音乐中的数学

音乐中的数学

和声的魅力之源

合唱团成员一个人的歌声或许没有某些著名歌星那么具有诱惑力，但合唱团全体成员的美妙和声却带给人们那些歌星所无法比拟的独特魅力。

这种独特魅力的根源我们可以从数学中找到答案。和声是根据数学原理构成的和谐音符，所以听起来给人以美的享受。

纯律的原理

制定音程的方法有“纯律”和“平均律”两种。持万物皆数观点的毕达哥拉斯发现音程也可以用“数”来表示，也就是说，当两个弦的长度成正比时弹出的音和谐动听。

按原来弦的长度为基准，如果其他弦的长度为3/4的话，则会发出像“嘟”和“发”一样的4度音；如果其他弦的长度为2/3的话，则会发出“嘟”和“梭”一样的5度音；如果其他弦的长度为1/2的话，则会发出“嘟”和高一个8度音阶“嘟”一样的8度音。

空气振动产生的声音，振动越强，声音越大。而振动频率与弦的长度成反比，弦的长度越短，振动频率越快，声音也就越高。

主和弦“嘟—咪—梭”的频率之比为1∶5/4∶3/2，用整数来表示的话就是4∶5∶6属和弦“梭—西—来”和下属和弦“发—拉—嘟”的频率之比计算结果也是4∶5∶6。

通过音声组合制作出动人的音乐，从某种意义上讲与单调乏味的数学好像风马牛不相及，但通过音乐基础——音程理论的数学原理，我们可切身感受到“音乐是感性的数学，数学是理性的音乐”这句数学家西尔维斯特（Sylvester）的至理名言。可以说，“艺术之王”——音乐与“科学之王”——数学相互有着密不可分的联系。

天籁音乐

一度人们曾用行星运动来解释音乐中的纯律。开普勒第二定理认为太阳和行星的连线在相等时间内所扫过的面积相等。所以，距离太阳近的近日点公转角度比距离太阳远的远日点公转角度要大。

火星在近日点与远日点一天公转的角度用简单比来表示的话就是3∶2。据此，开普勒认为火星与5度音程有关；用类似的方法测得土星公转角度比为5∶4，据此推断与3度音程有关。鉴于各行星都有相对应的音程，所以开普勒认为，行星在运动过程中产生“天籁之音”。

平均律原理

平均律是为完善纯律的不足而产生的，目前广泛应用于以键盘乐器为中心的音乐领域。平均律是把一个8度音以半音音程分成12等份，因为高1个8度音的频率是原来8度音频率的2倍，所以两个半音程间的频率比为2开12次方≈1.0595。

平均律虽然混有协和音程与不协和音程，但所有大调与小调均为可形成演奏的实用音阶而且换调、转调方便。

巴赫数14、瓦格纳数13

被誉为“西方音乐之父”的德国音乐家巴赫对14赋予一种特殊意义。其理由很有趣，是因为如果A为1，B为2，则自己名字BACH所对应的数字计算结果为14。

B　A　C　H

2＋1＋3＋8＝14

另外，如果再加上名字前面的字母，则J.S.Bach对应数字相加之和为41，恰好又是14倒过来的数（在拉丁字母中没有J，所以用I代替J计算）。

J.　S.BAGH

9＋18＋14＝41

同时，将巴赫的姓和名Johann Sebastian Bach用同样的方式计算结果为158，如果把158的百位、十位、个位的数字相加还是14（1＋5＋8＝14）。说到这里大概可以理解巴赫为何如此偏爱14的理由吧。

说到巴赫偏爱14的理由还有一个有趣的故事。巴赫1747年加入音乐协会，比预想加入的时间晚了2年。原因很简单，他希望自己成为这个协会的第14名会员。

与14一样让他沉迷的数字还是84。84由巴赫数14与天地创造的基础数6相乘而得，巴赫的大多数作品都是由84拍节构成。据说巴赫还不时在自己作品的最后部分亲笔写上84，从中也可以看出巴赫对这个数字的特殊感情。

与巴赫偏爱14不同，音乐家瓦格纳喜欢13，甚至把它视为自己的数。瓦格纳的名字Richard Wagner由13个字母构成；把他的出生之年1813各位数相加也是13（1＋8＋1＋3＝13）；而且，瓦格纳去逝于1883年2月13日，他离开的那一天是13日，1883年的前后两个数字也是13。

不仅如此，瓦格纳还创作出《唐怀瑟》等13部大作；其代表作《唐怀瑟》完成于1845年4月13日，并于1861年3月13日在巴黎演出。

记谱法与电脑音乐

笛卡尔在17世纪发明了x轴与y轴构成的坐标平面，而音乐记谱法却始于10世纪的音乐理论家圭多·阿雷佐之手。在记谱法中，几个音符顺x轴排列，根据五线谱的位置，即y轴的高度来确定音的高低。可以说，数学的坐标平面与音乐的记谱法出自同一想法，不过较数学早7个世纪发明的音乐记谱法值得令人关注。

作为数学领域一部分的微积分学与电脑音乐也有相同的地方。电脑音乐是把电子音细化分解（analysis）与重新合成（synthesis）作为重要手段，这与数学的微分、积分有相似之处。

无调音乐与变奏曲

19世纪数学家希尔伯特与音乐家勋伯格在数学史和音乐史上各自做出了巨大的贡献。希尔伯特提出的新几何学概念把过去从自然世界中寻找数学改为从人类思维中创造数学，勋伯格则为摆脱大调和小调体系，创造无调音乐奠定了坚实的基础。如果说调声音乐忠实于自然倍音原理，那么，无调音乐则是人类通过思考创造的音声。从这一点看，与希尔伯特的几何学有异曲同工之妙。

以“嘟嘟梭梭拉拉梭”开始的莫扎特《闪烁的小星星》是著名的变奏曲之一。该曲基本旋律在不断发生变化且从始至终铺垫于曲的底部。不仅是变奏曲，在他的大部分音乐作品中基本旋律总是或原声不动、或变形后贯穿于整首曲子。

在对数学的许多定义中，有一个定义是“通过变化研究那些不变的性质”。从这一点看，可以说数学与音乐有着千丝万缕的联系。