对象和研究的目的。问题所依据的事实和数据资料的来源是什么。

2）辨别并列出问题有关的因素。通过模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用。以变量和参数的形式表示这些因素。

3）运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系。

5．问题解决后的论证

问题解决以后，学习者还应主动对自己的求解过程和结果进行检验与评价，看解题过程是否合理、简便，结果是否正确。如果发现错误，应认真分析错误的原因，并及时纠正错误，使问题获得正确答案。总结评价时应注意分析问题还有无其他解答方法、还有哪些新的方法，这样有利于学生养成从不同角度去分析和解决问题的能力及思维习惯。

总结评价是构成数学问题解决过程的一个不可缺少的步骤，它对学生反省解题过程，保证解题过程及结果的正确性，提高学生自我反思和评价能力都具有十分重要的意义。

二、数学问题解决的学习

问题是数学的心脏，问题解决是数学教学的重要内容与形式。数学学习的主要目标就是提升学生解决数学问题的能力。

（一）数学问题解决的含义

问题解决提出了一种新的教学模式，和过去一个定理一个公式地学习现成的数学真理的静态过程不同，它要求学生创造“自己的”数学知识，在和困难作斗争中探究数学真理，因而是动态的。

对于“问题解决”的含义，不同的学者有着不同的解释，归纳起来有这样几种情况。

1．问题解决是心理活动。问题解决指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。

2．问题解决是过程。“问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程。”

3．问题解决是教学类型。

4．问题解决是目的。学习数学的主要目的在于问题解决。

5．问题解决是能力。把数学用之各种情况的能力叫问题解决

上述解释形式上似乎不一致，但它们所强调的共同的东西为，问题解决不应理解为一种具体的技能，它是贯穿在整个数学教育过程中，应该为数学教育所体现的一条主线。问题解决为学生提供了一个发现、创新的环境和机会，为教师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。

根据目标或解决方法是否明确，可以把问题分为良构问题，非良构问题。大量现实中的问题都是非良构问题，非良构问题的解法不是唯一的，它常常与问题的背景相联系。Kilchener给出了解绝非良构问题的三种水平认知加工模型。

第一，一般认知，包括主体的评价、记忆、阅读、知觉等认知活动；

第二，元认知，包括主体的关于认知任务的知识，关于完成任务的特定策略以及使用这些策略的条件；

第三，认知论认知，是关于上述两种认知活动的认知，它包括主体的关于认知的有限性、确定性和相对性等认知特性的知识。

（二）数学问题解决中的解题策略

1．归类策略

归类策略。在解题时，理解题意过程中，解题者会将问题作出适当的归类，显然，这一策略的心理过程是问题表征和模式。归类策略有两个层面：表层结构进行归类、据问题的深层结构进行归类。前者指根据问题的事实性内容和表述形式等表面信息对问题做出分类。后者是指根据问题内在的数学结构进行分类，不仅包括对问题内在信息的分析，还包括对解答思路、方法和思维模式作出判断。据研究发现，数学家多按照解题的基本思维模式进行分类的，表现出深层结构的分类，而学生则是根据表层结构进行分类。

2．化归策略

化归策略。解决数学问题时采用最多的就是把问题转化的思想方法。具体的化归方法包括：一般化、特殊化、逐步逼近、分割化归、映射化归。其中映射化归又包括：恒等变换；几何变换、三角变换、参数变换、极坐标变换等。

3．算法策略

算法策略。即使用一套规则去解决问题的策略，如解一元一次方程或不定式、求导数等。算法策略还有“枚举”的涵义，即当问题存在大量的中间状态和算子时，解题者要把所有算子都列出来逐一检验，从而找到解题通路。

4．分类策略

分类策略。具体使用包括完全归纳法、分域讨论法等。

5．类比策略

类比策略。当两个数学问题间不存在抽象关系，但存在某种潜在关系（如表明概貌或内部结构等）时，则在解答其中一个问题时，往往可参照另一问题的解答方法或解答途径，这就是类比策略。

6．构造策略

构造策略。即是通过构造一种模型去解决问题的策略。模型可以是多种类型的，如函数模型、图形模型、三角模型、向量模型、复数模型、方程模型等。

7．逆向策略

逆向策略。采用这个策略往往能使不易解决的问题得到解决。如分析法、逆推法、反证法、举反例、公式或定理的逆用、常量与变量换位等。

三、新课程理念下的数学问题情境设计

传统的基础教育课程体系最大的弊端之一就是具有极强的功利色彩——一切为了选拔、一切为了考试，并由此走进了“应试教育”的死胡同；在这种教育体制下，教师不管情愿与否，也不管主动与否，最终会不知不觉地如专制的家长般可悲地走到学生的对立面上去发号施令。在把学生变成学习机器的同时，教师自己其实也已从“人类灵魂的工程师”贬职到－文不名的教书匠。面对课程改革的新形势．教师必须自觉地迎接新挑战。迎接新挑战，首先面临的是转变观念的问题。这次的课程改革绝不仅仅只是单一的教材改革，而是整个基础教育课程体系的变革。除了教学内容的改革外，还有教学方法的改革，教学模式、考试制度、评价制度、课程管理的改革等等。教师只有在真正弄清了这次课改的实质的基础上，才能避免穿新鞋走老路，才能结合自己的工作开展新课程的研究与探索。在这我浅谈一下对于数学教学中的情景设计的问题。

数学问题源于生活，同时又服务于生活。《数学课程标准（实验稿）》中指出：教学中不仅要考虑数学的自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生的生活经验出发，将教学活动置于真实的生活背景之中，将生活情境数学化，将数学生活化的融合，培养学生应用数学的意识。

（一）用生活情景“包装”数学问题

现代心理学认为：教学时应设法为学生创设逼真的问题情境，唤起学生思考的欲望，体验数学学习与实际生活的联系，品尝到用所学知识解释生活现象以及解决实际问题的乐趣。例如在七年级下册的《多边形》的学习中，为了让学生了解到如何用各种不同的地砖来铺满地面，我在课堂上让学生假设给自己的房间或者家里的房间来设计自己喜欢的地砖。在这过程中，学生利用不同形状的卡片来代替不同形状的瓷砖。在过程中，学生发挥了想象力，不只弄清了道理，还根据不同的适用人群设计了不同的风格，还根据不同的国家设计了：日本风格的，英国风格的等等。在这其中，可让学生体会到了数学同艺术的结合。让学生看到原来数学也可以有很美丽、很有用的一面。在学习平均数、中位数和众数时，如果单单只讲其概念，那会显得很生硬，在这堂课之前我先让学生经过调查收集了一些数据，然后让学生学会利用不同的数据来看待问题。使学生了解到并不是每一个问题都可以用同一种数据来看待。

（二）把数学问题“蕴藏”在生活的游戏中

在数学教学中有时会碰到一些对于大部分学生较为抽象的问题，这时候情景设计就更为重要。就像我们在生活中，如果遇到一个很抽象的东西，我们也是会先认识它跟我们生活中联系密切的一面。建构主义教学论原则明确提出：复杂的学习领域应针对学习者先前的经验和学习者的兴趣，只有这样，才能激发学习者学习的积极性，学习才有可能是主动的。将学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物作为教学活动的切入点，学生能迅速进入思维发展的“最近区”，掌握学习的主动权。学生喜欢游戏，把数学问题“蕴藏”游戏中，无疑是让学生乐学，爱学的最佳途径。例如在七年级下册《确定与不确定》这堂课中，要让学生掌握判断一类事件发生可能性的方法，并能设计符合要求的简单概率模型，我设计了一个“我们最有默契！”的游戏，请各小组从生活中搜集素材设计一些事件，再请你们的好友表示该事件发生的确定性与不确定性，比赛哪些同学最有默契！学生的思维非常活跃，设计出很多很有意思、有意义的确定和不确定事件：太阳一定是东升西落；在全班同学中任抽一个是女生；校第一届文化艺术节的歌咏比赛抽签我班抽得第五个出场；伊拉克战争中英美联军向萨达姆的30所官邸同时发射导弹，击中了萨达姆；等等，然后请他们的好友回答该事件的概率是多少。我发现在游戏进行过程中，被叫到的学生非常的兴奋，他们对于自己成为了他人有默契的好朋友非常高兴。整堂课学生抒发了自己对集体的热情，对世界大事的关心，还有对友谊的真诚。

（三）从生活中的现象中提取数学问题

《数学课程标准》在设立情感和态度的目标领域时，提出：能从现实生活中发现并提出简单的数学问题；能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。让学生对自然和社会现象的好奇心、求知欲不断旺盛成长，使学生对数学有一个较为全面、客观的认识，从而愿意亲近数学、了解数学、谈论数学，对数学现象保持一定的好奇心。而这颗“好奇心”正是每一个学生身上重要的素质，它将使一个人不断地学习，不断的得到发展，还可能使一个人走进科学的殿堂。由此，我根据教材设计相关生活的调查报告，引导学生注意身边的数学。比如：

1．在本届的文化艺术节的活动中，你们最喜欢哪些活动？在下一届的文化艺术节中你人为还可以增加哪些活动？

2．如果我们学校需要建造一个新的车库，请你根据调查结果设计方案；

3．对你周围你最感兴趣的一件事情进行调查，比如：学生喜欢喝什么牌的牛奶？学生最近比较喜欢哪几首歌曲？学校附近自选商场的客流量；班上同学的睡眠时间；还可以让有条件的同学根据调查情况，制作统计表，利用Microsoft office软件中的Excel工具制作统计图（要求用不同的统计图表示），并将其展示给其他学生，让学生从这些制作的统计图中，你可以得出那些结论？请作出解释，说说你的理由。

实践证明，方法是有效的。学生参与调查的兴致很高。学生的观察力、比较的能力和独立创新思维得到了显著地提高。为了在学生学习数学知识的同时，初步接触和逐渐掌握数学思想，不断增强数学意识，就必须在数学教学过程中加强实践活动，使学生有更多的机会接触生活和生产实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别。这样，学生培养养成留心周围事物，有意识的用数学的观点去认识周围事物的习惯，并自觉把所学习的知识与现实中的事物建立联系。这样让学生自己发现的问题富有魅力，对于提高学生应用数学知识的能力和增强学生的积极性都十分的重要。

以上仅是在教学中创设问题情境的点滴体会，事实上，创设问题情景的方式很多，不管用哪种方式来创设，只要在教学中贯彻了启发式的教学思想，激发了学生的学习信心，让学生积极主动地参与教学活动，这就是我们数学教学所应努力追求的目标。

经过一学年的努力，我发现学生的思维开阔了。在解决问题时，会主动地把他们和生活联系。课堂上遇到他们感兴趣时，孩子踊跃参加发言，学生在进行自主的观察实验或讨论时，教师并不是清闲的，他要积极地看、积极地听，设身处地地感受学生的所作所为、所思所想，随时掌握课堂中的各种情况，考虑下一步如何指导学生学习。在这种情感交融，和谐的气氛之中，也才能达到师生情感上的共鸣，才能建立一种新型课堂体制。

四、数学问题解决，体验成功教育

就学生对数学问题的解决，使学生体验到成功的快乐。当今社会竞争的日益激励，学生要适应这个环境，让学生受一定的挫折和困难也是必要的，但同时让学生接受成功的快乐更为重要，失败后的成功更让人回味无穷，所以，学生探索数学问题，解决数学问题，来感受问题解决的成功喜悦。

（一）成功教育的背景与数学问题的实践

上海闸北八中校长刘京海倡导的一种新的理论和方法，旨在使学习困难学生获得诸方面成功的一种教育。让学生感受到成功的快乐，能促使学生更有效发展自己的潜力。在平时的教育中，各种各样的挫折是学生无法避免的，有时也让学生刻骨铭心，而有时有意无意的成功却容易被教师、学生所忽视。怎样去克服这种被动局面？我以为让学生在数学问题的解决过过程中接受和体验学习的快乐，也是符合学生的心智发展。

1．成功教育的背景与数学问题的实践必要性：在数学问题的解决的过程中，无法避免地会遇到挫折，历经挫折和每一点成功，都是每一个学生的一种体验，令人欣慰。因而问题解决中教师对学生的鼓励、赞赏，能让学生感悟成功。

2．成功教育的背景与数学问题的实践时代性：当前的教育指向全体学生，人人发展，教育为学生的终身教育作准备和服务。在一系列的解决问题过程中，经受着失败的考验；同时也经历成功的交织体系。时代要求学生必须学会学习，即解决问题获取知识的能力，而一个个问题的解决的源动力之一是不断地成功，不会一直的失败，否则会失去学生学习的动力。

1980年美国数学教师联合会给第四届国际数学教育大会提交了一份纲领性报告：《关于行动的议程——关于20世纪80年代中学数学的建议》。这份文件明确地指出，“问题解决是20世纪80年代学校教学的核心”（第一条），“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环境”，“在问题解决方面的成绩如何，将是衡量数学教育成败的有效标准”。由此在世界各国掀起了以数学问题解决为主题的一系列数学教育改革和研究的热潮。我国数学教育工作者纷纷对此积极倡导和探索。张乃达先生指出“数学教育应该以解题为中心”，“解题教学正是达到教学目的的最好手段”；张奠宙先生在总结我国数学教育历史经验的基础上，认为“以问题解决为主导”是改革我国数学教育的突破口；张国杰先生也提出问题解决将对数学教育与数学学习、对改善数学差生、对中考高考试题的改革等显示出它应有的威力。所以研究和实施数学问题的解决有现实的意义。

问题解决的英文是problem solving，是心理学研究领域的一个老课题，不同的流派对它持有不同的观点。早期行为主义派别在研究条件反射时把桑代克的猫逃出迷箱和动物学会走迷宫称为问题解决。格式塔学派认为问题是完形上的缺口，强调顿悟式解决问题。1996年奥苏伯尔和鲁宾逊提出这样一个问题解决模式，把问题解决分为四阶段：1）呈现问题情境命题。2）明确问题目标与已知条件。3）填补空隙过程。4）解答之后的检验。

数学问题的客观陈述和解题者对问题客观陈述的理解，一般认为问题解决是一种以目标定向的搜寻问题空间（信息加工心理学根据个人的问题起始、中间和目标状态的不同把问题空间分成四种）的认知过程，这一说法包含四个要点：目标定向（必须有目标）、在头脑内或认知系统中进行（不包括动作技能）、包含一系列心理运算（不能过于简单）、个人化的（对于不同的人过程不同）。

一般来说，问题解决分为四步：问题表征、设计解题计划、执行解题计划和监控。在不同学科中，不同的知识在解题过程中作用也不同；专家和新手解决问题能力存在差异。加涅指出，最高级的智慧技能：高级规则可以通过解决问题来习得；创造——最终产生新的有社会价值的成品的活动或过程，则是解决问题的最高形式。而培养学生的创造力和创造精神，一直是教育所追求的目标之一方法解决问题。

数学问题的涵义，关于“数学问题”的定义概括为四种类型：1）数学问题是一种需要行动的情况（代表人物：波利亚、贝尔等）；2）数学问题是一种题系统（奥加涅相，戴再平等）；3）数学问题是一种情境（曹才翰等）；4）数学问题是一种集合（斯托利亚尔等）。通常人们采用的数学问题的定义是：对人具有智力挑战特征的，没有现成方法、程序或算法可以用数学的方法可以研究并能解决的问题。

数学问题解决的涵义，以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动或心理过程，是指人们在社会实践和理论学习中，面临新情境、新课题，而这些新情境与新课题用已有知识不能直接解决，并且自己没有现有对策、答案或解决方法时，所引起寻求处理问题的一种紧张心理活动。具有某种程度的创造性。

探索数学问题的解决过程中主要有二种形式：试悟与顿悟

（二）课堂教学中如何实施处理数学问题，让学生体验成功。

1．数学问题解决的目标正确定位，把握好体验成功的尺度

不同层次学生，采用合理的分层教学。不同学生解决问题的敏捷性、严密性、逻辑性不尽相同，学生对成功的渴望也不同，高中教学具有双重的任务，为高一级学校输送优秀人才和为社会培养合格的劳动者。教学目标的下限是达到会考合格的要求，对学生定一个目标，以达到目标，同时发展目标，超越自我，超越他人，不同水平的学生确定其达到的最近区域目标，学生往往能达到这一目标而获得成功，为下一步提出远景目标打下基础，准确地定位，提出的下一个目标，要有利于适合学生的各人的特点，由成功走向成功，转化成一个良性循环，不要形成学习过程中的反复失败而形成失败者的心态。成功教育就是帮助学生成功来强化学生学习动机的启动和形成学生学习的内部动力机制，以鼓励表扬为主的成功教育，适合于学生的心理特点，通过一次次的不断成功，提高了学生学习的积极性，从而为提高数学成绩打下基础，当然不同的学生对同一题有不同的期望，不同的问题对同一学生有不同的思考与反应。

2．教学中调整认知策略，调整教学要求和进度

为成功体验创设条件教学现状中对学生数学问题的解决有三种不利状况。其一：已经带过几届高考的老教师对有关知识能力和要求比较清楚，往往从高一起就主张一步到位，强调与高考接轨，因而往往起点要高一些。其二：年青教师，由于对教材不熟悉或对教材整体把握不够准确或因为研究教材缺乏力度，认为教材比较简单而进度较快或盲从老教师而加大难度，达不到教学目标或超纲等等。其三：普高一味地跟重点高中作参照，各类教学参考资料往往以重点中学作比照，学生因为参考资料常造成学习困难。因而要从学生较合理的认知角度出发，对学生调整教学要求和进度，同时教师也要提高自己的认知任务和认识现状。从学生的具体情况出发，不可盲目与盲从，要有的放矢。数学教学中对数学问题的解决是衡量学生的数学水平的一介重要指标，学生从所给出的问题情境中辨认出模式，是一个主动积极的思维过程，如何开展这个思维过程，并能有效地完成对问题的解答是一个难点，学生在解决数学问题，从已有的知识获取灵感与解题思路，需要平时的不断积累，所以作为教师，要调节好教学的进度，帮助学生创造出一个客观的学习氛围，一个循序渐进过程。教师的引导起一个重要作用，从各个环节抓起，重视学生的学习习惯的培养，能力的训练，从而完善数学问题解决的内部机制。让学生能充分感受在学习中获得成功的快乐。

3．教师宏观把握，学生具体分析，寻找成功的渠道

解决问题的起点是教师的引导开始，教师在宏观上加以把握，定好基调，让学生加入进来，到这条路子上来，把学生领进门，再让学生独立思考，教师的指导为学生创设学习的情境，启迪思维，引导方向，比如采用一种一石激起千层浪手法，提出一个问题，让学生提出数学问题来，再让另外的学生来解决，或教师提出一个方法，让学生对应内容来编出一些类似问题，采取分组交流等。

从学生的认知角度出发，层层递进，进一步来巩固函数单调性区间的求法。也体现学生的主动性与参与性，学生是学习的主体，从学生中来，到学生中去，学生也乐于接受，也感受到学习所带来的愉悦，体会成功之路并不复杂和艰苦，只要参与与努力是每一个人都能达到的，并不是不可逾越的。

4．实行“小步子”“多活动”，数学问题解决分步实施，让学体验成功之路

了解学生，从实际出发，要考虑学生对数学问题解决的习惯认识，学生对知识往往单列起来，然后再重组，这时小步走，有利于学生对知识把握，将新知纳入知识渠道，融入已知的知识体系中去。这种过程常常是对理论的认识和理解，通常还要结合图形来教学，图形较直观，易让学生理解，借助图形有利于问题的解决，直观教学也越来越受到重视，最后把数形结合起来综合分析，让学生感到对自己了解比较清晰，感到有这个能力去解决数学问题，当然跨出的一步只能是一小步。让学生找到对数学问题解决的信心。学生的每一个问题的解决都带有一定的创造性。不管是对是错、是简是繁都要合理地予以分析。高中数学教学中学生较缺乏活动，往往老师讲得多，学生活动少。新大纲中已经指出要加强学生的交流合作。所以多活动，让学生自己动手解决问题才是最终目的。往往学生对问题的解决多有一种自我激励作用。所以在活动中体现，在活动中感悟成功的喜悦。让学生从成功走向成功。

5．充分应用评价机制，激励学生对数学问题解决，使学生积累成功的经验

改变评价方式与机制，不是简单地以分数或等级制作定论。一次次测试、分数、等第的划分，常会伤及学生的学习动力。适当调整，如课堂中提问题，对学生的评价不能简单地说对、错。应加以考虑学生的具体情况及当时本身问题的情境。调查表明在大多数环境中，人是愿意接受表扬。即使有时的错误，也要态度温和才易让接受，因而面对学生更要多地加以表扬，尤其是在正确时，应充分抓住机会。激励学生勇敢、大胆地尝试对数学问题的解决和质疑。进行阶段性评价，这个阶段可以是学习过程时间上的阶段：如一个单元，一个章节的评价，也可以是解题过程阶段的评价，尤其上课提问，暴露学生思维过程中应加以适当评价鼓励。

如学生在参与知识形成的评价，在评价中学会实践。比如两个非零向量共线的充要条件中λ的意义是什么？方向？大小？

又如学生参与对错误解法的剖析，在评价中学会对思维的监控和反思；

如：将四封不同的信随机投入到3个不同的信箱中，试求3个信箱都不空的概率。

试看下面的解题过程并评价：

由于每封信都不得有3种不同的投法，因此事件总数为，“设每一个信箱都不空”为事件A，第一步从4封信中取出3封投入到3个不同的信箱中共有24种投法，第二步投剩下的1封是，与上共有，所以点评上述解题中的失误原因，在数学问题解决过程中评价，学会比较与优化解题方法等。