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数学与力学开始结合

时间:2023-02-13 理论教育 版权反馈
【摘要】:数学同力学的有机结合,是18世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合,其紧密的程度为数学史上任何时期所不能比拟。18世纪的数学家们不仅大大拓展了分析的疆域,同时赋予它与几何相对的意义,他们力图用纯分析的手法以摆脱对于几何论证的依赖,这种倾向成为18世纪数学的另一大特征,并且在欧拉和拉格朗日的工作中表现得最为典型。

第二节 数学与力学开始结合

数学同力学的有机结合,是18世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合,其紧密的程度为数学史上任何时期所不能比拟。几乎所有的数学家都以巨大的热情,致力于运用微积分新工具去解决各种物理、力学问题。

欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着;拉格朗日最享盛名的著作《分析力学》,“将力学变成了分析的一个分支”;拉普拉斯则把数学看作是研究力学天文学的工具,他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷《天体力学》中。

这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉,而使数学本身的发展大大受惠。一系列新的数学分支在18世纪成长起来。

达朗贝尔关于弦振动的著名研究,导出了弦振动方程及其最早的解,成为偏微分方程论的发端。另一类重要的偏微分方程——位势方程,主要通过对引力问题的进一步探讨而获得。与偏微分方程相联系的一些较为深入的理论问题也开始受到注意。

拉格朗日发展了解一阶偏微分方程的一般理论;对不同类型的二阶方程的研究还促使欧拉、达朗贝尔等具备了将函数展为三角级数的概念。

常微分方程的研究进展更为迅速。三体问题、摆的运动及弹性理论等的数学描述,引出了一系列的常微分方程,其中以三体问题最为重要,二阶常微分方程在其中扮演了中心角色。

数学家起先是采用各种特殊的技巧对付不同的方程,但渐渐地开始寻找带普遍性的方法。这样,欧拉推广了约翰第一·伯努利的积分因子和常数变易法;黎卡提在以他的名字命名的非线性方程的研究中,首创了后来成为处理高阶方程主要手段的降阶法;泰勒最先引起人们对奇异解存在性的注意;欧拉在1750年解出了一般的常系数线性方程,他还引进超几何级数作为解二阶线性方程的基础;对全微分方程的研究亦由欧拉、拉格朗日和蒙日等开展起来。

变分法起源于最速降曲线问题和相类似的一些问题,它的奠基人是欧拉。所谓“最速降曲线”问题,是要求出两点间的一条曲线,使质点在重力作用下,沿着它由一点至另一点的降落最快。这问题在1696年被约翰第一·伯努利提出来向其他人挑战,牛顿、洛必达和伯努利兄弟不久都分别获得了正确的解答。

欧拉自1728年开始以他特有的透彻精神重新考察了最速降曲线等问题,最终确立了求积分极值问题的一般方法。欧拉的方法后来又为拉格朗日所发展,拉格朗日首先将变分法置于分析的基础上,他还充分运用变分法来建造其分析力学体系,全部力学被他化归为一个统一的变分原理——虚功原理。

这些新的分支与微积分本身一起,形成了被称之为“分析”的广大领域,与代数、几何并列为数学的三大学科,在18世纪,其繁荣程度远远超过了代数与几何。

18世纪的数学家们不仅大大拓展了分析的疆域,同时赋予它与几何相对的意义,他们力图用纯分析的手法以摆脱对于几何论证的依赖,这种倾向成为18世纪数学的另一大特征,并且在欧拉和拉格朗日的工作中表现得最为典型。

拉格朗日在《分析力学》序中宣称:“在这本书中找不到一张图,我所叙述的方法既不需要作图,也不需要任何几何的或力学的推理,只需要统一而有规则的代数(分析)运算”。

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