希腊后期的数学

第六节　希腊后期的数学

希腊后期的数学一般指公元前146年罗马灭亡希腊以后的数学。由此，希腊本土的文化逐渐退居次要地位，科学中心开始转移到埃及的亚历山大里亚城，成为新的希腊文化渊薮。由于亚历山大里亚的学者继续不断地发明、创造，推动了数学的发展。以下几位数学家的工作是值得提及的。

在希腊后期，虽然对欧几里得《几何原本》没有作出根本性改革，但也作了很多添补工作。对此，首先作出贡献的是海伦。

海伦著《关于测量仪》一书，其中提出了确定罗马和亚历山大之间的时差问题的一个较复杂的方法，并用这种仪器观测两地的月食。

海伦的著作主要是由几何学、应用几何学、应用机械学合编成的一部百科全书性质的书籍——《几何》。在这部著作中，阐述了象测量仪一类器具的使用方法。他还注释了欧几里得的著作以及撰写有关面积和体积的书籍，但其名著是《测量术》。这部著作分三篇，第一篇是面积的计算；第二篇是体积的计算；第三篇是解决面积和体积的有关比例问题。

第一篇是最重要的篇章，其中给出已知三角形边长，求三角形面积的公式，即“海伦公式”。

海伦是通过具体的三角形推出此公式的，首先假定三角形的边长分别是13，14，15。海伦给出两种方法计算，其一是利用三角形的高来求面积，其二是不求出高，利用三边求面积，他按如下步骤计算。

（1）将三边长相加　13＋14＋15＝42。

（2）取和的一半　42÷2＝21。

（3）求积、开方　21×8×7×6＝7056，此三角形的面积是84。

德国数学家康托尔曾指出，上述公式在海伦的原典中有明确记载。但是，根据阿拉伯文献记载，阿基米德已经知道这个公式，是海伦利用三角形的内切圆证明了此公式。

三角学在这个时期有了进一步发展。虽然人们对这门学科本身的兴趣在衰退，但逐渐成了其他学科，尤其是天文学的辅助学科。三角学这门科学是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的。很可能埃及人早已发现三角形的不同元素之间具有某种关联，但首先看到有必要建立三角形的边与角之间的精确关系的，仍是希腊人。

三角学在西方的最早的奠基人是希腊的希帕霍斯。他是古希腊的天文学家。为了天文观测的需要，作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍，可惜这份表没有保存下来。

继承和发展了希帕霍斯研究成果的，是古代天文学的集大成者托勒密。他撰写一部天文学著作，原名为《数学汇编》，后来译成阿拉伯文，再转译成拉丁文，变成Almagest的书名，意为《天文集》，这是一部主张“日心说”的著作。

托勒密在天文学上的研究，试图建立能精确确定某些关系的规则，正是为了改善天文计算为目的，三角学才应运而生。因此，球面三角学的研究先于平面三角学。

可以推测，托勒密的方法相当复杂，不妨简述如下。托勒密首先认识到，确定不同角度的弦相当于如何设法解决用圆的直径长度表示圆内接正多边形的边长问题。值此，他把圆周分成360等分，即360度。直径则被分成120等分，使用60进位分法，实际上也推广到分数，并使用了等分、分、秒等名称。这样就能用直径上许多等分来表示圆弧上对任一圆心角所张弦的长度。这乃是角的弦（见图3－9）。

图3-9

托勒密为扩充他的表，利用了人们熟知的关系式。

（chord2β）²＋chord（180°－2β）²＝AC²＋AB²＝BC²，即

sin²α＋cos²α＝1

托勒密进一步建立chord（α－β）的表示式，即sin（α－β）公式。

图3-10

托勒密的具体作做可表述为：

在直径AD上作一半圆，B和C是半圆上的两点，显然有：

AC＝chordθ₁，AB＝chordθ₂，BC＝chord（θ₁－θ₂），

BD＝chord（180°－θ₂），CD＝chord（180°－θ₁）。

从定理表达式

AC·BD＝BC·AD＋AB·CD

或　　　　　　　　BC·AD＝AC·BD－AB·CD

亦即　［chord（α－β）］·［chord180°］＝（chordθ₁）·［chord（180°－θ₂）］－［chord（180°－θ₁）］

可得出sin（A－B）的形式。

为了确立半角公式，托勒密以AB为直径作一圆，画出两相等的弦。

AD·CB＋CD·AB＝AC·BD

即　AD²＋CD·AB＝BD²＝AB²－AD²

因此　2AD²＝AB²－AB·CD

利用以上公式，托勒密求出有关角的正弦值，进行造表。

在第二篇中，托勒密研究了与地球球面有关的知识。

在第三、四、五篇中，利用本轮解释天文学的地心学说。在第四篇中，提出了测量学的三点问题的解：确定这样的点，使这一点与给定的三个点中每两点的连线所成之角分别为给定的角。

在第六篇中，提出了日、月蚀的理论。

在第七、八篇中，含有1028个恒星目录。

其余几篇是研究行星的。《天文集》一书，在哥白尼之名著《关于天体的运转》成书前，一直是标准的天文学著作。

托勒密曾怀疑过欧几里得平行公设，试图利用《几何原本》中的其他公理和公设推出第五公设，使之去掉欧几里得的一系列原始假定，但未能成功。

几乎在同一时期，希腊学者门纳劳斯研究了球面三角，并著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质。

在托勒密逝世之后，希腊的黄金时代已经过去，希腊数学开始走下坡路。正是在此时，有一些才华出众的学者，又为希腊数学增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亚历山大里亚的帕普斯和丢番图，他们的工作推动了希腊后期的数学。

帕普斯的主要数学著作是《数学汇编》，此书共8篇，只第一、二篇的一部分保存下来了，其余部分都已失传。《数学汇编》一书统一了希腊早期几何学知识，开始进一步探求解决古代三个著名几何难题的方法，并做重要补充，其中包括对立体几何、高次平面曲线和等周问题的详尽处理。

按照解题所需的曲线性质，帕普斯进行了分类。他说：“我们已考虑过三种几何学问题。即：平面问题，立体问题，线性问题。那些可以用直线和圆周来解决的问题，都称为平面问题，因为用来解决这类问题的线的起源是在平面内。那些要靠一条或一条以上的圆锥曲线来解决的问题称为立体问题，因为在这些问题的作图中要用到立体图形的面，例如圆锥曲线。还有第三类问题：它们叫做线性问题，因为在这些问题的作图中必须用到不同于刚才所述的线，它们有着不同的并且更复杂的起源，或者它们是由于运动而产生的。属于这类线的是螺旋线或螺线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线等等。”

《数学汇编》中含有两个重要等周问题。即：（1）在所有周长相同的圆弓形中，以半圆为最大。（2）在所有表面积相等的立体中，以面数最多的立体为最大。这部著作中，记载着著名的“帕普斯问题”，即：“若从任一点作直线与五条具有给定位置的直线在各个给定角度上相交，并且其中三条直线所围之长方体的体积与其余两条直线和一给定直线所围之长方体的体积的比是给定的，那么这一点仍将落在给定位置的曲线上。”笛卡儿曾试图用分析方法解决这一问题，导致其发现了解析几何学的原理。

《数学汇编》中的第七篇，含有一著名的定理，现称古尔丁定理。因为，古尔丁重新独立发现了这一定理，并给出证明。这个定理是，如果一平面闭曲线图形绕曲线之外但在同一平面内的一轴转动一周，则旋转出来的形体的体积等于曲面面积乘以其重心所转过的圆周。这是有普遍意义的结果，帕普斯没有给出定理的证明。

第八篇主要研讨力学，他把物体的重心定义为物体内（并不一定属于物体）的一点，若在那一点把它吊起来，就能使它静止，而不管吊放的位置如何。然后他说明了用何种数学方法来确定这个点。帕普斯还讨论了物体沿斜面移动的问题。

《数学汇编》的水平和价值虽然不能与希腊黄金时代的名著相比，但是，它是在希腊数学衰落时的著作，从而展现出它的特殊意义。

在希腊后期，代数学获得了重大发展。发展的标志之一是对数学符号的使用。历史学家内塞尔曼在1842年对代数学符号历史发展概括出三个阶段。第一阶段，称为文字叙述代数，即对问题的解，不用缩写和符号，而是写成一篇论说文章。第二阶段，称为简化代数，即对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法。第三阶段，称为符号代数，即对问题的解，多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与其所表现的内容没有什么明显的联系。希腊代数学在此之前都是文字叙述，而在此之后，代数学开始出现简化的倾向，对一些常用的量和运算采用了缩写的方法，对此作出卓越贡献的是丢番图。

丢番图撰写过三部书，其中最著名的是《算术》，另外两部，有一部失传，还有一部是《多角数》。

根据《算术》序文记载，这部著作共有13卷，此书共解决了189个问题。主要阐述数的理论，但大部分是解决代数问题，这种脱离几何范畴，研究实际问题的方法，为希腊数学增添了异彩。

丢番图的《算术》曾被人誉为“过渡代数”，尤其是把数学从纯粹语言叙述，转为借助于简单的词和某些符号来表达。

丢番图曾给出求解一次方程的方法，即：“若方程两边的未知数的幂相同，但是系数不同，应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止。若在方程的一边或两边有减项，那么应当向两边加上这个项，使两边只有加项。然后需要再一次等量减等量，直到得出未知数等于某个数为止。”总之，丢番图施用了“合并同类项”“移项”“两边除以未知数的系数”。但他尽量避免除法运算，而用重复的减法代替。至于二次方程，他总是算出一个正根，其解法没有保存下来，不可详考。

丢番图在解ax²＋c＝y²，bx＋c＝y²等类型的不定方程时显示出了他的卓越才能。每题都用其特殊方法解决，没有给出一般解法，即使类型相同的题目，解法也不同。正如德国数学史家韩克尔说：“近代数学家研究了丢番图100个题后，去解101个题，仍然感到困难。”

大数学家费马就是看了丢番图的不定方程，而提出所谓“费马大定理”的。

丢番图也曾解过两个或两个以上未知数的联立一次方程组。

总之，丢番图是把新思想引入数学的亚历山大数学家的最后代表。他在代数方面做出了重要贡献，被誉为代数学的鼻祖，人们用“解方程的形式，刻画他的年龄”，这亦是一种后世的深刻怀念吧！

当丢番图去世后，到了公元5世纪时，希腊数学到达了衰落的顶点。当时罗马已经成为世界之王，它的领土从印度河一直伸展到直布罗陀海峡，从尼罗河直到不列颠海岸。由于罗马人不关心智慧的追求，只需要食物和娱乐，大部分人除此之外皆漠不关心，因此，罗马人在头几个世纪里，他们对数学或科学的发展贡献很小。在早期的基督教学者中，也只有少数几个对数学或科学有点兴趣。强烈的宗教热忱，是不鼓励他们对世俗学问追求和探索的。

但是，强盛的罗马帝国很快地瓦解，随着恺撒城在公元455年的陷落，罗马的统治权实际上已告结束。