奇妙的数字
数字花絮
十个阿拉伯数字，像五彩缤纷的花絮。四种运算符号＋、－、×、÷，如变幻多姿的魔棒。数字与符号的组合分化，则构建一道道迷人的风景线，它牵动着多少智者的神经，激荡起几多想像和思考。
一代代人的耕耘培育，使数学园地繁花似锦，光彩夺目。这里的每一个数字都是一朵彩色的花瓣，这里的每一道问题都诱发出迷人的魅力。一些题隐去了数字，只呈现一片虚幻的空白。每一块空白又都是一个等待回答的问号，扑朔迷离，直令人魂牵梦绕。
再没有比“悬念”更能激发思考了！空白虚幻之中却又隐藏种种技巧。数字趣题虽没有像应用题、故事或游戏趣题那样的事件、情节，往往只透露一点点信息，却要求从已知的点滴信息中，推出它的整体面貌。它像一团雾，像一个谜，虽然一时看不清，抓不住，却又有着实实在在的答案。这样，就更加激人深思，引人思考。一经入目，必欲弄个水落石出。
数字趣题中，有的是在一个算式中只保留部分数字，而将另一些数字隐去，只用“□”、“☆”或其他文字符号来替代。要求根据已有的数字，运用分析、推理，将被隐去的数字复原，使算式完整，成立。这种趣题，在我国古代称为“虫蚀算”，意思是，本来很完整的算式，被书虫啃蚀了，因而，数字便残缺不全。有的只提供一些数字，要求添加运算符号或巧妙组合，使它们符合规定的条件。
有的是通过数字的排列组合出现一些奇妙的有规律的现象。如幻方、数阵，它们纵横或周边，在同一直线上的各个数字之和，都为同一数值，奇幻迷人。
数字趣题，依其表现形式，常见的有以下数种：
1．竖式谜
2．横式谜
3．填空谜
4．幻方
5．数阵
解数字谜，要根据四则运算的法则、规律，对照已知条件，理清数与数间的内在联系，先易后难，由此及彼，使被隐去或要求填写的数字，一个一个地暴露出来。从而拨开迷雾，显出“庐山真面目”。幻方和数阵的制作，则更有一套独特的方法。
解数字趣题，如同侦察员破案一样，开始如理乱麻，渐渐便理清线索，继而顺藤摸瓜，最终便真相大白了！
竖式谜
在加、减、乘、除四则运算中，比较复杂的题目，都要先列竖式进行演算。
常见的竖式，都是单纯的求和或差，或积或商。竖式谜，却只提供不完全的条件。有时给出几个或一个数字，隐去了其他各数；有时一个数字也没有，只用“□”或“★”等特殊符号，把竖式的框架显示出来。
这种竖式看上去像一团迷雾，扑朔迷离，简直是个没解开的谜。只有熟练算法、算理，根据已提供的点滴信息，分析、推理，顺藤摸瓜，才能使一个个隐去的数字重新出现。
解加、减法的竖式谜，主要根据进位、退位情况，进行分析、判断。乘、除法，除了考虑进、退位问题，还要根据乘、除法的法则，认真推敲。一般要先将容易找出的数字填出来，这样，未知数的范围便越来越小，最终便可找出全部隐藏的数字。
解数字谜，如同侦察员破案一样，新奇、有趣。
例1解：加数都是两位数，从第一个加数个位是5与和的个位数是9，可以推断第二个加数的个位数必定是4。即5＋？＝9。从和的百位数与十位数是18，可断定，两个加数的十位数都是9，这样，谜便揭开了。
例2解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是7、5，而和的个位却是8，肯定是进位造成的。从7＋5＋？＝□8，可判断另一个加数的个位必为6，十位上5＋□＋7＝□7，可断定：□加上个位进上来的1是5，去掉进上来的1应是4。百位上2＋□＝6，可知：□＝4，去掉进上来的1，□＝3。
例3解：这个减法算式，只告知了减数是1，被减数、减数都不知道！全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。但是认真分析一下减法算式各部分的数位，便可以找到突破口。被减数有四位，减去1后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。那么，什么数减去1需要向高位借数呢？只有“0”！而最高位退1后成了0，表明被减数的最高位就是“1”。这样，就可以断定被减数是1000。知道了被减数和减数，差就迎刃而解了。
例4解：个位上，被减数是7，差是6，可知减数是1。十位上，减数是8，差是9，可知被减数必小于8，借位后才使差比减数大的。那么，？－8＝9，可知被减数十位上是7。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是9，从而断定，被减数的百位上是0，千位上必定是1了。
例5解：这是个三位数与一位数相乘的算式。被乘数只知道十位数是2，积只知道个位数是2，乘数是7，其余都是未知数！但是从个位的一个数与7相乘，积的个位数是2，可推断被乘数的个位数只能是6。6×7＝42，十位上进4。被乘数的十位数是2，20×7＝140，加上进位的4，积的十位应是8，进位1。从积是三位数，可断定被乘数的百位数必为1（因为若大于1，积则为四位数了！），1×7＝7，加上进上来的1，积的百位数便是8了。
例6解：这是个四位数与两位数相乘的算式。从乘数的个位数9和部分积个位是7，可推知被乘数的个位是3，进2。据此，推知被乘数的十位是8，8×9＝72，加上进位2，才符合积的十位数得4的要求。再根据积的百位数是5，推知被乘数百位是2，2×9＝18，加上进位7，得5，进2。继而推知被乘数千位是5，5×9＝45，加上进位2，才可得积的千位数7。
从被乘数是5283和第二部分积中的5，可以推断乘数的十位数，因为被乘数的前两位是5、2，经过尝试，乘数的十位数只能是3。
至此，其他各数字，便容易得出了。
例7解：为了分析，我们将题中的关键位置用字母标出。
算式中，只有被乘数与2的积是四位数，与A、B的积都仍是三位，从而断定A＝B＝1。以此为突破口，再追寻其他。
其中，部分积D与完全积中的C，也很明显是1。D由“□×2”得来，最大的一位数乘2也只能进1。由D＝1，断定C＝1。
知道D＝1，“D＋E”又进位，推断E不是8必是9。如果E是8，则F非6即7，但是F＋8＝9，所以E不可能是8。
部分积“GH□”和“E8□”都是被乘数与1相乘得到的，所以，E＝G＝9，H＝8。
知道了H＝8，从“8＋K＝□2”断定K＝4。K是被乘数与2相乘得到的，乘2后积的尾数是4的只有2或7。
再通过一些试算，算式中的数字，便一个个都推断了出来。
例8解：在乘法中，积的位数估算方法是：看被乘数与乘数首数相乘的积：
首数相乘满10时：
积的位数＝被乘数位数＋乘数位数
首数相乘不满10时：
积的位数＝被乘数位数＋乘数位数－1
本题是三位数与两位数相乘，积为四位数。可知，属首数相乘不满10的。由此断定，被乘数的首位是1。再由两部分积首位相加不进位，断定被乘数的十位数也只能是1。被乘数的个位数，则根据积是四位数，参照乘数的十位数8，相乘后，部分积的首位不能满10，断定必是2。
例9解：这个除式中，除了告知商中两个数字外，其余的全是未知数！初看很难。但是，当认真观察全式后，便可发现线索：除数是两位数，与商的首位相乘，其积是三位数，而与商中的8相乘，则积是两位数了，从而可断定：①商的首位是9；②除数的首位是1；③除数的个位数字，一定小于或等于2。因为，1□中个位若是3，与8乘积就是三位数了；个位若是1，与商的首位9乘，又不是三位数了。可知，必为2。即除数是12。
再看商的十位数。从商98□7，对照除式是落下一位不够除的，才连落两位数，这样，又可断定，十位上的商是0。
已经知道了除数和商，被除数便是：12×9807＝117684。
例10解：首先要找出解题的突破口。
从余数是0，表明商与除数相乘得138，即“2□×6＝138”，一个数乘6个位是8的只有3和8，但是2□方框中若是8，便不合题意，因为28×6≠138。
确定了除数是23，23×6＝138，则被除数的个位数也必是8。
再从商的十位数□与除数23相乘得184，即23×□＝184，可知商的十位数也是8。
商的百位数已知是1，与除数23相乘仍是23，从首商差的数字是19，可推断被除数的首位数字应是4。
例11解：这是除数是三位数的除法。
商的百位是1，它与除数相乘的积个位是5，可知除数的个位也是5，即除数是215，从而可知第一次相减余55，拉下9，得559。被除数的千位数必是7。
再看559被215除应商几呢？从相减余下9，可知商的百位数是2。余129，再拉下0，继续除。
除数215的多少倍是1290呢？从而又确定了商的个位数是6。
例12解：这道题被除数是六位数，除数和商都是三位数，这么复杂的除式，知道的数字只有一个8，要将那些隐去的数字都找出来，就要有侦察员破案的精神。
从除数与8相乘的积是三位数，而除数与商的百位和个位相乘都得四位数，说明商的百位和个位都比8大，那就只能是9了。
即完全商是989。
从除数乘9得四位数，断定除数百位是1，否则与8乘也是四位数了。
同理，商的十位数也必须比较小。经对照商与乘积关系，反复尝试，确定了除数是112。这样，其他各数便不难推断了。
例13解：这是一道六位数除以两位数，商是四位数的除法算式。整个算式中，只知道商的末位数字是5，要我们把全部数字都找出来，真是个难解的谜！从何处下手呢？
首先要认真观察算式特点，由易到难，顺藤摸瓜。一般都是从除数、商与被除数的关系进行推导。
在除法中，余数必须小于除数，落下被除数中的一位后，仍不够除，必须在商的空位上补0。由竖式特点，可判定商的百位数是0。
商的千位数是几呢？从商的百位数是0，可推断，被除数的首位数和第一次余数的首位数必定是1，由此，又可推断，如果除数是11，商的千位数是9，如果除数是99，商的千位数是1。因为三位数减去两位数，余数是1的，只能是100－99，而从除式的末尾看，商与除数的积只有两位数，除数若是99，那么与商的末位数5相乘，便是三位数了！所以，除数只能是11。
同样，根据除式的特点及已推知除数是11，可断定，商数的十位数也是9。
这样，整个算式便可恢复原状了。
例14解：这道小数除法算式中，竟然连一个已知数都没有。但是却要求根据算法、算理把全部数字都补上去，真是奇妙！从哪里寻找突破口？
我们知道，小数除法最后一个不完全积的右端必有若干个0，这是它与整数除法的特殊之处。这就决定了它的商和除数的最后一位数字，必然为一个是5，另一个是偶数，否则，它们的积，便不可能是整十、整百、整千……了。
从这道式的特点看，商的十分位是0。首次商后的余数，数字在1～9之间，若不考虑小数点，补0后为100～900之间。定下这个数之后，便可进一步分析除数和商的末位数了。
除数是三位数与商的末位相乘得整百的数只有：125×4＝500，225×4＝900。
如果除数是125（实际是1．25），则被除数是130（实际是1．25＋0．05＝1．3）。
如果除数是225（实际是2．25），则被除数是234（实际是2．25＋0．09＝2．34）。
经检验，这两种情况都符合题意。
横式谜
横式谜比竖式谜更为复杂、迷人。
竖式谜只是四则运算中的一种，横式谜则常把加、减、乘、除四则运算贯穿在一个题目中，有着更大的灵活性。
解横式谜，不能孤立地只看一数一式，必须兼顾上下左右的联系，使所填数字适应整体要求。
例1将0、1、2……9这十个数字，不遗漏，不重复，分别填入□中，组成三道算式：
□＋□＝□
□－□＝□
□×□＝□□
解：这类问题，虽然要多作尝试，但也要找准突破口，否则，胡乱尝试，费时费功也难找到正确答案。
这道题，首先要确定0的位置。经分析，前两式不可能含0。0只能在第三式的积中。两数的积含0的有：2×5＝10，4×5＝20，6×5＝30，8×5＝40，共四道算式。这样，就把尝试的范围大大地缩小了！
经验证，如下填法可符合要求：
7＋1＝8
9－6＝3
5×4＝20
例2 将1～9九个数字，不重复，不遗漏，填入下列式中的□，使等式成立。
□□÷□＝□□÷□＝□□÷□
解：全式中含有三道算式，都是两位数除以一位数，解题应从商入手。商只能是一位数，若是两位数，则重复的数字太多，三道算式便不能把1～9九个数字都包括进去。
这样，只能从商是2～9各式中去尝试、筛选。
商是2 商是3 商是4 商是5
18÷9 27÷9 36÷9 45÷9
16÷8 24÷8 32÷8 40÷8
14÷7 21÷7 28÷7 35÷7
10÷5 18÷6 24÷6 30÷6
15÷5 20÷5 25÷5
12÷4 16÷4 20÷4
12÷3 15÷3
商是6 商是7 商是8 商是9
54÷9 63÷9 72÷9 81÷9
48÷8 56÷8 64÷8 72÷8
42÷7 49÷7 56÷7 63÷7
36÷6 42÷6 48÷6 54÷6
30÷5 35÷5 40÷5 45÷5
24÷4 28÷4 32÷4 36÷4
18÷3 21÷3 24÷3 27÷3
12÷2 14÷2 16÷2 18÷2
从这一些算式中，按照要求进行分析，把式中含有重复数字的式子全部剔除，余下的式子若符合条件，便是正确的解。
我们发现，只有商是7或9的有符合要求的算式。即：
21÷3＝49÷7＝56÷8
或：
27÷3＝54÷6＝81÷9
例3 在下列式中，每个□内填入一个大于1的数字，使等式成立。
［□×（□3＋□）］2＝8□□9
解：可采用“层层剥笋”的方法，逐步缩小谜底的范围。
把方括号内看作一个数，此式便成为：一个数的平方是四位数，这个四位数是八千几百几十九。
我们知道，在乘法中，被乘数与乘数的首数相乘满十的，积的位数＝被乘数位数＋乘数位数。由此，缩小了方括号中数的估算范围。
经试算，能满足等式右端条件的完全平方数只有93，即：932＝8649，从而断定：方括号内的数必须是93。
再分析方括号内各□应填的数。
把小括号看成一个数，则是□×□□＝93，93分解成因数相乘是3×31，可知小括内的数和应为31。由“□3＋□＝31”，可推知是23＋8。这样，全式便破译出来了：
［3×（23＋8）］2＝8649
例4 将1～8八个数字，分别填入下式□内，使全式的值最小：
□□×□□×□□×□□
解：这是两位数相乘的算式，要使相乘得的积最小，必须使各数的高位数字尽可能小。
根据这个原则，填写的顺序应是：
从左至右，先将1、2、3、4填在各个数的十位上，再从右至左，将8、7、6、5填在各个数的个位上。最后便得到：
15×26×37×48
例5 将1～9这九个数字，分别填入九个□内，使算式的值为最大。
□□□×□□□×□□□
解：要使乘积最大，同样，要遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则。据此，可先从左至右，在各数的百位上分别填9、8、7，再从右至左，在各数的十位上填6、5、4，最后再从右至左，在各数的个位上填3、2、1。结果得：
941×852×763
填空谜
例1 把4、5、6、7、8、9、10、11八个数，分别填在等号两端的□里，使等式成立。
□＋□＋□＋□＝□＋□＋□＋□
解：因为等号两端各有四个数，只要它们的和相等，等式便能成立。题中八个数的总和是60，则等号两边的四个数的和应各为30。这八个数还有如下特点：4＋11＝15，5＋10＝15，9＋6＝15，7＋8＝15，只需把这四组数两两一组，或将每一组的两个数分开于等号两端即可。因此，填法有：
（1）4＋11＋5＋10＝9＋6＋7＋8
（2）4＋11＋6＋9＝5＋10＋7＋8
（3）4＋5＋7＋8＝6＋9＋5＋10
例2 0．25、0．75、22．5、______、______。
解：这类题的各个数间都存在一定的相互关系，并不是彼此孤立毫无联的。它们都隐含着递增、递减或倍数关系。要认真地观察、分析，找出其中的规律。
本题的各数，愈向后愈大，而且相邻两数间，后一个数总是它前一个数的3倍。发现这个规律后，往后的数便可很容易的填出来了。
即：6．75（2．25×3）、20．25（6．75×3）
例3 0、1、1、2、3、5、8、______、______。
解：这道题初看似无规律：数字虽然逐渐增多，但增多的部分并不相同，又不成倍数关系。仔细分析后，便可发现：后面的数总是它前面两个数的和，这样，问题便迎刃而解了。接下去应填：13（5＋8＝13）、21（8＋13＝21）。
例4 解：每个分数的分子都比分母大，而且差数都是3。因此可推断最后一个分数的分子是23＋3＝26，即“？”处应填26。
例5 解：每个图中，上端的数是被除数，下端的两个数是除数和商。因此，？＝63÷9＝7。
例6 解：这类题必须仔细观察，反复分析，才能发现共同的规律，否则，把部分数间的关系当作共同特点，便误入歧途了。本题对顶的两个数间存在共同规律，即较大的数都是较小数的2倍。题中不存在小数，因此，与19相对的数应是19×2＝38，即：？＝38。
例7 解：这三组数，初看毫无联系。实际，每组数的第一个数都是第二、三两个数和的2倍。即：
36＝（15＋3）×2
24＝（5＋7）×2
据此，？＝（13＋8）×2＝42
例8 请你把27、32、50、72各分成任意的四个数，将分成的四个数分别填入各个括号中，使等式成立。
（1）分解27：（ ）＋2＝（ ）－2＝（ ）×2＝（ ）÷2
（2）分解32：（ ）＋3＝（ ）－3＝（ ）×3＝（ ）÷3
（3）分解50：（ ）＋4＝（ ）－4＝（ ）×4＝（ ）÷4
（4）分解72：（ ）＋5＝（ ）－5＝（ ）×5＝（ ）÷5
解：这类问题假如全靠尝试是十分麻烦的。分解成的四个数，分别填入四个括号，各式得数要相等，四个数的和还必须等于原数。
怎样分解原数便成了关键！
从乘式入手，从最小的数1试验，而后再调整。以（1）为例，若乘式填1，则全式仍保持相等就成了：
（0）＋2＝（4）－2＝（1）×2＝（4）÷2
式子虽成立了，但是分解的四个数和为：0＋4＋1＋4＝9，是27的三分之一！所以，乘式原来填的1太小了，应再扩大3倍，这样再保持等式成立，便成了：
（4）＋2＝（8）－2＝（3）×2＝（12）÷2
各式的结果都等于6。
分解的四个数和是：4＋8＋3＋12＝27。
其他各题，读者自己填填看。
例9 找出头、脚数字间的规律，把“？”换成数。
解：寻找数字间的内在关系，可以把每个图作为独立的个体，考察头、脚间三个数的内在联系。也可以把三个人当作一个整体，考察数字的演化过程，用数字间加、减、乘、除，找出存在的共同规律。
若从头上的数字变化，仅三个人5→4→？看不出规律。经尝试，每个人“头上”的数，都是“脚”上数字和的一半。可知“？”是（2＋8）÷2＝5。
例10 将“？”填上合适的数：
解：头手共三个数。
若把三人当作整体，仍看不出头上数的变化规律。把每个人当作独立的个体。经尝试，前二人头上数的规律为：中数为两边数的差。从而可知“？”应填上“2”，即5－3的差。
例11解：第一人头手三数是19、21、23。
第二个人头手三数是71、73、75。
都是连续的三个奇数。第三人手中的两个数也是奇数，可知“？”应填“5”。
例12解：小动物的四条腿和尾上都有数字。共五个。要我们求解的是尾上的数字。应考虑尾上的数可能是由四条腿上的数字而来。
通过多方尝试，第一个动物中，前两腿中两数和与后两腿中两数和相减，差为5。即：（8＋6）－（4＋5）＝5。可知后一动物中，？＝（3＋9）－（4＋2）＝6。
例12解：小姑娘的头、手、足共有五个数字。头上的数字很可能是其余数字的计算结果。
经检验，两手数字和与两足数字和的差，恰为头上数字。
可知：？＝（4＋15）－（13＋3）＝3
例14解：三角形内角三个数的和恰为中心数。可知？＝9＋8＋1＝18
幻方
例1 将1～9九个自然数，空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。
解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调，最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。
幻方的神气奇有趣，还不仅仅表现在纵、横、斜和为15，它具备的许多奇妙特性，人们尚未充分认识。
例1 将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。
解：具备题中特征的称为“反幻方”。
据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，后一个由内向外转。
这使我们想到古代的回文诗。
莺啼岸柳
月明弄
夜睛春
这是一首联珠顶真的回文诗，自外向内再自内向外，如螺旋，可读作：莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明。
明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼莺。
看一下，它们多么相像！
例2 上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有：“万物非主，惟其真宰，穆罕默德为其使者。”玉挂的反面却整齐地刻着16个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方。请你认真地计算一下，这个幻方有哪些更奇特的特点？
解：这个幻方具有如下特点：
①纵、横、对角线四数之和（34）都相等。
②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：
11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12
＝34
14＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8
＝13＋16＋4＋1
＝11＋7＋6＋10
③幻方中，任何一个2×2正方形中四数之和也是相等的，例如：
8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7
＝14＋1＋7＋12
＝34……
④幻方中，任何一个3×3正方形，它的四个角数字之和也是34如：
8＋9＋14＋3＝11＋6＋1＋16
＝34……
数阵
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：
1．求出条件中若干已知数字的和。
2．根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3．确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
一、辐射型数阵
例1 将1～5五个数字，分别填入的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：
1＋2＋3＋4＋5＝15
题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定了中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10，便可以了。
例2 将1～7七个数字，分别填入各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。即，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a
28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3
其中28÷3＝9余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。
例3 将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。
解：共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，a被重复使用了两次，即：
1＋2＋3＋……＋10＋2a＝55＋2a
55＋2a应能被3整除。
（55＋2a）÷3＝55÷3＋2a÷3
其中，55÷3＝18余1，所以2a÷3应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。
在a＝1时，55＋2a＝57，57÷3＝19，即中心数若填1，各条线上的数字和应为19。但是除掉中心数1，在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：
9＋7＋2＝18
8＋6＋4＝18
7＋5＋3＝15
所以，a不能填1。
经试验，a＝7时，余下的数组合为12（19－7＝12），也不能满足条件。因此，确定a只能填4。
例4 将1～9九个数字，填入各○中，使纵、横两条线上的数字和相等。
解：1～9九个数字和是：
1＋2＋3＋……＋9＝5×9＝45
把45平分成两份：45÷2＝22余1。
这就是说，若使每行数字和为23，则需把1重复加一次，即中心数填1；若使数字和为24，中心数应填3……。总而言之，因45÷2余数是1，只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用，才有可能使横、竖行的数字和相等。因而，此题可有多种解法。但中心数必须是9以内的奇数。
例5 将1～11十一个数字，填入各○中，使每条线段上的数字和相等。
解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是5的倍数，每条线上的数字和才能相等。
1～11十一个数字和为66，66÷5＝13余1，必须再增加4，可使各线上数字和为14。共五条线，中心数重复使用4次，填1恰符合条件。
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。据此，中心数填6、11均可得解。
二、封闭型数阵
例1 把2、3、4、5、6、7六个数字，分别填入○中，使三角形各边上的数字和都是12。
解：要使三角形每边上的数字和都是12，则三条边的数字和便是12×3＝36，而2＋3＋4＋5＋6＋7＝27，36与27相差9。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9，才能符合条件。确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！
这题还可有许多解法，上例只是其中一种。
例2 把1～9九个数字，分别填入○中，使每边上四个数的和都是21。
解：要使三角形每条边上的数字和是21，则三条边的数字和便是：21×3＝63。而1～9九个数字的和只有45。45比63少18，只有使三角形三个顶角的数字和为18，重复使用两次，才能使总和增加18。所以应确定顶点的三个数。上面是填法中的一种。确定了顶角的数后，其他各数便容易了。
例3 有四个互相联系的三角形。把1～9九个数字，填入○中，使每个三角形中数字的和都是15。
解：每个三角形数字和都是15，四个三角形的数字和便是：15×4＝60，而1～9九个数字和只有45。45比60少15。怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。
中间的一个三角形，每个顶角都连着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。因此，只要使中间的一个三角形数字和为15，便可以符合条件。因此，它的三个顶角数字，可以分别为：
1、9、52、8、52、7、64、6、52、9、43、8、43、7、58、6、1把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。
三、符形数谜
由数学符号、文字符号或图形等组合成的数学问题，幽深、隐秘，妙趣横生。
符、形问题扑朔迷离，初看无从下手。但只要认真分析一下题目的特点，它与“虫蚀算”有些相似，仍然可以从中找出隐含的“蛛丝马迹”。
解这类问题，要根据组成题目的各种条件和其中的已知数目，上下或前后对照，综合分析，发现其中的内部联系，找出一两个突破口，便可使问题破译。
四、横式谜
例1 想想×算算＝嘻嘻哈哈
解：这个算式的特点是：相乘的两个两位数，每个数的数字分别相同，积的前两位和后两位数字也分别相同。两个两位数相乘所得的积又是四位数。根据这个特点，“想”和“算”必须＞3，否则，积只能是三位数，也即“想×算”积应进位。由此，可作如下尝试：
44×33＝1452 55×33＝1815
66×33＝2178 77×33＝2541
88×33＝2904 99×33＝3267
上述乘数是33的，积都不合要求。
55×44＝2420 66×44＝2904
77×44＝3388 88×44＝3872
99×44＝4356
其中：77×44＝3388符合题目条件。
例2 abcd×9＝dcba
解：abcd是四位数，与9相乘仍得四位数，表明被乘数首数a×9没有进位，a只能是1，由积的尾数a进1，推知“d＝9”，再结合进位情况和积的数序，推知“b＝8”，“c＝0”，从而得解：
1089×9＝9801
例3 不同的字母代表1～9中的不同数字，要使两道式同时成立，各字母应是什么数字？
A×B＝CD，E＋F＝DC
解：观察算式，可见积与和是逆序数，因此，可先从结果寻求突破口。
由于各个字母代表的数字不同，试取的积应该是它的逆序数同时是另外两个不同数字的乘积，如：12＝3×4，21＝3×7，而若选48则肯定不行，因为48＝6×8，式子本身便重复了“8”。
经验证，可作如下填法：
3×7＝21
8＋4＝12
例5 “如、花、岁、月”各代表一个什么数字，能使下面三个等式成立？
① 如＋花×岁＋月＝18
② 如×花－岁＋月＝18
③ 如×岁＋花－月＝18
解：这种文字谜可以用“消量法”解。
将①式与③式相加，可消去“月”字：
（如＋花×岁＋月）＋（如×岁＋花－月）＝18＋18
如＋花＋花×岁＋如×岁＝36
如＋花＋岁×（花＋如）＝36
（如＋花）×（岁＋1）＝36
即：（如＋花）×（岁＋1）的积是36。
36可分解为：
36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6
可知：（如＋花）和（岁＋1）必为上述五个乘式中的一个。
（岁＋1）的值不可能少于2，也不可能大于10。（如＋花）的值不可能小于3，也不可能大于17。所以，（如＋花）与（岁＋1）的值只有四种可能：
① “岁＋1＝3 如＋花＝12”
② “岁＋1＝4 如＋花＝9”
③ “岁＋1＝9 如＋花＝4”
④ “岁＋1＝6 如＋花＝6”经验证，只有②成立。可知：
“岁＝3，月＝1，如＝5，花＝4”。
五、符号谜
例1 在□内填入“＋”、“－”号，使等式成立
1□23□4□56□7□8□9＝100
解：解这类题目仍要先观察等号右端的数，根据这个结果的大小，确定算式中数间的符号。本题的结果是100，比式中任何一个数都大得多，便可肯定在式中的23、56之前必须用“＋”号，而后再用“＋”或“－”，试算其他各数，直到符合最后结果是100为止。
这题的正确填法是：
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100
例2 左端是一位数的四则运算，请填入＋、－、×、÷、（）等符号，使等式成立。
①9 8 7 6 5 4 3 2 1＝100
解：算式的结果是100，如果全用“＋”，9～1九个数的和是45（简算用中间项5乘以项数9）。显然，需用乘号。倘在较小的数间填“×”，与100仍相差很多，因此需在较大的数间填“×”。经试算，8×9＝72，余下七个数的和是4×7＝28，相加恰是100。即：
9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100
②9 9 9 9 9＝17
解：结果是17，等号左端的数是五个9。9＋8＝17。因此，必须把其中的四个9，通过添加运算符号，使其得数为8，才能保证最后结果为17。通过试算：
（9×9－9）÷9＝8
这样，整个算式可组合为：
（9×9－9）÷9＋9＝17
例3 改动下式中的一个运算符号，使下式成立。
1＋2＋3＋4＋5＋……＋19＋20＝200
解：这是个连续数相加的算式，确定改动哪一个符号，必须先知道已知的和200与实际和的差数。1～20各数的实际和是：
总和＝（首项＋尾项）×（项数÷2）
（1＋20）×（20÷2）＝210
210比已知的和多10，即210－200＝10
因此，只要在算式中，将“＋10”改为“－10”即可以了。
例4 在下式合适的位置添上（）、〔〕和（），使等式成立。
1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081
解：本题的最后结果是9081，数目较大，求解有一定难度，但仍可用“层层剥笋”的方法，缩小推导范围。
将9081分解得：
9081＝1009×9
因此，｛ ｝位置可定，即：
｛ ｝×9＝9081
1009－8＝1001。而1001＝7×11×13＝77×13。据此，可将8前的算式用添括号的方法，使它成为结果为77和13相乘的两个算式。经试算，（1＋2）×3＋4＝13（5＋6）×7＝77。
从而，可以确定各种括号的位置。即：
｛〔（1＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081。
例5 用六个9组成等于100的算式。
解：本题没有规定六个9的组合形式，因此，每一个数可以是9，也可以是99，或999……。各数间的运算符号也没有特殊要求，＋、－、×、÷、（）、〔〕、｛｝完全可根据自己需要选用，只要把六个9组合成算式使结果为100，便符合题目的要求了！因此，有时可以有许多种解法。
如，本题可组合为：
解1：99＋99÷99＝100
解2：（999－99）÷9＝100
解3：9×9＋9＋9＋9÷9＝100
解4：99÷9×9＋9÷9＝100。
例6 在下列算式中加上运算符号，使每一道算式都不相同，但结果却都等于5。
① 5○5○5○5○5＝5
② 5○5○5○5○5＝5
③ 5○5○5○5○5＝5
④ 5○5○5○5○5＝5
⑤ 5○5○5○5○5＝5
解：解这类问题没有固定规律，只有不断地反复尝试，才能找到答案。
下面是参考答案。
① 5＋5＋5－5－5＝5
② 5÷5－5÷5＋5＝5
③ 5÷5×5＋5－5＝5
④ 5×5÷5×5÷5＝5
⑤ 5×5－5×5＋5＝5。
例7 用五个3组成十一道算式，在数字间加上不同的运算符号，使它们的结果依次等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
① 3○3○3○3○3＝0
② 3○3○3○3○3＝1
③ 3○3○3○3○3＝2
④ 3○3○3○3○3＝3
⑤ 3○3○3○3○3＝4
⑥ 3○3○3○3○3＝5
⑦ 3○3○3○3○3＝6
⑧ 3○3○3○3○3＝7
⑨ 3○3○3○3○3＝8
⑩ 3○3○3○3○3＝9
3○3○3○3○3＝10
解：填符号的方法不是唯一的。下面是参考答案。
① 3×3－3－3－3＝0
② 3－3÷3－3÷3＝1
③ 3×3÷3－3÷3＝2
④ 3×3÷3＋3－3＝3
⑤ 3×3÷3＋3÷3＝4
⑥ 3＋3＋3÷3＋3＝5
⑦ 3×3－3＋3－3＝6
⑧ 3×3－3＋3÷3＝7
⑨ 3＋3＋3－3＋3＝8
⑩ 3×3÷3＋3＋3＝9
3＋3＋3＋3÷3＝10
例8 下面各式，等号两端的数字是一样的，请在等号右端的○中，填上与等号左端不同的运算符号，使等式成立。
① 1×2×3＝1○2○3
② 4×2－1＝4○2○1
③ 8÷4＋1＝8○4○1
④ 3×2＋2×1＝3○2○2○1
⑤ 4×2＋3×1＝4○2○3○1
解：答案是：
① 1×2×3＝1＋2＋3
② 4×2－1＝4＋2＋1
③ 8÷4＋1＝8－4－1
④ 3×2＋2×1＝3＋2×2＋1
⑤ 4×2＋3×1＝4＋2×3＋1。
例9 下面的七道算式结果都等于1，数字间应加上哪些符号，算式才能成立？
① 1○2○3＝1
② 1○2○3○4＝1
③ 1○2○3○4○5＝1④ 1○2○3○4○5○6＝1
⑤ 1○2○3○4○5○6○7＝1
⑥ 1○2○3○4○5○6○7○8＝1
⑦ 1○2○3○4○5○6○7○8○9＝1。
解：下面是参考答案：
① （1＋2）÷3＝1
② 1×2＋3－4＝1
③ 〔（1＋2）÷3＋4〕÷5＝1
④ 1×2×3－4＋5－6＝1
⑤ 1×2＋3＋4＋5－6－7＝1
⑥ （1×2×3－4＋5－6＋7）÷8＝1
⑦ 〔1＋2）÷3＋4〕÷5＋6－（7＋8－9）＝1
例10 下面的三道算式，运算结果都错了，能否不改动数字，只加入适当的括号使等式仍成立？
① 78＋84÷3＋21＝75
② 573－273＋149＝151
③ 500÷250×8－1500＝1
解：解这类问题，首先应算出式子的结果，再对两个不同的结果作比较如：78＋84÷3＋21＝78＋28＋21＝127，大于75，则考虑使算式得数变小，从而确定括号所加的位置。这三题可以是：
① （78＋84）÷3＋21＝75
② 573－（273＋149）＝151
③500÷（250×8－1500）＝1
例11 在下列各式左端添上＋、－、×、÷、（）等，数字也可以根据需要任意组合成两位数或三位数等，使等式能够成立。
① 9 9 9 9 9＝17
② 9 9 9 9 9＝18
③ 9 9 9 9 9＝19
④ 9 9 9 9 9＝20
⑤ 9 9 9 9 9＝21
⑥ 9 9 9 9 9＝22
解：下述答案可供参考：
① （9×9－9）÷9＋9＝17
② （9－9）×9＋9＋9＝18
③ 9＋（99－9）÷9＝19
④ （9＋9）÷9＋9＋9＝20
⑤ （99＋9）÷9＋9＝21
⑥ （99＋99）÷9＝22
例12 下列各式是一位数四则运算，请填入运算符号及顺序符号，使等式成立。
① 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1
② 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝10
③ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝100
④ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1000
⑤ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1993
⑥ 9○8○7○6○5○4○3○2○1＝1994
解：参考答案：
① 9－8＋7－6＋5－4－3＋2－1＝1
② 9×8－7×6－5×4＋3－2－1＝10
③ 9×8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝100
④ （9×8×7－6－5＋4＋3）×2×1＝1000
⑤ （9＋8）×（7＋6）×（5＋4）＋3＋2－1＝1993
⑥ 9＋8×（7＋6×5×4－3）×2＋1＝1994
例13 在下列各式的适宜位置添加（）、〔〕和｛｝，使等式成立。
① 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1005
② 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝9081
③ 1＋2×3＋4×5＋6×7＋8×9＝1717
解：可如下添加括号：
① （1＋2）×〔3＋4×（5＋6）×7〕＋8×9＝1005
② ｛〔（1＋2）×3＋4〕×（5＋6）×7＋8｝×9＝9081
③ 1＋2×3＋〔（4×5＋6）×7＋8〕×9＝1717
例14 A、B、C各代表一个整数，根据下面三个相联系的式子，它们各是什么数？
A＋A＝A
B－B＝A
B×A＝A
A÷B＝A
解：从前两道关系式，可断定“A＝0”，因为只有0＋0＝0，同数相减得0。
从后两道关系式，可断定B为任意数都可以，因为任何数乘0等于0，0除以任何数得0。由于0不能作除数，而A÷B＝A，必须具备“B≠0”，等式才成立。
例15 下面的四道算式所得结果的和恰是100，A是什么数，算式才能成立？
A＋A＝□
A－A＝□
A×A＝□
A÷A＝□
□＋□＋□＋□＝100
解：四道算式中，有两道可以直接得出结果。即：A－A＝0，A÷A＝1，因为同数相减差是0，同数相除商是1。这样，另两式的结果之和必为99。
经尝试运算，在1～9九个数字中，只有A＝9算式才能成立。即：
9＋9＝18
9－9＝0
9×9＝81
9÷9＝1
例16 下题中“□、○、△”各代表一个数，根据已知的条件，你能知道它们是什么数吗？
① □＋□＋□＝120
② ○×△＝45
③ □÷○＝8
④ △＝？
解：从①式，可知：
□＝120÷3＝40
将③式换成：40÷○＝8，可知：
○＝40÷8＝5
将②式换成：5×△＝45，可知：
△＝45÷5＝9
例17 下列三式是互相有联系的，每个图形代表一个整数，其中□、△、○各代表什么数？
① □＋△＋○＋○＝13
② □＋△＋△＋○＝14
③ □＋△＋△＋○＝17
解：经观察，每道式中都有两个相同的图形。若能求出三个各不相同图形的和，而后与四个图形的和作比较，便可求得一个图形所代表的数了。将三式相加可得：
4□＋4○＋4△＝13＋14＋17＝44
将等式两端各除以4，得：
④□＋○＋△＝11
将④式与①对照，用①－④得：
○＝2
将②－④，得：
△＝3
将③－④，得：
□＝6
把数字代入算式，验证无误。
例18 下式中“○”和“△”各代表一个什么数字，两个相关联的等式才能成立？
① ○＋○＋○＋△＋△＝41
② △＋△＋△＋○＋○＝39
解：认真观察后发现：①式是三个“○”加两个“△”和为41，②式是三个△加两个“○”和为39，①式的和比②式多2。为什么会多2呢？因为①式与②式的区别只将“○”换成了“△”，可知“○－△＝2”。①式中含二个“△”若都换成“○”，必须增加“2＋2＝4”，这样和就是41＋4＝45。
由此可知：
○＝（41＋4）÷5＝9
△＝9－2＝7
想一想，还可以怎么解？
例19 下面三式中“□、☆、△”各代表什么数字，等式能同时成立？
① □＋△＝15
② △－□＝1
③ ☆－□＝2
解：这是个图形符号谜。
①＋②得：2△＝15＋1＝16
△＝8
由△＝8，代入②式得：□＝7
由□＝7，代入③式得：☆＝9
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