美术中的数学

美术中的数学

透视法与投影几何学

中世纪是一切以宗教为中心的宗教鼎盛时期，即使在画幅上神也是高高在上，相比之下人却显得卑微渺小。

图16

但从文艺复兴时期开始，以人类为中心的思想（人文主义）渐渐兴起，人们开始用现实主义手法作画。像这样，人类根据客观事物进行作画的方法称之为“透视法”或“远近法”。

在数学里与艺术的透视法有关联的是“投影几何学”。正如图16所示，在用透视法作画时，从人的眼睛到所画物体呈直线连接，中间放置画布进行作画。

消失点与无限远点

在透视法中，为了表现远近，把三维平行直线画成可在“消失点”相交的二维画面。比如说，里奥纳多·达芬奇的《最后的晚餐》是利用透视法将耶稣基督的额头作为消失点的作品。

可能稍微难以理解，在投影几何学上，过去几何学所研究的空间都引入了一个点，这个点叫做“无限远点”。无限远点为相互平行直线公有的一个点，与艺术中的消失点相似。即使不懂投影同几何学或许多也能用透视法画出优秀的作品，但通过投影几何学使透视法拥有牢固的理论体系这一点是毋庸置疑的。

拿破仑时期的数学家蒙日（Monge）在法国陆军作战中发挥了重要的作用。在攻击敌人城堡前他总是要先了解城堡内部结构，根据士兵们从不同角度画回的城堡图进行综合分析，准确绘出城堡的结构图，这种方法成为“画法几何学”的前身。技术性的画法几何学由数学家彭赛列（Poncelet）体系化后发展为近代的投影几何学。

身为蒙日学生的彭赛列在战俘营里有了重新回顾和研究从老师那里学来的几何学的机会，他在监狱的墙上作图研究投影几何学，留下了许多珍贵的研究资料。可以说，画法几何学和投影几何学是战争留下的财富。

荷兰美术家埃舍尔

荷兰美术家埃舍尔（Escher）利用数学原理创作出许多独具匠心的极具魅力的作品。埃舍尔虽然没有机会学习高深的数学，但却以能准确描绘出几何学所具有的特殊图形和空间的错觉现象及在现实生活中不可能出现的场景而著名，尤其他为“镶嵌式铺装（tessellation）”作为美术的一种风格确定下来做出了巨大的贡献。

所谓“镶嵌式铺装”是指利用相同图案将平面或空间完全覆盖，不留缝隙。地面和墙壁上铺的瓷砖和马赛克就是镶嵌工铺装的典型实例之一。

镶嵌式铺装可通过按一定距离移动图形的“平行移动”、以一点为中心转动图形的“旋转”、犹如镜子反射一样颠倒图形的“反射”及平行移动与反射结合的“滑动反射”四种变换来完成。

爱尔罕布拉宫的镶嵌式铺装

提起镶嵌式铺装，最有名的还属位于西班牙格拉纳达的爱尔罕布拉宫。因著名古黄吉他曲《爱尔罕布拉宫的回忆》而远近闻名的这个宫殿，墙壁和顶棚的马赛克是给设计师们提供灵感的宝库。一些大公司每当制作新款围巾时都要派设计师前往爱尔罕布拉宫进行现场观摩，因为从那色彩缤纷的花色中设计师可获得设计灵感。

埃舍尔也被爱尔罕拉宫的魅力所深深吸引。据他在回忆录中的叙述，爱尔罕布拉宫是给他提供丰富艺术灵感的源泉。可以说，埃舍尔之所以热衷于镶嵌式铺装作品创作，爱尔罕布拉宫的影响起到了巨大的作用。

埃舍尔的作品《蜥蜴》是镶嵌式铺装与维数概念相结合的作品。在这部作品中，蜥蜴是从二维平面出来爬进三维立体，然后再爬回二维平面。底部采用了用相同形状覆盖平面的镶嵌式铺装方法，而且，书的旁边还有正十二面体。