建筑中的数学

建筑中的数学

金字塔的重心

与地上跑的汽车、火车不同，天上飞的飞机需要均衡调配人和货物，保持机体平衡，这一点非常重要。飞机机体是否维持均衡可通过重心位置来确认，其重心值则用与基准线的距离和各点作用力之和来求得。

据说飞机上的座位配置及货物装载一定要保持合适的重心，否则不允许飞机起飞。从这一点看，乘机时为了安全也最好不要随意调换座位。尤其那些小型飞机，如果随意移动座位很容易使飞机重心脱离规定范围，一旦发生这样的情况飞机将迫取消航班，重新调整座席。

有关重心的话题还与世界七大奇迹之一的金字塔有着千丝万缕的联系。木乃伊之所以数千年不腐烂得益于高超的防腐技术，不过也有人提出这与重心有关。埃及人坚信金字塔的重心可吸收宇宙的能量，所以把法老的木乃伊埋在了这里。

据说在金字塔重心位置放上锈蚀的剃须刀片后，锈迹竟会奇迹般地消失。对此许多人虽然不敢苟同，但其神奇作用或许真的存在。因此，利用这一点不少洗浴桑拿房都设立了金字塔体验室。

文物修复与外心

三角形除重心外，还有内心、外心、重心、旁心等四个中心（五心），其中三角形外心为通过三个顶点的圆中心。这一点在文物修复中起到了非常重要的作用。

图18

我们来举一个例子。砖瓦屋顶的房檐是由覆瓦构成的，新罗时代文物——人脸图案覆瓦为圆形（如图18），不过挖掘时外形遭到严重损坏。

为了修复这个文物，首先要找出它原来形状的圆的中心，即外心。在覆瓦四周确定三个点，连接这三个点形成一个三角形，找出三角形的外心并画出其外接圆，则可修复成原来形状的人脸图案覆瓦。

金字塔与地球相像？

重新回到埃及金字塔。埃及金字塔底面为正四边形，斜面是由四个三角形构成的四角棱锥，底面与斜面形成角度为51°52′，得出如此复杂的角度是因为决定金字塔高度和底面的正四边形一边事先已经被确定了下来。

金字塔的高度为146米，底面是一边为230米的正四边形（如图19）。如果正四边形周长（4×230米）除以高度（146米）的话，则结果近似圆周率π的2倍，这与从赤道测得的地球周长（2πr）除以地球半径r所得值几乎一致。对此，有人认为这是埃及人为了把整个地球装进金字塔而有意设计的，或许这是古埃及人的美好梦想吧。

图19

不过符合实际的解释更令人信服。当时，人们是从棕榈树或亚麻中提取出来的纤维作成绳子来测量距离，这种绳子一绷紧很容易被拉长，致使测量的距离不是很准确。为此，埃及人便利用事先知道半径的圆盘来确定金字塔的高度和底面的边长。将圆盘直径的2倍确定为金字塔的高度，圆盘周长为金字塔底面的一边，这样就会出现刚才上面提到的那个比例。

针对金字塔还有另一种解释。如果将干燥的沙子堆放起来的话，堆到一定高度会无法继续堆上去，而此时底面与斜面形成的角度恰好为51°52′。从中或许可以得出这样一个结论，金字塔底面与斜面形成的角度遵循了自然法则。

石窟庵的对称比

人们借旅行机会或许去过石窟庵和瞻星台，但知道那里隐藏着精妙数学比的人却不是很多。

石窟庵本尊佛像的面部宽度按当时使用单位为2.2尺，胸宽为4.4尺，肩宽为6.6尺，两膝宽度为8.8尺，脸、胸、肩、膝之比为1∶2∶3∶4，在这里成为标准单位的1.1尺是本尊佛像高度的十分之一。还有，佛国寺释迦塔1层底座的宽度与高度是大雄殿大梁与横梁的十分之一。在石窟庵和佛国寺出现的十分之一比例与古希腊文明时代思想家维特鲁威的著作《建筑十书》中提到的对称比相同。

维特鲁威认为建筑不仅要有强度和实用性，审美也很重要，建筑的美丽在于建筑物的各个尺寸符合对称比。事实上，对称比在人体中也可以找到。下颚至额头的脸部长度为身高的十分之一，手腕至中指尖的手掌长为臂长的十分之一。维特鲁威强调，正如人体呈如此精妙比例一样，建筑也应该遵循这一对称比例。

1200年前的新罗人不会知道维特鲁威的对称比例，但值得称道的是他们却已经意识到维特鲁威体现稳定性和审美性的对称比并在石窟庵上利用了这种理想的比例。

瞻星台的碑

在瞻星台的许多地方也能找到这种对称比。天障石的对角线长度、基石长度、瞻星台高度之比为3∶4∶5，这与中国古代数学著作《周髀算经》中的比例一致，也就是说，瞻星台的比例3∶4∶5是3²＋4²＝5²直角三角形三个边的比例。

毕达哥拉斯定理，即“直角三角形斜边为一边的正四边形面积与两个直角为一边的两个正四边形面积之和相同”已在《周髀算经》中的“勾股定理”有了介绍。

《周髀算经》将“勾（底边）3、股（高度）4、弦（斜边）5”定理只用简单的一张图进行了证明，这个证明比毕达哥拉斯定理中的任一证明都简洁明了，而且比毕达哥拉斯早了500年。

帕特侬神殿与维纳斯像黄金比

黄金比自古希腊时期就被视为最稳定、最美丽的比例。希腊帕特侬神殿正面宽度与高度之比正是黄金比，米罗的维纳斯像也有很多黄金比。

以肚脐为基准上半身与下半身之比为1∶1.618。就上半身而言，头顶至脖颈与脖颈至肚脐的距离之比还是黄金比。在下半身，脚趾至膝部与膝部至肚脐距离之比仍为1∶1.618。

黄金比是指长的部分与短的部分之比和整体长度与长的部分之比相同。用方程式表示这种关系，然后求解这个二元方程式即可得出这个比大约为1.618∶1，用黄金比分割称为“黄金分割”。

毕达哥拉斯学派的象征

如果画出连接正五边形顶点的五个对角线，则在里面会出现五角星状的图形（如图20），毕达哥拉斯学派发现在这个五角星里有许多黄金比。

图20

正五边形的一边与其对角线的长度比为1∶1.618，各对角线将其他对角线同样分成黄金比。这一惊人发现使毕达哥拉斯学派将正五角星视为自己的象征。

贝多芬的巴托克的音乐

在贝多芬的第五交响曲《命运》第一乐章里，“当当当—当—”的主题曲曾出现过三次：在开始和最后部分出现第一次和第三次，而第二次则出现在黄金分割点。在第二次出现的主题曲前为377节拍，然后为233节拍，377与233之比为1.618∶1，接近黄金比。

巴托克也是在曲的高潮部分使用了黄金分割，甚至在一个节拍内的旋律结合上也用了黄金比。综上所述，黄金比不仅广泛应用于建筑、雕刻，甚至在音乐中也有它的身影。

人类本质的审美观

在分割某一物体的长度时，如果选择正中央略显呆板和正统，如果一部分比另一部分长很多，则显得变化太大，有种激进的感觉。

在折衷这两种情况、使感觉变化不明显的过程中，也许会不经意间接近黄金比。也就是说，即使不是有意使用黄金比，但是在按照直观寻找稳定比的过程中也会自觉不自觉地接近黄金比。从这一点可以看出，黄金比符合人类普遍的审美观点。