数学逻辑思维能力

第三节　数学逻辑思维能力

一、思维及其特点

（一）什么是逻辑思维

逻辑实践是人类所从事的各种活动的统称。天体的运行，火山的喷发，植物的生长，河水的流动……这些都是自然界中存在的运动、活动，但不能称为实践；鱼类的洄游，动物的迁徙，候鸟的南去北往……这些也不是实践。其原因，是因为这些活动中没有思维的介入和参与。

蜜蜂营造的蜂房，令人类最伟大的建筑师自叹弗如；但即使人类中最蹩脚的建筑师也比蜜蜂高明，其高明之处，就在于蜜蜂营造蜂房只是一种本能活动，而建筑师在真正建造房子之前，已经首先在大脑里把它建好了，这就是人类所独有的思维活动。

人类的实践活动可以分为三类：生产实践，社会实践，以及科学实践。在科学实践过程中所进行的思维活动，就可以称之为科学思维。

如果科学实践中有科学思维，那么是否社会实践有社会思维、生产实践有生产思维呢？并非如此。不论是生产、社会还是科学实践，都有思维活动的参与，都遵循共同的思维科学的规律。而所谓思维科学，也就是研究思维现象及其规律的科学。

不论从事哪一类实践活动，其思维的内容都是现实的、具体的，因而也是各个不同的；但就思维形式而言，只有三种基本类型：逻辑思维，形象思维，以及直觉思维。

1．定义

逻辑思维是在感性认识的基础上，运用概念、判断、推理等形式，对客观世界进行间接、概括反映的过程，是科学思维的一种最普遍、最基本的类型。

2．理解

（1）“逻辑”词源

“逻辑”一词，其最初的来源是古希腊哲学家赫拉克里特的“洛各斯”（λογοs）概念。赫拉克里特强调世界是发展、变化的，是永恒运动的，但这种永恒运动又是有规律的，（原话）这种规律，或者“一定的分寸”，就是“λογοs”。

但很有意思的现象是：从字义上讲，“λογοs”这一术语在希腊语中，既可以在“规律”的意义上使用，也可以在“概念”“言语”“词”“含义”的意义上使用。所以，“λογοs”这个词从它产生的时候起，就与“概念”“语词”等联系在了一起。

所以，逻辑思维也就是通过概念、语词，以及由它们所组成的判断、推理等形式，来反映客观世界的规律的方法。

（2）科研过程中，逻辑思维的基础是科学事实。

为什么定义中要强调“在感性认识的基础上”？因为逻辑思维作为科学思维的一种方法，要以科学事实为基础，在科学事实的基础上，运用概念、判断、推理等形式，去说明新现象，去推导出新结论。也就是说，逻辑思维方法要以科学事实为基础，而科学事实正是感性认识的结果。

（3）逻辑思维方法在科学研究中应用的广泛性。

逻辑思维方法是科学思维的一种最普遍、最基本的类型，因为科学事业作为一门最讲理的事业，不论是发现新问题，还是解释新问题，不论是论证，还是反驳，都要说理。所谓“摆事实，讲道理”，也就是说必须符合逻辑。思维的三种基本类型中，逻辑思维是最基本的；形象思维、直觉思维，最终都必须归结到逻辑思维上来。

3．种类

逻辑思维方法，可以分为形式逻辑思维方法和辩证逻辑思维方法。至于这两种具体的逻辑思维方法的定义，我们放到下面去讨论。

不论是形式逻辑思维方法，还是辩证逻辑思维方法，都要涉及比较、分类、类比；分析与综合；归纳与演绎；证明与反驳等方法。这些方法，都是逻辑方法所包含的内容。限于时间，我们这一章主要讨论分析与综合、归纳与演绎、以及类比方法。

（二）形式逻辑思维及其特点

1．定义

形式逻辑思维，是逻辑思维的初级阶段，它是从抽象同一性、从相对静止和质的稳定性方面去反映事物的。

2．理解

首先要理解什么是“形式逻辑”。顾名思义，就是指从思维形式上研究概念、判断、推理及其正确联系的规律。例如：

“所有的人都是要死的。

张三是人。

所以，张三是要死的。”

这是一个经典的三段论，涉及“人”“张三”“要死的”三个语词。其实人有男女老少、张三李四之别；死有饿死病死老死夭折等多种具体情况，这些都是具体内容。对这些内容，形式逻辑一概不管，它只分析这一推理过程从思维形式上讲是否正确，这就是形式逻辑。

当然，形式逻辑思维作为一种思维方法，尤其是作为一种科学思维方法，不可能只研究形式而不涉及具体事物等内容。但在具体的思维过程中，不考虑事物的发展变化，认为事物的性质是稳定的、不变的。它以同一律、不矛盾律和排中律为基本规律，以使用“固定范畴”为特点。

3．发展史

我们前面讲“逻辑”一词的起源时，曾提到“λογοs”的两种含义，其一是物质运动的规律，其二是词、概念、含义等。但到了亚里士多德集大成时，“逻辑”便只剩下“概念”“语词”这一层面的含义了。为什么呢？这与古希腊的社会现实是有关的。

由于诡辩的盛行，才有亚里士多德出而为论辩立法的行为；它所制定的论辩时必须遵守的规则，就成了古典的形式逻辑。

发展到17世纪末，自莱布尼茨开始，逐渐舍弃了词语这一内容，只用符号来表示思维过程——P（erson）→D（ead）、Z（hangsan）→P（erson）

∴Z→D。

这样，抛开语词，只用符号表示概念及其推导关系，即形成了一种新的逻辑，称为符号逻辑；又因为符号逻辑可以像数学公式那样去演算、推导，所以又称为数理逻辑。这些就是现代形式逻辑。

数理逻辑以研究推理规律为核心内容，是一门具有数学性质的工具性学科。它的主要特征是用一套表意符号（即人工符号语言）表达思维的逻辑结构和规律，从而把对思维的研究转变为对符号的研究。这种方法能够摆脱自然语言的局限，清除歧义性，从而构成象算术或代数那样严格的、精确的演绎体系。如今计算机科学技术的飞速发展，机器思维研究的大量研究成果，其逻辑基础和起点正是这里所谓的现代形式逻辑。

（三）辩证逻辑思维及其特点

1．定义

辩证逻辑思维是思维发展的高级阶段，它以使用“流动范畴”为特点，从形式和内容的统一上去研究概念、判断和推理等思维形式。

2．理解

形式逻辑只注重思维形式，相对说忽略了思维所涉及的具体内容。自从黑格尔把辩证法引入了逻辑思维，也就开始了辩证逻辑的发展史。

辩证逻辑思维的基本规律是对立统一规律，它以使用“流动范畴”为特点。

当然，从广义的范围看，科学抽象的结果，还包括科学判断、科学假说和科学理论。

二、分析与综合

整体（integration）与部分（part）的矛盾，是自然界中普遍存在的一对基本矛盾。作为思维方法的分析与综合，是人们在认识客观对象时，按照一定的认识目标而对对象实行的这样或那样的分解与组合。

（一）分析方法及其在科学认识中的作用

1．分析方法的定义

分析是把客观对象的整体分解为一定部分、单元、环节、要素并加以认识的思维方法。

也有的教材认为：分析是在思维中把经验材料、研究对象分解成各个部分、各个要素、各个层次，或把复杂的过程分解为各个片断，然后分别进行考察的一种逻辑方法。

2．理解前面曾强调过，任何事物都存在着部分和整体的矛盾。如“人”是一个整体，但事实上有头、颈、躯干、四肢几个部分构成；而分析就是把人这个整体分解为部分，了解其各个部分的结构、属性、功能，以便再度综合起来，达到对人的整体性的认识。如果不经过分解的过程，想清楚地认识“人”是不可能的。我们都知道，医学真正地走上科学化的道路，正是从萨维理操刀解剖尸体开始的；自此以后，医学才正式成为一门科学。这种把整体分解为各个部分的过程，就是分析。另外，在头脑中把整体中的某一方面、某一属性分离出来的方法，也叫做分析。

分析方法作为一种操作方法，主要是个“分解”的过程。这种分解有两种含义。

其一，是类似于解剖那样的分解。如把人这一整体分解为运动、呼吸、消化、神经等系统，然后每个系统再进一步分解，如消化系统再分解为口腔、咽喉、胃肠等器官，每个器官再进一步分解为不同的部分……这种分解或分析的操作，属于横向的分析。

其二，是类似于物理学中对物质结构进行研究过程中的分析方法，把多种多样的物质世界分解为各种各样的分子，分子再分解为各种各样的原子→原子核与核外电子→质子、中子→层子……这种分析操作属于纵向的分析。

3．思维方式上的特点

分析方法在思维方式上的特点，是通过认识对象的各个组成部分的属性，来认识对象内在的本质和整体规律。这种思维方式，包括三个基本要素：⑴把作为整体的研究对象分割成各个独立的部分；⑵深入剖析个独立部分的特殊本质，即各种属性及其规定性；⑶进一步剖析各部分之间的相互联系情况，以及相互作用的规律性。

通过对这三个要素的介绍，我们回过头再来理解分析方法。这是一种操作方法，或者一种具体操作的程序，但不是生理解剖那种操作，而是一种思维操作方法。前面所讨论的医学解剖操作以及关于物质世界基本结构单元的研究，实际上是一种实验操作，是解剖实验和物理实验，而不是分析；而分析方法则是指导、支配你如此去从事实验操作的思维方法。

4．分析方法的作用与局限

从科学发展的历史看，古代人认识世界的方法主要是笼统的直观，也就是说打眼一看，想当然地认为事物就是这个样子或那个样子，不求甚解。这种认识的结果，必然也是笼统而又含混的，虽然不乏天才的直觉，也就是说，古代文化知识的遗产中包含着能给人以启迪的各种思想火花，但“火花”毕竟不是“太阳”。古代的知识成果之所以不成其为科学的体系，主要是因为古代人不能深入事物内部去弄清它们的本质特征，因为古人还没有掌握分析方法。所以，对待古代的文化遗产，不论是《易经》、中医理论，还是古代希腊、印度、巴比伦时代的哲学遗产，从中寻取启迪是应该的，也是必要的，但把这些遗产奉为经典，战战兢兢不敢越雷池一步则大可不必，因为这些并不是科学的结论。

科学史上最早建立的科学体系，是欧几里德的几何学体系。但几何学从严格的意义上来说，并不属于自然科学，因为自然科学都是以某类自然事物、或某类自然现象为研究对象，而几何学以图形、线断为研究对象，更接近于数学。所以，最早建立的自然科学体系，应该是牛顿的经典力学体系。

我们知道，科学体系要建立在观察与实验的基础上，而人类历史上最早的系统观察，是对天象的观察（这与农业历法和占星术的需要有关），最早的实验是“炼金术”实验。但这两者并未使天文学与化学首先发展成科学，反而是力学现象的研究后来居上，最先建立了科学体系。其原因何在呢？

对于这一问题，我们在上一讲里曾结合科学抽象的具体形式——尤其是思想模型——进行过讨论；这里，我们再结合分析方法发展的历史，从另一个侧面予以探讨。上面已经谈到，在人类认识发展的初期阶段，认识自然现象的主要方法是笼统的直观，而认识与人类自身相关的现象的主要方法则是内省。在这种方法论体系下，对于从机械现象、化学现象、生命现象直至心理现象、社会现象这一谱系中，究竟何者为简单、何者为复杂的判定，与近代以分析方法为主的方法论体系不同。在古人看来，心理现象、社会现象是最为简单的，而机械现象相对而言则最复杂。所以，亚里士多德作为人类古代历史上最伟大的“通才”，其思想贡献更多地体现在哲学、伦理学领域，而在类似自由落体之类机械现象的认识上，却显得那么幼稚可笑。

但近代以分析为主的研究方法，却要克服古代人思维中笼统直观的特点，深入客观事物、现象的内部，去发现其本质规律，首先就需要把事物分解开来，这当然应首先拿那些最简单的事物现象开刀；而在近代人的思维方法体系中，最简单、最低级的运动形式正好与古人的看法相反，机械现象、力学现象反而成了最先拿来分解研究的对象。所以，对力学现象的认识最先得到突破，建立了最早的自然科学体系。

力学体系建立后，一方面为化学、生命科学、医学、心理学等科学体系的建立提供了范本，同时，分析方法在力学体系的建立过程中也得到了发展，人们的认识能力也相应提高了，这为更复杂的运动现象的分析研究提供了条件，于是才相继有了化学、医学等科学体系的建立。可见，在近代自然科学体系的建立过程中，分析方法确实立下了汗马功劳，没有分析，就没有近代科学。

运用分析方法在思维中对事物现象进行必要的分割，孤立地研究这些部分，的确能把认识引向深入，但这种思维方法也容易养成一种孤立、片面、静止地观察问题的思维习惯。正因为近代科学体系的建立对分析方法有很大的依赖性，所以近代自然科学与哲学都带有这种认识方法所特有的局限性，即形而上学的思维方式。

人们认识事物不仅要认识其各个部分，更要认识其整体。怎么认识整体呢？这就要用到另一种逻辑思维方法——综合方法。

（二）综合及其在科学认识中的作用

1．什么是综合

综合就是在分析的基础上，把对客观对象一定部分、单元、环节、要素的认识联结起来，形成对客观对象统一整体的认识的思维方法。

2．理解

综合是分析的逆过程，综合方法与分析方法是两种作用、方向完全相反的思维方法。两者都是思维操作方法，都是建立在整体与部分的矛盾之上。

必须强调的一点是，综合是在分析的基础上进行的，没有分析，就谈不到综合。当然，综合的目的是为了从整体上把握对象，但古代人认识世界的方法，也是从整体上去把握对象的，这是不是综合呢？不是，因为这种整体认识缺乏分析的前提和基础，所以只能称之为笼统的直观。

另外要注意的一点是：综合绝不是把事物的各个部分机械地凑在一起。综合必须“有所本”，有所依据，即事物各部分间的本来联系。

3．综合方法在科学认识中的作用

（1）综合是通向科学发现和促使理论发展的重要途径。

综合所导致的科学发现，与分析方法以及观察、实验方法不同。观察实验发现的是感性的事实，分析发现的是关于事物的部分、片段的抽象规定，而综合发现的则是事物的本质以及事物运动发展的规律。如德国医生迈尔随船赴印度考察时，曾根据船员静脉血颜色随外界温度变化的情况，写出了世界上最早的关于能量转化与守恒思想的论文，但只涉及到热功当量、机械运动中动能与势能的转化、气体分子内能的转化、电场与磁场能量的转化等一系列现象、事实都认识清楚后，才由开尔文爵士在综合的基础上正式提出了能量的转化和守恒定律。也只有这种建立在高度综合基础上的科学发现，才称得上是19世纪初自然科学三大发现之一。

至于理论体系的创立和发展，更是离不开综合。像生物进化论、量子力学、分子生物学等学科的创立与发展，都是在大大小小的综合基础上实现的。

（2）综合也是通向技术发明的重要途径。

与纯科学的发展相比，技术发展史上更少革命的色彩，因为技术成果一般情况下总是综合的产物。当今世界上技术更新的周期越来越快，但对比新旧技术而言，往往是革新的成分居多，而这种革新一般都是在综合既有技术要素的基础上实现的。核技术、航天技术、生物工程技术、能源技术、电子技术、通讯技术等等，无一不带有多学科理论、技术综合的色彩。

另外，作为题外话，要特别强调一下综合方法在当今科学界的特殊重要性。大家都知道，当今世界科学发展呈现出一方面分化与分工日益精细的特点，另一方面又出现了交叉、横断、边缘学科大量涌现的趋势。但科学一体化的趋势仅仅是露出苗头而已，离真正的一体化时代仍然相当遥远。分工、分化越来越细致，导致科学研究与可感知世界的距离越来越遥远，“只见树木，不见森林”→“只见树叶，不见树木”→“只见叶脉，不见树叶”。

爱因斯坦等曾极力主张建立具体科学理论的经济性原则，也就是所谓的“奥卡姆剃刀”原则。具体理论是这样，整个科学理论体系也应有类似的要求。时代在呼唤着亚里士多德、牛顿式的人物再次降生。但现代还能产生这样的学者么？现代人机械系统的研究能够为此提供帮助么？

（三）分析与综合的辩证关系

分析与综合是人们在认识客观事物过程中运用的两种思维方式，存在着相互联系、不可分割的关系。

分析把复杂的事物、过程分解为各个部分、片断，综合又把被分割的各个部分、片断联结为一个整体。客观事物与现象总是部分与整体、多样性与同一性相结合的有机整体，建立在这一基础上的分析与综合也必然是相反相成、对立统一的关系。具体表现在如下两方面：

⑴分析与综合互相依存、互为条件、互相补充。

离开分析的综合将是空洞的、无根据的，对整体的认识只能靠猜测、臆断并最终导致思辨，这种猜测、臆断和思辨的结论决不是科学；离开综合的分析，无论这种分析是多么精细、准确、可靠，也不可能自动上升为理论，也不能自动揭示事物的本质及运动发展的规律。这些零散的资料只能揭示事物某些方面的本质，只能说明个别现象。

⑵分析与综合相互转化。这种转化表现在两个方面：

首先，从科学认识的长远进程来看，这两种认识方法是不断交替更迭使用的。分析→综合（假说）→再分析（建言）→再综合（判决）

其次，就具体科学认识活动而言，分析与综合这一矛盾的两方面，其主次地位也是不断转换的。

三、归纳·演绎·类比

任何客观事物，都有一般和个别两个方面。我们说到apple，并不是指某一个特别的苹果，只有“the apple”才有这层含义。一个一个特别的苹果，我们称之为个别（individuality）；但每个苹果，不论多么特别，总具有那个使其成为苹果的东西，这种使一个苹果成其为一个苹果的东西，就是苹果的共性，我们称之为一般（generality）。同样地，每一个人作为“这一个人”，具有其独有的个性，是individuality；而作为“这一个人”，却又具有人的共性，这就是generality。任何事物，都是个别与一般的统一。

而作为科学认识的方法，有个别认识一般的思维方法，就是归纳；通过一般进一步认识个别的主要思维方法就是演绎；而通过个别认识个别、或者通过一般认识一般的思维方法，就是类比。归纳、演绎和类比，都是科学认识中最为广泛应用的逻辑思维方法。

（一）归纳及其在科学认识中的作用

1．什么是归纳

归纳方法是从大量个别事物中概括出共同本质或一般原理的逻辑思维方法，逻辑学上又称为归纳推理。

2．理解

任何事物都是个性与共性的对立统一体，这时归纳法的客观基础。归纳就是把隐藏在个性之中的共性的东西抽出来，挖掘出来；要挖掘，首先就必须有共性存在，如果根本没有共性，就无从挖掘，从而归纳也就失去了存在的依据。

由于个性之中有共性，任何个别事实中总包含着某种一般的东西，这就使归纳的结果具有了一定的可靠性；又因为个性总是比共性丰富，任何个别都不能完全包含在一般之中，因而归纳的结论带有较大或然性。

归纳推理由推理的前提和结论两部分组成。其前提是若干已知的个别事实，属于个别或特殊的判断和陈述；结论是从前提中通过逻辑推理而获得的一般原理，是普遍性的判断和陈述。

3．分类

（1）归纳法在科学认识中的作用与局限：

作用：⑴通过个别科学事实得出普遍性规律；⑵可以使经验性的科学事实上升为一般原理；⑶可以使范围较小的一般原理上升为更普遍的一般原理。

正由于归纳法能够带来科学发现，能够带来规律性、普遍性的结论，因而被称为“发现的逻辑”。

局限：结论的或然性；对归纳结论的检验是个近乎永恒的进程。

（2）历史上归纳方法的发展：

亚里士多的最先提出了两类归纳，即简单枚举归纳法和直觉归纳法。

真正把归纳引入逻辑学、使之在逻辑学中占有重要地位的，是17世纪初英国的培根。他对归纳方法和实验方法的倡导，使之成为“近代实验科学的始祖”。

归纳方法在近代有许多发展。如：穆勒提出了专门研究因果联系的“穆勒五法”；把分析方法与归纳方法结合，产生了旨在提高归纳结论可靠性的科学归纳法；逻辑实证主义把概率引入归纳过程，发展为概率推理；此外还有统计推理、合情推理等。

（二）演绎方法在科学认识中的作用

1．什么是演绎

演绎是从一般到个别的推理方法。

2．理解

“一般”等于已知的原理、定理、法则、公理，属于较大的类。

“个别”等于未知的特殊事物及其属性，属于较小的类。

演绎推理的基本形式是亚里士多德所提倡的三段论，一般有大前提、小前提、结论三部分组成。

3．演绎在科学认识中的作用与局限

（1）作用：

第一，演绎是建立科学理论体系的有效方法。（几何学，物理学）

第二，演绎方法也是逻辑证明或反驳的有力工具。（先演绎后检验）

第三，通过演绎也可以建立新概念、发现新的自然规律。如同时性的相对性。

（2）局限：

第一，演绎推理的结论原则上讲都包含在前提之中，所以提供的新知识极为有限，是创造性较小的一种逻辑思维方法。

第二，结论可靠性受前提制约，而前提的可靠与否，依赖于归纳方法或其他方法得出的一般原理。

4．演绎的发展历史

亚里士多德从语词角度，去探索思维的本质。但语词毕竟仍是一个复杂的现象，进一步发展，就需要抛开语词的局限。

笛卡儿作为与培根同时代的哲学家，更注重必然的知识体系（培根重视有用的知识体系），这一倾向经过霍布斯的发展，到莱布尼茨完成了演绎方法的第二次飞跃：用逻辑符号代表现象、思维单元，用加减乘除代表思维规律和方式，以至于逻辑争论从语词让位于笔和算盘。

而此后的符号逻辑、公理化方法等，则是演绎方法的新发展。

（三）归纳和演绎的关系

科学认识是归纳和演绎的辩证统一。

首先，演绎要以归纳为基础，归纳要以演绎为指导。演绎方法的大前提来自于归纳，所以演绎包含着归纳，没有归纳就没有演绎；同时，归纳要以演绎为指导，人们总是在一般原理的指导下对经验进行归纳的，从这个意义上说，没有演绎也就没有归纳。

其次，在科学认识活动中，归纳与演绎所起的作用不同。归纳概括经验性的事实，处于科学认识的经验层次，以观测到的实验结果为依据；而演绎方法主要用于建立必然性的知识体系，处于科学认识的理论层次。作为科学认识中两个阶段的两类认识方法，归纳的目的是确立科学认识基础的客观性，而演绎则保证构成科学认识基础的知识元件、要素间联系的必然性。

总之，科学认识的深化、发展，是在从个别到一般、再从一般到个别的不断震荡中实现的。

（四）类比方法及其在科学认识中的作用

1．含义

根据两类对象在某些方面的类似或同一，推断他们在其他方面也可能类似或同一的逻辑方法，逻辑学上也叫做类比推理。

2．理解

从个别到个别的类比推理

从一般到一般的类比推理

3．作用

（1）启发思想，开拓思路，形成假说。

（2）触类旁通，解释外推，为已有理论开拓新的应用领地。

四、数学逻辑思维能力的培养

逻辑思维是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是小学生数学能力的核心。因此，在小学数学教学中必须着力培养学生的逻辑思维能力。

（一）要重视思维过程的组织

要培养学生的逻辑思维能力，就必须把学生组织到对所学数学内容的分析和综合、比较和对照、抽象和概括、判断和推理等思维的过程中来。教学中要重视下列思维过程的组织。

首先，提供感性材料，组织从感性到理性的抽象概括。从具体的感性表象向抽象的理性思考启动，是小学生逻辑思维的显著特征、随着学生对具体材料感知数量的增多、程度的增强，逻辑思维也渐次开始。因此，教学中教师必须为学生提供充分的感性材料，并组织好他们对感性材料从感知到抽象的活动过程，从而帮助他们建立新的概念。例如教学循环小数时，可先演算小数除法式题，使学生初步感知“除不尽”。然后引导学生观察商和余数部分，他们会发现商的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，与此同时使之领会省略号所表示的意义，这样，他们可在有效数字后面想象出若干正确的数字来。这种抽象概括过程的展开，完全依赖于“观察—思考”过程的精密组织。

其次，指导积极迁移，推进旧知向新知转化的过程。数学教学的过程，是学生在教师的指导下系统地学习前人间接知识的过程，而指导学生知识的积极迁移，推进旧知向新知转化的过程，正是学生继承前人经验的一条捷径。小学数学教材各部分内容之间都潜含着共同因素，因而使它们之间有机地联系着：挖掘这种因素，沟通其联系，指导学生将已知迁移到未知、将新知同化到旧知，让学生用已获得的判断进行推理，再获得新的判断，从而扩展他们的认知结构。为此，一方面在教学新知时，要注意唤起已学过的有关旧知。如教学除数是小数的除法时，要唤起“商不变性质”“小数点位置移动引起小数大小变化的规律”等有关旧知的重现；另一方面要为类比新知及早铺垫。如帮助学生认识一个数乘以分数的意义，要在教学整数、小数时就帮助学生理解一个数乘以整数、乘以小数就是……使学生在此前学习中所掌握的知识，成为“建立新的联系的内部刺激物和推动力”。

再次，强化练习指导，促进从一般到个别的运用。学生学习数学时，了解概念，认识原理，掌握方法，不仅要经历从个别到一般的发展过程，而且要从一般回到个别，即把一般的规律运用于解决个别的问题，这就是伴随思维过程而发生的知识具体化的过程。因此，一要加强基本练习，注重基本原理的理解；二要加强变式练习，使学生在不同的数学意境中实现知识的具体化，进而获得更一般更概括的理解；三要重视练习中的比较，使学生获得更为具体更为精确的认识；四要加强实践操作练习，促进学生“动作思维”。

第四，指导分类、整理，促进思维的系统化。教学中指导学生把所学的知识，按照一定的标准或特点进行梳理、分类、整合，可使学生的认识组成某种序列，形成一定的结构，结成一个整体，从而促进思维的系统化。例如出示各种类型的循环小数，让学生自定标准进行分类，使之在学生头脑中有个“泛化——集中”的过程，以达到思维的系统化，获得结构性的认识。

（二）要重视寻求正确思维方向的训练

首先，指导学生认识思维的方向问题，逻辑思维具有多向性。

1．顺向性

这种思维是以问题的某一条件与某一答案的联系为基础进行的，其方向只集中于某一个方面，对问题只寻求一种正确答案。也就是思维时直接利用已有的条件，通过概括和推理得出正确结论的思维方法。

2．逆向性与顺向性思维方法相反，逆向性思维是从问题出发，寻求与问题相关联的条件，将只从一个方面起作用的单向联想，变为从两个方面起作用的双向联想的思维方法。

3．横向性

这种思维是以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，把问题变换成另一种情况，唤起学生对已有知识的回忆，沟通知识的内在联系，从而开阔思路。

4．散向性

这种思维，就是发散思维。它的思维方式与集中思维相反，是从不同的角度、方向和侧面进行思考，因而产生多种的、新颖的设想和答案。

其次，指导学生寻求正确思维方向的方法。培养逻辑思维能力，不仅要使学生认识思维的方向性，更要指导学生寻求正确思维方向的科学方法。为使学生善于寻求正确的思维方向，教学中应注意以下几点：（1）精心设计思维的感性材料。

思维的感性材料，就是指用以实物直观或具体表象进行思维的材料。培养学生思维能力既要求教师为学生提供丰富的感性材料，又要求教师对大量的感性材料进行精心设计和巧妙安排，从而使学生顺利实现由感知向抽象的转化。例如教学质数、合数概念时，先让学生写出几个大于1的自然数，在寻求其约数个数时，学生通过观察、分析、归纳后，可“发现”约数的个数有两种情况：一种是只有1和本身，另一种是除1和本身外，还有其他约数，从而便引出质数和合数的概念。

（2）依据基础知识进行思维活动。

小学数学基础知识包括概念、公式、定义、法则等。学生依据上述知识思考问题，便可以寻求到正确的思维方向。例如有些学生不知道如何作三角形的高，怎样寻求正确的思维方向呢？很简单，就是先弄准什么是三角形的高，“高的概念”明确了，作起来也就不难了。

（4）联系旧知，进行联想和类比。

旧知是思维的基础，思维是通向新知的桥梁。由旧知进行联想和类比，也是寻求正确思维方向的有效途径。联想和类比，就是把两种相近或相似的知识或问题进行比较，找到彼此的联系和区别，进而对所探索的问题找到正确的答案。

（5）反复训练，培养思维的多向性。

学生思维能力培养，不是靠一两次的练习、训练所能奏效的，需要反复训练，多次实践才能完成。由于学生思维方向常是单一的，存在某种思维定势，所以不仅需要反复训练，而且注意引导学生从不同的方向去思考问题，培养思维的多向性。

（三）要重视对良好思维品质的培养

思维品质如何将直接影响着思维能力的强弱，因此培养学生逻辑思维能力必须重视良好思维品质的培养。

1．培养思维敏捷性和灵活性

教学中要充分重视教材中例题和练习中“也可这样算”“看谁算得快”“怎样算简单就怎样算”等提示，指导学生通过联想和类比，拓宽思路，选择最佳思路，从而培养学生思维的敏捷性和灵活性。

2．培养思维的广阔性和深刻性

教学中注意沟通知识之间的联系，可以培养思维的广阔性和深刻性。例如教学分数应用题时启发学生联想起倍数应用题，教学百分数应用题时启发学生联想起分数应用题……这样可以调整和完善学生头脑中的认知结构：从几倍的“几”到几分之几的“几”，到百分之几的“几”，从而使之连成一个整体，不仅培养了学生思维广阔性，也培养了思维的深刻性。

3．培养思维的独立性和创造性

教学中要创造性地使用教材和借助形象思维的参与，培养学生思维的独立性和创造性。例如教材例题中前面的多是为学习新知起指导、铺垫作用的，后面的则是为已获得的知识起巩固、加深作用的。因此，对前面例题教学的重点是使学生对原理理解清楚，对后面例题教学则应侧重于实践，即采取放手让学生自己去思考、去做的方法，以培养他们思维的独立性。

教学中要重视从直观形象入手，充分调动他们的各种感官，获取多方面感性认识，并借助于形象思维的参与，加强对知识的理解和思维的发展，培养思维的创造性。