钱币的学问

钱币的学问

古今中外的钱币多种多样，与钱币有关的数学更是丰富多彩，趣味无穷。让我们以现在我国通行的人民币为例，一起来讨论一些与钱币有关的问题。

我们所看到的硬币的面值有1分、2分、5分、1角、5角和1元；纸币的面值有1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元和100元，一共19种。但这些面值中没有3、4、6、7、8、9，这又是为什么呢？

事实上，我们只要来看一看1、2、5如何组成3、4、6、7、8、9，就可以知道原因了。

3＝1＋2＝1＋1＋1

4＝1＋1＋2＝2＋2＝1＋1＋1＋1

6＝1＋5＝1＋1＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝2＋2＋2

7＝1＋1＋5＝2＋5＝2＋2＋2＋1＝1＋1＋1＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1

8＝1＋2＋5＝1＋1＋1＋5＝1＋1＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝2＋2＋2＋2

9＝2＋2＋5＝1＋1＋2＋5＝1＋1＋1＋1＋5＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝1＋1＋1＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋1＋1＋2＋2＝1＋2＋2＋2＋2

从以上这些算式中就可知道，用1、2和5这几个数就能以多种方式组成1～9的所有数。这样，我们就可以明白一个道理，人民币作为大家经常使用的流通货币，自然就希望品种尽可能少，但又不影响使用。下面我们就来解答一些实际问题。

例1　将一张1元的人民币兑换成若干张1角、2角、5角的人民币，共有几种兑换方法？

［分析与解］如果只有5角面值的钞票，那么5＋5＝10，就只有一种兑换方法；如果有一张5角的钞票，其余是1角、2角面值的，那么5＋2＋2＋1＝10，5＋2＋1＋1＋1＝10，5＋1＋1＋1＋1＋1＝10，就有三种兑换方法；如果没有5角面值的钞票，只有1角、2角面值的钞票，那么2＋2＋2＋2＋2＝10，2＋2＋2＋2＋1＋1＝10，2＋2＋2＋1＋1＋1＋1＝10，2＋2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝10，2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝10，1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝10，就有6种兑换方法。

这样，总兑换方法数为1＋3＋6＝10（种）。

例2　有3枚5分的硬币、2枚1分的硬币、5枚1元的硬币，用这些硬币中的1～3枚能得出多少种不同的钱数？

［分析与解］如果只用1枚，钱数就有5分、1分、1元三种；如果用2枚，就有：5分＋5分＝1角，1分＋1分＝2分，1元＋元＝2元，5分＋1分＝6分，5分＋1元＝1元零5分，1分＋1元＝1元零1分共6种；如果用3枚，就有5分＋5分＋5分＝1角5分，5分＋5分＋1分＝1角1分，5分＋1分＋1分＝7分，5分＋1分＋1元＝1元零6分，1元＋1元＋1元＝3元，1分＋1分＋1元＝1元零2分，5分＋5分＋1元＝1元1角，1元＋1元＋1分＝2元零1分，1元＋1元＋5分＝2元零5分，共9种。

这样，共有3＋6＋9＝18种不同的钱数。

试一试：

1．把50元面额的钱币兑换成若干张1元、2元、5元的钞票，共有几种兑换方法？

2．在4张2元的纸币、3张5元的纸币中，选出1～6张能得出多少种不同的钱数？

余数的妙用

兴趣小组活动时，老师出了这样一道题：我喜欢数学小灵通我喜欢数学小灵通……依次排列，第999个汉字是什么？我利用从《数学小灵通》上学到的解答方法试着做了起来。因为“我喜欢数学小灵通”这8个字是依次重复的，那么，一个循环周期就有8个数，把8个数看成一组。999÷8＝124（组）……7（个），这就是说，第999个汉字应该是第125组的第7个字——“灵”。

同学们，你们说第2001个汉字是什么呢？

工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火，他嗅到烟味醒来，拔出咖啡机的电插头，将之扔出窗外，然后接着睡觉。过一会儿化学家也嗅到烟味醒来，他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。他自言自语道：“怎样灭火呢？应该把燃料温度降低到燃点以下，把燃烧物与氧气隔离。浇水可以同时做到这两点。”于是他把垃圾桶拖进浴室，打开水龙头浇灭了火，就回去接着睡觉。数学家在窗外看到了这一切，所以，当过了一会儿他发现他的烟灰燃着了床单时，他可一点儿也不担心。说：“嗨，解是存在的！”就接着睡觉了。

数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里，看着人们从街对面的一间房子走进走出。他们先看到两个人进去。时光流逝。他们又看到三个人出来。物理学家：“测量不够准确。”生物学家：“他们进行了繁殖。”数学家：“如果现在再进去一个人，那房子就空了。”

一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

数学的组成是：50%公式，50%证明，50%想像力。拓扑学家不能区分咖啡杯与面包圈。统计学家的头在烤炉脚在寒冰时，会说：“平均感觉是良好的。”

一队工程师在丈量一根旗杆的高度，他们只有一根皮尺，不好固定在旗杆上，因为皮尺总是落下来。一位数学家路过，拔出旗杆，很容易就量出了数据。他离开后，一位工程师对另一位说：“数学家总是这样，我们要的是高度，他却给我们长度！”

工程师认为自己的方程与现实很接近。物理学家认为现实与自己的方程很接近。数学家根本不在乎。

物理教授走过校园，遇到数学教授。物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后他们碰头，数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请数学教授再审查一下这个方程。又是一周过去，他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立，“但仅仅对于正实数的简单情形成立。”

工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：将一根钉子钉进一堵墙。工程师造了一件万能打钉器，即能把任何一种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试，进而发展出一项革命性的科技——超低温下超音速打钉技术。数学家将问题推广到N维空间，考虑一个1维带扭结的钉子穿透一个N－1维超墙的问题。很多基本定理被证明。当然啦，这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。

一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。数学家嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”

物理学家和工程师乘着热气球，在大峡谷中迷失了方向。他们高声呼救：“喂——！我们在哪儿？”过了大约15分钟，他们听到回应在山谷中回荡：“喂——！你们在热气球里！”物理学家道：“那家伙一定是个数学家。”工程师不解道：“为什么？”物理学家道：“因为他用了很长的时间，给出一个完全正确的答案，但答案一点也没有用。

牛顿说过：“如果说我比别人看得远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”那么，如果我看得没有别人远，是不是因为巨人正站在我的肩膀上？

常函数和指数函数e^x走在街上，远远看到微分算子，常函数吓得慌忙躲藏，说：“被它微分一下，我就什么都没有啦！”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样，我是e^x！”指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道：“你好，我是e^x。”微分算子道：“你好，我是d／dy！”

证明所有大于2的奇数都是质数，不同专业的人给出不同的证明：数学家：3是质数，5是质数，7是质数，由数学归纳可知，所有大于2的奇数都是质数。物理学家：3是质数，5是质数，7是质数，9是实验误差，11是质数，……工程师：3是质数，5是质数，7是质数，9是质数，11是质数，……计算机程序员：3是质数，5是质数，7是质数，7是质数，7是质数，……统计学家：让我们来试几个随机抽取的数：17是质数，23是质数，11是质数，……

世界上有两种数学家：会数数的和不会数数的。世界上有两种人：一种相信世界上的人分为两种，一种不相信。世界上有两种人：一种可以被归类于两种人之一，一种不可以。

Pi是什么？数学家：Pi是圆周长与直径的比。工程师：Pi大约是22／7。计算机程序员：双精度下Pi是3．141592653589。营养学家：你们这些死心眼的数学脑瓜，“派”是一种既好吃又健康的甜点！

物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上，碰巧看到一只黑色的羊。“啊，”天文学家说道，“原来苏格兰的羊是黑色的。”“得了吧，仅凭一次观察你可不能这么说。”物理学家道，“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的。”“也不对，”数学家道，“由这次观察你只能说：在这一时刻，这只羊，从我们观察的角度看过去，有一侧表面上是黑色的。”