哈代与现代数学分析

哈代与现代数学分析

美丽的克兰莱夫小城位于英国的东南沿海，隶属于萨里郡。从这里到首都伦敦，交通十分方便。这座风景如画的小城里，有一座以本城的名字命名的学校。学校教师伊萨克家出了一个神童，引起全城人们的关注和赞叹，他叫哈代，两岁的哈代居然能够数到100万个数，三岁时能写下一到一百万间的任何一个阿拉伯数字。哈代上小学的，时候依靠自学写了一本有100页的英国皇朝建立史，哈代的智力水平，远远超过了同龄的孩子，小学、中学他都是跳级生，13岁的哈代，就获得奖学金，进入了温切斯特学院。后来他最终成为与数学大师希尔伯特齐名的大数学家。

戈弗雷·哈罗德·哈代

现代数学分析学家戈弗雷·哈罗德·哈代，1877年2月7日生于英国的克兰莱夫小城，1947年12月1日，卒于英国的剑桥。他是现代数学史上的著名数学家，是本世纪上半叶英国数学家的杰出代表。

剑桥大学三一学院

哈代19岁时，参加了剑桥大学三一学院的奖学金会考，他在这次会考中成绩优秀，获得了奖学金。次年，哈代通过了剑桥大学三一学院的入学考试，哈代在剑桥大学就学期间，剑桥大学的教师队伍人才济济。数学方面著名教授就有怀特海、维特根斯坦和洛夫等人，在这些知名人士中，洛夫对哈代的影响最大。

洛夫是著名的应用数学家，他担任哈代的辅导教师期间，对哈代精心培养，使哈代得到了全面、扎实、深入的数学基础知识和技能方面的训练。他让哈代精读数学家约当著的《分析教程》，在当时，这是一本深奥的、不易为人们所掌握的数学巨著，哈代凭借自己深厚的数学功底和杰出的才能，循序渐进地啃下了这部三卷本的数学著作。

数学是一个奇妙的王国，当哈代接触它并为分析学所陶醉时，突然发觉这个广阔天地可以尽快地施展自己的抱负，他立志为此献出自己的一生。从此，他的思想境界有了一次飞跃，这为他终生从事分析学研究奠定了基础。

哈代在历年的考试中，总是名列前茅。1898年，哈代成为剑桥大学四名优秀学生之一，其他三名优秀学生，后来也都成为了世界著名的科学家。

1900年，20世纪到来了，哈代以优异的成绩结束了大学学业，迎接他的将是一个美好的新生活。为了在崭新的世纪里创造出美好的新生活，哈代决定申请剑桥大学的校友奖学金。20世纪初期，英国大学设有奖学金制度，凡是有才华的学生，只要在学业上显示出优异才能，就能申报并获得各种类型的奖学金。这种制度，并非仅仅出于经济资助上的考虑，而且主要是为了鼓励学生勤奋好学，因为奖学金的获得意味着获得者的出众才华得到社会承认，所以即使是家庭富裕的学生，也绝不会放弃申报各种奖学金的机会。

哈代大学尚未毕业时，就积极着手准备论文，以便毕业后立即申请“校友奖学金”。剑桥大学的这种奖学金，是为该校毕业生和在校教师而设立的，评选审查的程序非常严格，可谓精中选精，百里挑一，一旦被评选上“校友奖学金”，就可以享受为期6年的奖学金，进入研究生学习阶段。

在刚入大学的时候，哈代的聪明才智就为怀特海教授所赏识。怀特海教授是19世纪至20世纪的数学大师，也是剑桥大学德高望重的数学家，他曾与罗素合作出版了《数学原理》。该书被公认为数学经典。怀特海看中了哈代申请奖学金所撰写的才华横溢的论文，心情异常激动，他亲自为哈代这篇论文写上评语，并向奖学金评选委员会郑重推荐。就这样，哈代获得了1900年度的“校友奖学金”，这就意味着哈代又能在三一学院里继续深造，再过上6年的研究生生活。

1900年哈代年仅24岁，英国著名的数学杂志《数学信使》发表了哈代第一篇分析学论文。此后，他对这方面的问题产生了偏爱，这些问题在他的一生研究中，占据着重要的地位。他围绕着分析学方面的课题作了周密、系统、详尽的探索，准备把他的研究成果，推进到更高的水平，直到他生命的最后几年里，仍孜孜不倦地撰写这方面的论文。

在1901年，哈代和琼斯共同荣获了一年一度的数学大奖——史密斯奖。1906年哈代研究生毕业，由于他年轻有为，积极上进，他的才干引起越来越多人的重视，学校决定让哈代留在剑桥大学任教。

留在剑桥大学任教，并从事自己喜爱的数学专业，一直是哈代的梦想。他像加足了燃料远航的轮船，勇往直前了。留校后的1908年，哈代一举攻克了遗传学中“孟德尔定律”所提出的数学问题，证明了在不受外界影响的条件下，一个种群的基因频率世代不变。不久，哈代又在发散级数领域中取得了重要突破，发现了被誉为发散级数研究先驱的“哈代定理”。

在研究发散级数过程中，哈代结识了年龄同他相仿的的伙伴利特尔伍德，他俩都发现了发散级数方面的定理，于是开始了长达35年的诚挚合作。他俩一共联名发表了近一百篇论文，内容涉及三角级数、加法和乘法数论等广泛领域，为现代数学的发展作出了杰出的贡献。哈代和利特尔伍德的亲密无间的友谊，被传为现代数学史上的佳话。

哈代的数学研究总是挑最难的问题进行。他有一股不服输的牛劲，越是被别人视为畏途的，他越是感兴趣。他爱啃硬骨头，解决了发散级数困难以后，哈代经过反复思考，决定选择难度极大的“黎曼猜想”，作为下一个战略目标，这是一个数学家们屡攻不克的难题。

从古希腊欧几里得证明素数有无穷多个开始，素数问题几千年来一直困扰着欧洲人的智慧。1800年前后，德国数学家高斯和法国数学家勒让德，提出了一个猜想，就是所谓的“素数定理”。它作为数论中最著名的猜想，而震惊数学界。50年后，俄国数学家切比雪夫首先冲刺，得到了部分结果。1859年德国数学家黎曼，又强化了素数个数的猜想，吸引了更多人的注意。19世纪末，法国数学家阿达马和瓦莱·普森又前进了一大步。

黎曼猜想的研究，最关键的一步是哈代作出的。他在1914年对证明黎曼猜想作出了重大突破，它使得哈代在向黎曼猜想的历史性进军中，处于遥遥领先的地位。

黎曼猜想至今尚未解决，但数学家们仍然充满着信心，黎曼猜想一直吸引着第一流数学家的注意，1942年，仿效哈代的证明方法，西尔伯格又向前跨进一步；1968年美国三位数学家用计算机参与计算和证明，又取得了重要进展，1974年美国麻省理工学院的莱文森，又向着解决黎曼猜想问题走近了一步。

在实际中，有许多事实支持着黎曼猜想的正确性，但是数学史中不乏例证，说明有限推理的不可靠性。所以尽管已有的事实证明黎曼猜想是正确的，但事实并不是证明，只有确凿的事实再加上明晰的逻辑证明，才能算是解决了一个数学问题。

哈代从解析数论的角度出发的证明结果，震惊了整个数学界，他因此被誉为当代的解析数论专家。

哈代在剑桥大学工作的时间较长，1919年后，他去牛津大学任教授。人们赞扬他是数学领域中的一个出类拔萃的人。他担任牛津大学教授不久，拉曼纽詹不幸逝世。由于失去了一位得意门生，使哈代陷入捶胸顿足的悲痛之中。在纪念拉曼纽詹的周年时，哈代回忆着这位聪颖过人的印度青年数学家的往事……

那还是他在剑桥任教的一天，当日收到的邮件中一封沉甸甸的大信封，引起了哈代的注意。拆开信封一看，原来是来自印度一位青年数学爱好者的数学论文。

哈代为论文的引人入胜和逻辑推理的严密性而感到兴奋，也为印度青年数学爱好者的贫窘生活而感到担忧。他在修改、润色论文之后，决定邀请拉曼纽詹到剑桥来一道工作，并提供全部生活费用与往返旅费。

一年后，在哈代的书房里出现了一个动人的场面：一位英国伯乐，急于想见见千里宝驹；而一位才华过人的印度年轻人，一心想见见英国数学界的泰斗。哈代发现这位印度青年是一位有前途的数学家后，便给予了精心的培养，一道进行了许多出色的合作研究。就在他即将学成，可以为印度科学发展贡献自己的才华时，聪颖过人的拉曼纽詹却因病不得不于1919年2月返回印度，翌年4月不幸逝世。

噩耗传来，哈代悲痛万分。他亲自参加治丧工作，亲自编辑出版一部拉曼纽詹的论文集，以寄托自己的哀思，表现出了一位识才爱才，甘为人梯的科学家的高尚精神。

哈代一生同许多人真诚地合作过，除了上述利特尔伍德和拉曼纽詹外，还有兰道、波利亚、赖特等十几位著名数学家。对于合作研究的贡献评价问题，哈代曾说：

“论文的每个合作者应该得到比论文不止一半的荣誉。”他总是避而不谈自己是许多论文的创作者。然而，哈代对现代数学分析学的深远影响，是举世公认的。他那谦虚、谨慎、与人为善的崇高精神一直影响着后人。

1938年，哈代开始担任伦敦数学会的主席。该数学会在哈代的影响下，学术空气十分活跃，教授们与研究生们共聚一堂，一样宣读论文。学术研讨是自由而深刻的。直到他1942年退休以前，“利特尔伍德——哈代数学讨论班”一直正常活动，在讨论班上，会议一般由哈代主持，他所处理的问题多种多样。他首先对每个学术题目加以综合分析，抓住它们的重点，提出一些启发性的评注，然后请大家讨论，集思广益。尽管对有些学术题目，就哈代研究的深度来讲，没有参加讨论的必要，但他始终认真地对待，这种讨论班形式后来为各国数学家所接受，成了集体数学研究攻关和合作的普遍的形式。

在电子计算机改变整个20世纪数学面貌之前，德国数学大师希尔伯特和哈代是影响最大的两个著名数学家。他们研究的数学问题，几乎主宰了20世纪上半叶的数学发展。

哈代培养出了像维纳等在电子计算机时代大显身手、影响以后的科学高度发展变化的优秀学生。在他们身上，卓越的献身精神和刻苦钻研的哈代风格，依然可见。

哈代一生把全部精力都献给了数学。他放弃了生活上的舒适、享受，把自己的欲求压缩到最小的限度。但是绝不要以为哈代是一个孤僻、乖戾的人。人们在他1940年元旦给朋友的明信片中，可以看到他的性格之一斑。他提出6点新年希望：①证明黎曼猜想；②举行最后一场板球比赛；⑧找到公众所信服的不存在上帝的论证；④首次登上珠穆朗玛峰；⑤在英国和德国等国家宣布民选的总统；⑥处死墨索里尼。从中人们可以看到，哈代是一个爱好运动、待人真诚、谈吐风趣、极富正义感和反对迷信的伟大人物。

1947年12月1日，哈代卒于英国的大学城剑桥。这时候电子计算机已经走上时代的舞台，开始变革着现代数学发展的历史进程，整个科学发展为之一新，但是人们仍然牢记哈代的价值，哈代的精神……

你应该小心一切假知识，它比无知更危险。

——萧伯纳