欧几里德对数学发展的贡献

第三节　欧几里德对数学发展的贡献

值此之前，希腊各学派积累了很多数学知识，但都没有形成比较完整的体系，到了亚历山大时期，希腊数学家们在柏拉图几何思想的启示下，开始将数学知识进行系统整理，使之脱离哲学而成独立学科，从用实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中。完成此项具有划时代意义工作的是亚历山大前期第一个大数学家欧几里得，他撰写名著《几何原本》开创了数学发展的新时期，使初等数学形成了体系。

一、欧几里得《几何原本》产生的背景

公元前338年，马其顿的菲力普王征服了雅典，希腊便沦为马其顿帝国的一部分，从此，雅典处于衰败的状态。在公元前336年时，菲力普王去世，由其子亚历山大大帝继承王位。亚历山大大帝野心勃勃，发动了空前的侵略战争，将文明世界的大部分区域并入新兴的马其顿帝国之版图。当亚历山大大帝进入埃及后，于公元前332年建造了亚历山大里亚城，公元前323年亚历山大大帝去世后，紧接着内部混乱，军阀割据，而埃及由托勒密掌管，他是亚里士多德的学生，并从老师那里学到了治学思想，便努力发展科学文化，繁荣经济，很快使亚历山大里亚成为当时世界的文化中心和商业中心，并创建了著名的博物馆和图书馆，培育了年轻一代学者。当时，这座繁荣的城市吸引着众多的有志学者，其中两个人是最主要的人物，他们有力地推动了数学的发展。他们是欧几里得和阿基米德。

欧几里得的生平，现在知道的甚少，由帕波斯记述，欧几里得在公元前300年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大里亚教学。人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家。欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想。斯特比亚斯记述一个有趣的故事：“一个学生学习几何时，才开始学习完一个定理，就问欧几里得，学了之后能得到什么好处呢？欧几里得说：给他三个钱币算了，他就想得到这点利益。”

欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新。他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无与伦比的历史意义。他精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，象《几何原本》那样长期广为传颂。从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久。

欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果。据普罗克洛斯记载，欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本延续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法。欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想。

另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善。《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其他诸类逐渐销声匿迹了。

欧几里得还曾撰写过其他的著作，据一些材料记载，主要是《光学》《反射光学》解决镜的反射问题；《论音乐》研究音乐理论；《论天文现象》，天文学的初步理论，主要解决天体运转、黄道分割等问题。

二、欧几里得《几何原本》的主要内容

欧几里得本人撰写的《几何原本》手稿现已无存，所以他的著作只能参考其他作者的许多修订本、评注本和简评重新整理出来。欧几里得的《几何原本》的所有英文版和拉丁文版都来源于希腊人的手稿。这些来源是亚历山大里亚城的戴恩对欧几里得《几何原本》的修订本，戴恩修订本的抄本，戴恩讲课记录以及佩拉在梵蒂冈图书馆里发现的一本希腊手稿。这本10世纪的手稿是赛翁以前出版的一本欧几里得著作手抄本。数学史家海伯格最早编集了《欧几里得全集》八篇，这是我们能见到的标准的《欧几里得原本》，后来，又根据海伯格的深入研究，进行各种考证，开始定本。从第一篇到第五篇，有从希腊文译成的拉丁文本，并附有详细脚注，其余各篇由达塔等学者完成。

在这个基础上，英国数学史家希思把海伯格等校订的希腊原文翻译成英文，并附有详细的注释。对现在研究《几何原本》有重要参考价值。

另外，有人又把海伯格版的著作译成德文。这种德文版没有希思那样的详细注释，但是对进一步研究《几何原本》，尚有方便之处。

希思还用现代数学符号注释希腊古代数学书籍，撰写成：Histoy of Greek Mathematics，2Vols，Oxford，1921。

希思在同一年，又撰写成：Euclid in Greek，Book I，Cambridge，1921。在此著作中，收录了《几何原本》的第一篇，并对绪论做了适当的注释。

在希腊时期，公理和公设是有区别的。公理是数学各分支都承认的基本道理，公设则只是几何学中所需要的基本道理。按照希腊时期的含义，不承认公理，整个数学体系都将产生变化；不承认公设，只牵涉到几何学体系。现代学者已不再将它们区分，而统称为公理了。

第一篇：主要叙述全等形的一些定理、平行线、毕达哥拉斯定理、初等作图法、平行四边形等。在一些命题的证明中，显现出希腊人的聪明和才智。

例如命题：等腰三角形两底角相等。欧几里得延长AB到F，延长AC到G，使BF＝CG。于是，△AFC≌△AGB。因而，FC＝GB，∠ACF＝∠ABG，即∠3＝∠4。

∵△CBF≌△BCG，则　∠5＝∠6，

故　∠1＝∠2

《几何原本》中的证法比目前一些初级中学课本中的证明还好，因为后者在此就假定了角A存在角平分线。但这个存在性的证明要依靠此命题。

第二篇：主要阐述了几何代数法。由于希腊人不承认无理数，这就很难从数量上解决长度、面积、体积等问题，他们曾用线段来代替数。

第三篇：首先给出有关图的定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等。这些定理多数是现代中学几何课本中的内容。

第四篇：主要论述圆的内接和外切图形——三角形、正方形、正五边形和正六边形，最后一命题讲怎样在一给定圆内作正15边形。

第五篇：对欧多克索斯比例理论作了精彩的阐述。欧多克索斯的比例定义（即两个比相等）是很重要的，即：如果有4个量，取第一个量和第三个量的任何相等的倍数，取第二个量和第四个量的任何相等的倍数，当第一个量的倍数大于、等于或小于第二个量的倍数时，相应地有第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，那么我们就说，第一个量与第二个量的比等于第三个量与第四个量的比。换言之，如果a，b，c，d是4个不分正负的量，a和b为同类量（均为线段或角或面积或体积），c和d为同类量，且对于任意正整数λ和μ，相应于λc＝μd（或λc＞μd或λc＜μd）有λα＝μb（或λ＞αμb或λα＜μb）则a∶b＝c∶d。欧多克索斯的比例理论为数学分析实数系的建立提供了条件。

第六篇：将比例理论应用于平面几何。主要讨论相似形问题。还有二次方程的几何解，并对毕达哥拉斯定理作了推广。

第七、八、九篇总共包括102个命题，主要是初等数论的内容。定义了奇数和偶数，素数和合成数，平方数和立方数，完全数等等。

第七篇：命题1指出，“若在两个不等数中，每当从大数中尽可能地减去小数，再从小数中尽可能地减去所得余数，又从前一余数中尽可能地减去下一余数，如此下去，并且任何余数都不是前一余数的约数，直至达到1为止，则此两给定数互为素数”。这个命题是用归谬法证明的，从此可以得出求不是互素的两个或三个数的最大公约数的方法。第七篇其余部分讨论素数的性质。

第八篇：研究有关连比例数的定理。该篇指出如何在两个数之间插入若干几何中项，并证明了，如果两个数a与b之比等于另外两个数c与d之比，且a与b之间有n个几何中项，则在c与d之间也有n个几何中项。

第九篇：在此篇中发展了素数的理论，并且指出素数的个数是无限的。命题2：“素数比任何指定的数目都多”。欧几里得对此定理的证明，已被数学家们普遍地认为是数学的典范。此证明是用间接方法即归谬法完成的。现简述为：若只有有限个素数，不妨用α，β，…，l表示，设Q＝α，β…l，则Q＋1要么是素数，要么是合数。但是，因为α，β，…，l是全部素数。而Q＋1大于α，β，…，l中的任一个数，所以不可能是素数。另一方面，若Q＋1是合数，它必定能被某素数q整除。但是q必定是全部素数α，β，…，l的集合中的一个元素，这就是说，q是Q的一个因子，结果q不能整除Q＋1，于是我们最初假设（素数只有有限个）不能成立，此定理得证。

在本篇命题采用了比较巧妙的方法来求几何级数的和：如果有任意多个数连成比例，并且第二个数与最后一数都可以减去第一个数，则第二个数的增量与第一个数之比，将等于最后一数的增量与最后一数前面的所有数之和的比。

现在，如果有任意多个数成连比例，则由于任一前项与后项之比等于所有前项的和与所有后项的和之比，但欧几里得实际上没有用这个方法来求几何级数的和，而是用它来建立确定完全数的法则。

第十篇：主要讨论无理量。本篇中的16个定义可分为三类，第一类（4个定义）：主要阐述可通约量，不可通约量，有理性和无理性的一般定义。第二类（6个定义）：为了表示6个和无理量，确定6个二项线段。第三类：为了表示6个差形无理量，确定6个余线段。应该说这一篇是欧几里得的杰作，一些数学史家认为第十篇最为完美，远非其他各篇甚至第五篇所能比拟的。

值得注意的是命题1，它提供了穷竭法的基础，实际上，此种方法早在欧多克索斯时已经使用过，到了欧几里得手中已经能运用自如了。命题1的含意是，取两不等量，若从大量中减去一个大于或等于它本身一半的量，再从余量中减去大于或等于这余量一半的量，并且不断重复这一程序，则最后剩下的将是一个比所取二量中较小的一个还要小的量。欧几里得的证明如下：

设AB与c为二给定的不等量，AB＞c。同时c的某一倍数一定会大于AB（定义4）（见图3－2）。不妨设EF是c的倍数，则EF＞AB。将EF分成几部分，即EM，MN，NF各与c相等。从AB割去大于它本身一半的AD，再从剩下的DB割去大于本身之一半的DG，这样不断继续下去，直到AB的分段数目与EF的分段数目相等。

设AD，DG，GB为AB的分段，其段数与EM，MN，NF的段数相等。由于EF大于AB，并从EF已经割去了小于其一半的FN从AB已经割去了大于其一半的AD，所以剩下来的NE大于剩下来的DB。

图3-2

由于NF＞DB，并且从NE已经割去了其一半，即MN，从DB已经割去了大于其一半的DG，由此可知剩下来的EM大于剩下来的GB。但是，EM＝c，即GB＜c，亦即剩下来的量小于给定二量中较小的量。此命题得证。

第十一篇至第十三篇集中讨论了立体几何问题。第十一篇把平面直线和平面角的几何学推广到平面和平面所构成的角上。立体角的定义是由两个以上的平面角所包围的角，这些平面角不在同一平面内，但都是从同一点作出的。

第十二篇：主要应用“穷竭法”证明一些命题。穷竭法的“穷竭”一词起源于相继作正内接多边形“穷竭”了圆的面积。希腊人并没有用这个词，到了17世纪，人们才使用这个名词。这种方法，仅仅是走向严格极限概念的一步，但是，我们会看到这种方法是严格的。它依赖于间接证法，不含明确的极限步骤，实际上，有人认为欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼兹这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并想用极限概念。

命题1：圆内接相似多边形之比等于圆直径平方比。

命题2：圆与圆之比等于其直径平方之比。

欧几里得对命题2的证明步骤如下：

设两圆分别为ABCD和abcd；BD与bd分别是两圆直径。若圆ABCD面积：圆abcd面积≠BD²∶bd²，则BD²与bd²之比将等于圆ABCD与某一大于或小于圆abcd面积之比。

（1）设BD²与bd²之比等于圆ABCD与一较小面积之比，令比较小面积为S。在圆abcd内作正方形abcd，通过a，b，c，d作圆的切线，于是构成一圆外切正方形，并且它的面积将是正方形abcd的面积的2倍。由于圆的面积小于其外切正方形的面积，所以内接正方形的面积大于圆abcd的面积的一半（见图3－3）。

图3-3

现在将弧ab，bc，cd，da在e，f，g，h处平分，并连接ae，eb，bf，fc，cg，gd，dh，ha。在e点作切线，于是在ab上完成了一个长方形。此长方形是三角形abe的2倍，因为弓形aeb小于此长方形，所以，三角形abe大于弓形aeb的一半。同理，对于弓形bfc等等也是如此。若把余下的各弧，例如ae再予以平分，且把它们的中点同a和e等点连接，最后就会得到一些弓形，其面积小于圆abcd的面积与面积S之差。由第十篇命题1（即：对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大量，再从所余量减去大于其半的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小量），多边形aebfcgdh就大于面积S。再在圆ABCD内作内接多边形AEBFCGDH，它与多边形aebfcgdh相似。于是多边形AEBFCGDH之面积：多边形aebfcgdh的面积＝BD²∶bd²。

而BD²∶bd²＝圆AEBFCGDH∶S

所以，圆AEBFCGDH∶S＝多边形AEBFCGDH∶多边形aebfcgdh，故圆AEBFCGDH∶多边形AEBFCGDH＝S∶多边形aebfcgdh。又因为圆AEBFCGDH大于其内接多边形，所以面积S大于多边形aebfcgdh之面积。由假设，它也小于多边形aebfcgdh之面积，这是不对的。

（2）同理可证，圆ABCD与一个大于圆abcd的面积之比，不可能等于BD²与bd²之比。

第十三篇：叙述了球的五种内接正多面体（即四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）的作图法，实际上是要建立立体的边（棱）与球的半径之间的关系。

三、欧几里得《几何原本》的历史意义

欧几里得《几何原本》是一部最早且内容丰富的数学著作，是在公理法的基础上，逻辑地创造几何学的首次尝试。

1．欧几里得创造性地建立了初等数学体系，采用先摆出所用公理，明确提出所用的定义，由浅入深地揭示一系列定理的方法。这样编排符合人们的认识规律，所以，一直被人们所沿用。

2．欧几里得在《几何原本》中，对公理的选择是很出色的，使得用一小批公理证出几百个定理，其中，有很多是深奥的，尤其对平行公理的处理更显得高明。在定理的取舍方面，他是经过认真筛选的。例如：在《几何原本》中没有列入三角形三条高交于一点（在初等数学中最一般）的定理，还有一些欧几里得其他著作中的定理，在此他也不屑一顾。

3．欧几里得把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法，从而把数学作为演绎系统建立起来，使数学从经验知识上升成为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生，并相对独立地得到发展。

4．欧几里得示范地规定了几何证明的方法：分析法，综合法及归谬法。有的证明相当精练，有独道之处。

5．对欧几里得撰写《几何原本》的目的有不同看法，有人认为是给数学家看的学术著作，也有人说是写给学生的课本，普罗克洛斯比较相信后一种说法。确实《几何原本》对数学教育产生了极为深远的影响，两千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。

当然，《几何原本》也有其不完善的地方，例如，没有逻辑依据地运用了运动的概念，认为把图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变，等等。

总之，欧几里得《几何原本》的著成与传播，标志着数学进入一个新的阶段。在中国，17世纪始有《几何原本》前6卷的译本，直到19世纪中叶，才有完整的《几何原本》的译本。《几何原本》的传入，曾对中国数学和数学教育产生了深远的影响。