奇妙的自然数
1，2，3，4，5，……这些简简单单的自然数，是我们从牙牙学语开始就认识的。它们是那样自自然然，因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数字，就会发现其中妙趣横生。聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏，一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不到就不准回家。所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1＋2＋3＋4……的顺序计算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相加，每两个数的和都是101。例如：1＋100、2＋99、3＋98……，直到50＋51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此，101×50就得出5050的总和了。从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书，送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求和的办法。这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有趣的性质。
我们前面提到过完全数和友好数，除了这两种有趣的数以外，自然数中还有一类数被称为“自守数”。所谓自守数就是自己和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次，尾数仍然是1、5、6。例如：
21×21＝421
21×21×21＝9261
325×325＝105625
6×6×6×6＝1296
这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法加以证明。让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表示成a，这里a为任意自然数，那么：
由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。
如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？有。比如末尾是25和76的数就是自守数。
如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、90625、890625、2890625、……的数都是自守数。
让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。
奇数数列是1，3，5，7，…n，…（n为项数）偶数数列是2，4，6，8，…2n，…（n为项数）人们研究奇数，发现如下的性质：
这个结论可以用数学归纳法来证明，不过相当麻烦。其实我们只要画一张最简单的方格图，这个性质就一目了然了。
自然数中偶数数列则有如下的性质：
2＝1×2 2＋4＝6＝2×3
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
2＋4＋6＋8＋…＋n＝n（n＋1）
不论用数学归纳法还是用画图方法也都能证明这个结论。此外，对所有的自然数，下面的规律也成立并且十分有趣：
自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数的两边对称，如11，121，1221，9339，30203等等。回文数本身倒也没有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有限的步骤后必能得到一个回文数：
如：95＋59＝154
154＋451＝605
605＋506＝1111
1111就是一个回文数。
又如：198＋891＝1089
1089＋9801＝10890
10890＋09801＝20691
20691＋19602＝40293
40293＋39204＝79497
79497又是一个回文数。
是不是所有的自然数都有这个性质呢？不是。例如三位数中的196似乎用上述办法就得不到回文数。有人用计算机对196用上述办法重复十万次，仍然没有得到回文数。但至今还没有人能用数学证明办法对这个问题下结论，所以“196问题”也成了世界性数学难题之一。经过计算，在前十万个自然数中有5996个数就像196一样很难得到回文数。
让我们再看一个有趣的数字现象：
随意取4个数，如8，3，12，5写在圆周的四面。用两个相邻数中的大数减小数，将得数写在第二圈圆周。如此做下去不久，必会得到4个相同的数。这个现象是意大利教授杜西在1930年发现的，所以叫作“杜西现象”。
在自然数中还有一些数，看起来貌不惊人，但却十分特别，令人百思不得其解。6174就是其中之一。
把6174各位数字从大到小排列，再从小到大排列，然后用大数减小数，结果还得到6174。
7641－1467＝6174
有趣的是，不仅6174本身，就是任意一个四位数字，只要4个数字不完全相同，用上述办法重复多次，最后终能得到6174这个数。
例如：1234这个数，我们用下列步骤运算：
4321－1234＝3087
8730－0378＝8352
8532－2358＝6174
再举一例，如2883，则有：
8832－2388＝1998
9981－1899＝7982
9872－2789＝7083
7830－0387＝7443
7443－3447＝3996
9963－3699＝6264
6642－2466＝4176
7641－1467＝6174
对三位数字，用这个办法最终将得到495。例如867，运算如下：
876－678＝198
981－189＝792
972－279＝693
963－369＝594
954－459＝495
你还可以用其他数字来验证一下，看看对不对。
五位以上的数字，这个规律就不明显了。
最后再让我们看两组有趣的数：
第一组为：1，6，7，23，24，30，38，47，54，55
第二组为：2，3，10，19，27，33，34，50，51，56
这两组数有什么奇特之处呢？
首先，这两组数都没有公因数，而且两组数各自的和都是285。不过这算不上奇怪，拼拼凑凑，谁也弄得出来。不要着急，我们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和，你就会大为惊奇。
因为数字太多，我们不能一一列下去，让我们把结果列出来。
方幂次数 每组数方幂和
0 285
1 11685
2 536085
3 26043813
4 1309753125
5 6734006805
6 3512261547765
7 185039471773893
… …
… …
从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等，谁能不感到惊奇呢？不过算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么呢？这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。
专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多看似简单实则相当困难，甚至近乎神秘的问题等待人们去解决，哥德巴赫猜想就是其中之一。
建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。
基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古代《易·系辞》中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。
集合的基数具有元素“个数”的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法（见算术）。
为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G．皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。
皮亚诺规定自然数集满足下列五条公理，这里“集合”、“含有”、“自然数”、“后粥”等是不加定义的。
①是自然数。
②不是任何其他自然数的后继。
③每个自然数都有一个后继（a的后记为）
④a／＝b／蕴含a＝b
从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。
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