笛卡儿和费尔马的解析几何思想

8.1.1 变量数学产生的历史背景

变量数学是相对于常量数学而言的数学领域．常量数学的对象主要是固定不变的图形和常量．常量数学是描述静态事物的有力工具．可是，对于描述事物的运动和变化却是无能为力的．因此，变量数学应运而生．变量数学的产生有其经济背景和数学背景．

1.社会生产力的发展是变量数学产生的强大动力

17世纪的欧洲是一个经济迅速增长的时代．经济的增长依靠机器的作用和改进；而机器的作用和改进则需要科学和技术的进步为其后盾．于是，一个科技进步与经济增长的良性循环产生了．生产力的发展对数学提出了新的要求，而数学的局限性越来越明显．例如，航海业的发展向天文学，实际上也是对数学提出了如何精确测定经纬度问题；航海业又促进了造船业，造船业又向数学提出了描绘船体部位的各种形状、风帆的样式以及船体的阻抗介质中的问题；煤炭作为主要燃料被采用，使采掘业成为当时最重要的行业，这也提出了研究透镜镜面形状的问题；随着军事技术的发展，弹道学变得重要起来，其中抛物体运动的性质显得越来越重要，弹道学要求正确描述抛射体的运动轨迹．计算炮弹的射程．特别是开普勒发现行星沿椭圆轨道绕太阳运行，要求用数学方法确定行星的位置，等等．所有的这些问题都难以在常量数学的范围内解决．总之，虽然不明显存在促进变量数学产生的实际问题，但是促成变量数学产生的经济的以及其他的社会需求是存在的．

2.变量数学的产生是数学发展的必然趋势

变量数学的产生与当时的数学状况很有关系，首先是数学观的变化，生产力的发展带来数学观和数学的重大变化．经过欧洲文艺复兴后，欧洲人继承和发展了希腊的数学观，认为数学是研究自然科学的有力工具．伽利略把数学运用于力学，建立了自由落体的力学定律，并为一般力学奠定了基础；开普勒把数学运用于天文学，建立了行星运动的三大定律，希腊人导出圆锥曲线的性质后1800年才出现这一光辉的实际应用．这些新成果的开发和新理论的酝酿，都向数学提出了一系列的新问题，而传统的几何学缺乏解决这些问题的能力．为了适应生产力的需要，数学要能反映这类运动的轨迹及其性质等，就必须从观点到方法上来一个变革，创立一种建立在运动观点上的几何学．

除了数学观的变化之外，17世纪初期的数学在内容上也有很大的变化．这种变化为变量数学的产生创造了条件．其中代数的进步所产生的影响最大．比如，从16世纪中期后，代数学两个新的发展势头，一是数学符号化的倾向，二是对解方程理论的深入研究，特别是数学符号化倾向．更是变量数学产生的前提．因为数学符号化深刻地反映了数学思想的潜在变化．为用数学来研究运动和变化创造了条件．

8.1.2 解析几何的创立与发展

1.关于笛卡儿

笛卡儿

图8-1

笛卡儿(Descartes，1596～1650)是法国杰出的哲学家、物理学家和数学家，又是生物学的奠基人．笛卡儿是他那个时代最具天赋的数学家之一，他一生多姿多彩，令人无法相信在他54岁，正值盛年时去世之前，竟然已经有那么多的成就．

1596年3月31日，笛卡儿出生于法国土兰，双亲是贵族，但出生几天之后，母亲就去世了．医生宣布这个病婴不久也会死亡，可是他活下来了．纵然从来就不是一个健康的孩子，成年后仍体质虚弱．

笛卡儿在十分稚嫩的8岁幼龄就进入耶稣会的学校，接受了8年的古典教育，然后在1612年前往巴黎，就读于波提耶大学．并于1616年取得了法学学位．然而他不喜欢法律，却喜欢数学和哲学，到了20岁还不想安定下来，于是就投入了位于荷兰布列达的一所军事学校．

1618年11月10日，发生了一件成为笛卡儿终生转折的事件．那时他正在驻防布列达．他在街上看到一群人聚集在一张告示前面，就请一位旁观者为他翻译告示上的法兰德斯文，才知道那告示是在为一个数学问题公开征答．

站在群众面前，笛卡儿随口说出那问题简单得很！而那位旁观者原来是铎特荷兰学院的校长比克曼．他挑战笛卡儿，要笛卡儿兑现其大话，立即提出问题的答案，笛卡儿做到了．比克曼也马上发现这位年轻人具有很高天赋，给了他几个很有价值的问题去求解，并鼓励他继续作数学研究．两年后，笛卡儿还留在荷兰，在比克曼的指导下研究科学．

然而，笛卡儿并未结束他的流浪生涯．1619年，他又参加巴伐利亚部队，于随后的9年间，他在欧洲各处游历，为好几个国家的军队作战．可是他对数学和哲学的思考一直没有停止过，并且利用部队转防的机会，会晤欧洲各式各样的科学家．其中一位出名的是明尼密提修士梅森(Marin Mersenne，1588～1648)神父，梅森和笛卡儿读过同一所耶稣会学校．梅森住在巴黎皇宫附近的修道院，在修道院中主持一个为科学家及数学家举行的定期研讨会．这个研讨会一直持续到梅森死去，在1666年演进成为法国科学院．

梅森神父除了管理这个研讨会之外，还担任欧洲各数学家之间的沟通渠道．这里面包括笛卡儿、伽利略、费尔马以及其他许多人等．每当数学家有新的数学理念，在尚未公开发表之前，时常由梅森传达给其他数学家．在有些情况下，这种做法会导致发现先后的争执．比如，后面将看到，费尔马与笛卡儿之间，以及莱布尼茨与牛顿之间，就发生过这样的争执事件．

1628年，在笛卡儿32岁的时候，他决定终止浪迹生活，找一个地方安定下来．他选择了荷兰，因为荷兰对于新颖的思想似乎采取特别自由的态度．在这里一住就是20年，这期间，他潜心钻研哲学和数学，撰写了许多论文与著作．1628～1630年，他撰写了第一篇方法论论文《指导思维的法则》．他的第一本重要著作《世界体系：光学》(Le Monde，ou Traite de la lumiere)于这一时期完成，这是一本关于物理的论述．然而十分不幸的是，发生在意大利的一件迫害事件使他退缩，不敢把书出版，唯恐受到天主教的惩罚．

事件的中心人物是伽利略，他与笛卡儿同时代，年纪较笛卡儿稍长．伽利略以研究运动及他的多项发明闻名欧洲．可是，他明显地让他自己站在哥白尼(Nicholas Copemicus，1473～1542)这一边．哥白尼主张，地球和所有的其他行星都绕着太阳转动．而不像亚里士多德和天主教会的教义所指示的那样，太阳、行星甚至恒星都绕着地球转动．1632年，伽利略发表极具争议的论述《两个世界系统的对话录》，论证出日心理论的优越性．包括教皇在内的教会领袖，都不认可他的说法，于是他被召去罗马，以异教徒的罪名被审判及定罪．最后，他被迫撤回日心说，又被处于软禁家中，余生禁止出版著作．

伽利略以异教徒罪名被审判的时候，受到笛卡儿的注意．在当时，欧洲(当然也包括荷兰)的学术思想受天主教所控制．虽然笛卡儿所定居的荷兰比较自由，但是如果他攻击宗教法庭，无疑是不理智的事情．结果，他的物理著作直至他死后才发表．1637年，笛卡儿发表了他论及科学方法的著作《方法论》，简述了他的机械论的哲学观点和基本研究方法，成为他的重要哲学成果之一．作为《方法论》的三个附录《折光》、《气象》和《几何学》是笛卡儿最重要的科学论著．在《几何学》这个附录中，勾勒出代数式与几何图示相互关联的方法，这个新的方法从此改变了数学的面貌．笛卡儿将代数与几何结合起来之后，诞生了一门新的数学——解析几何．

关于导出笛卡儿的解析几何思想的最初一闪念，有几个传说，其中一个是说，解析几何思想出现于梦中．另一种能与牛顿看见苹果落地的故事相媲美，说是最初一闪念是看见一只苍蝇在天花板上爬行时出现的，笛卡儿认为，只要知道苍蝇与相邻两墙的距离之间的关系，就能描述苍蝇的路线，因而发明了解析几何．

解析几何是代数与几何的结合，并产生了威力强大的新数学形式，敞开了数学的大门，让许多后人进一步深入探讨．继而发现了更高深的数学——微积分．

在发明解析几何之后的几年里，笛卡儿陆续撰写了重要著作．1641年，他发表了《第一哲学的沉思录》，这本书在哲学界简称为《沉思录》．传说当笛卡儿还在军中时，就写出了初稿，在一次战斗暂歇期间，他的同胞在荷兰的一个面包店休息，大家在喝酒赌博，吵闹不休，笛卡儿为了找一个安静的地方写作，就爬入一座废置不用的大型烤炉中．关起炉门在里面就着烛光和纸笔，写成了《沉思录》的初稿．这本书中有我们最常引用的名句：“我思，故我在！”

笛卡儿在哲学方面的成就不可忽视，他是近代理性主义者，认为对于一切主张，我们应该依照证据所能证实的程度，来决定取信与否．这与他那个时代，凡事都要听从权威的做法，大相径庭．那时一个人若想要知道真理，他只能求教于专家或权威，比如亚里士多德或教皇．笛卡儿摒弃传统权威式的真理检验方法，主张每一个命题与论段，依据事实和逻辑的支持来决定其正确与否，这在那个时代是非常新颖的理念．

1644年，笛卡儿发表了他的《哲学原理》，5年后，他受瑞典女王克莉丝丁娜的邀请，迁往她的宫廷，为她讲授哲学和数学．很不幸的是，宫廷中每天清晨5点钟就要开始工作的严格作息，加上北国的冬天更加寒冷，让笛卡儿虚弱的体质崩溃．1650年2月11日，笛卡儿在他54岁生日之前7个星期，因肺炎逝世．

2.笛卡儿的解析几何思想

笛卡儿的《几何学》一书共3卷．主要是围绕希腊几何学中的作图问题而展开讨论的．在第一卷中，他首先指出，任何几何作图问题的实质在于，定出所求线段的长度，这相当于指出了几何问题代数化的可能性．为了具体地架起几何与代数相联系的桥梁，笛卡儿引入了单位线段的概念，建立线段与数之间的平行关系，这就为几何问题代数化打下了基础．

笛卡儿思想的进一步发展，是建立代数与几何的明确而自然的联系，他通过对帕普斯问题的处理，给出了表示他这种思想的具体例子．

问题：设平面上给定四条直线，AB，AD，EF，GH，从点C引直线CB，CD，CF，CH，分别与给定直线构成给定角∠CBA，∠CDA，∠CFE，∠CHG，求满足CB×CF=CD×CH的点的轨迹，如图8-2所示．

图8-2

首先，笛卡儿确定基点和基线，例如以点A为基点．AB为基线．从A量起的基线上的线段AB的长度为x；过点B作一直线BC，得到固定角∠CBA，记BC的长度为y．于是，所有直线都将与x与y发生关系，从而使问题的最终的解决变为一个关于x，y不定方程的求解问题，所得最后结果是C点的轨迹方程是一个二次不定方程

y²=Ax+Bxy+Cy+Dx²　　　　　　(8-1)

接着，笛卡儿说，如果我们任给x一个值，那么方程(8-1)可以解出相应的y值．于是可以用直尺和圆规画出线段BC，从而得到一个点C．如果取无穷多个x值，得无穷多个相应y值．便得无穷多个C点．所有这些C点的轨迹，就是方程(8-1)所代表的曲线．

就这样，笛卡儿把两个本性相差甚远的学科——代数与几何联系起来，并把变量引进了数学，从而完成了数学史上的一项划时代的变革．这一变革不仅使整个古典几何处于代数学支配之下，而且开拓了一个变量数学的领域，特别是加速了微积分的诞生．

3.费尔马及其解析几何思想

如前所述，费尔马被称为17世纪最伟大的数学家．他也和阿基米得、牛顿、欧拉、高斯等数学巨匠并列．费尔马在解析几何、微积分、概率论、数论四个领域中有非凡的贡献，可是他不是职业数学家．

费尔马生前的数学论述都是经由他与梅森神父的共同手稿问世的．后来他的长子又于1670年及1679年把他的著作汇集出版．从那些未出版的手稿中，我们获知费尔马的解析几何思想，关于面积与切线(微积分)的研究，以及他对概率论的共同创始过程．

费尔马的解析几何思想也是从研究希腊几何学开始的．我们知道，对于曲线性质的研究是古希腊几何的一大内容．在对性质的众多曲线研究中，希腊数学家提炼出关于曲线本质的认识——轨迹，他们把所有曲线都称为轨迹，即把曲线看做是对某种固定参考系有某种可度量的所有点的轨迹．例如，圆是平面上到一定点的距离为定长的轨迹；椭圆是平面上到两定点距离之和为定长的轨迹，等等．这些定义，揭示了不同的曲线的本质特征，提供了判别准则．使人可以判断任一已知点是否在所论曲线上．

费尔

马图8-3

不过，希腊数学家的关于轨迹的定义并没有直接提供曲线的统一的研究方法．古希腊几何学中的每一个定理，每一个作图都类似于一件艺术创造，解决的方法彼此不同．这就给他们解决轨迹问题带来了困难．费尔马的高明之处，首先在于他比他的前人及时地看到了造成这种困难的原因，并且相信只有借助于代数，才能使几何获得统一的表示和解决问题的统一方法．

1629年，费尔马撰写《平面和立体轨迹引论》一书，开始了数学方法统一的最初尝试．他是从考察圆锥曲线开始的．阿波罗尼斯曾经证明当圆锥被平面截得椭圆时，有关系式

PM²=k×HM(a－HM)　　　　　　(8-2)

如果把PM和HM当做坐标看待，那么式(8-2)也就成了一个椭圆方程．应当注意，在这里，阿波罗尼斯是把圆锥曲线方程看做几何问题处理，而没有意识到PM和HM是可变的．而且他所建立的圆锥曲线方程只是单向的，不存在研究方程的问题，甚至不考虑运用方程去描绘曲线的可能性．换句话说，在阿波罗尼斯时代，没有也不可能有对数学方法统一性的追求及手段．他们已经走向解析几何的入口处，却进不了大门．

而费尔马却不同，因为他始终怀着对科学需要和方法论兴趣的冲动，明确宣称要寻求研究有关问题的普遍方法，因此，他直截了当地将阿波罗尼斯的结果翻译成代数的形式．例如，他令直径PM=y，HM=x，于是，阿波罗尼斯所得出的那个椭圆特征关系式(8-2)就变成

y²=kx(a－x)　　　　　　(8-3)

其中，x，y脱离了单纯的线段意义，被赋予了代数符号的意义．这就是费尔马所得出的椭圆方程．

费尔马把希腊数学中用立体图苦心研究所发现的曲线的特征，通过引用变量以一贯的方式成功地译成了代数的语言，这不仅使圆锥曲线从圆锥的附属地位中解放出来，而且使得各种不同的曲线有了核心思想之所在．费尔马思想的重要性还在于，他不仅通过引入变量使得曲线获得统一的表示形式——方程，从而使研究曲线的方法有了统一的基础，而且费尔马还明确地表示曲线与方程的联系，应该是双向的．即借助于曲线来研究方程且考察方程所定义的曲线．

4.谁先发明的解析几何

现在统一的观点是，笛卡儿与费尔马共同创立了解析几何．但在历史上有一些争议．作为解析几何的共同创立者，费尔马和笛卡儿两个人在个性上的歧异不可能更大了．虽然他们都拥有法学学位，笛卡儿的数学家和哲学家生涯都过得十分活跃，他闻名于全欧洲，一生中创作无数，他的私生活更充满了冒险犯难．因为他的好赌成性，参军作战，颇得女人青睐是众所周知的．费尔马则恰恰相反．他是个可敬的绅士．他取得学位，然后结婚．过着宁静的生活，抚育子女，从事法律事务．

费尔马于1629年宣称，他已经发明了解析几何，在标题为《平面与立体轨迹导论》的手稿中做了说明．就在笛卡儿发表了解析几何著述之前的几个星期，费尔马把自己那篇手稿寄给了梅森，梅森又寄给其他人，其中也包括笛卡儿．是谁先发明了解析几何？大多数历史学家将之归功于笛卡儿，因为他是第一个公开的．可是费尔马的手稿在那之前就已经传到别人的手中了，这个孰先孰后的问题令笛卡儿相当不安．

若拿笛卡儿与费尔马相比较，费尔马比较属于几何学者，而笛卡儿算是代数学者．费尔马超越笛卡儿的部分是，费尔马率先在他的坐标系统中用两根相互垂直的轴，费尔马找出直线、圆及三种圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的方程式．此外，费尔马还发现了许多新曲线，方法是写出一些新的代数方程，然后用坐标轴检查对应的图形．

5.解析几何的理论价值及影响

解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，同时，又利用代数的研究方法研究几何，开创了几何代数化的新时代．解析几何借助于坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数，几何与代数统一起来．从进一步的分析还可以发现，这种方法之所以强有力，是因为形与数的联系比人们想象的要紧密得多，许多复杂的几何现象是通过解析方法发现的，这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题．所以，解析几何具有深远的意义．

(1)促进了人们对空间图形的认识的变化．从而把几何学推到一个新的阶段．几何与代数的有机结合不仅为几何学提供了新的方法，使许多难以解决的几何问题变得简单易解，更重要的是为几何学发展注入了新的活力，增添了新的内容．

(2)为代数提供了新的工具，开拓了代数学的新的研究领域．

几何与代数的结合不仅直接影响和改进了传统的几何学，扩大了几何学的研究对象，丰富和发展了几何学的思想方法，而且也使代数学获得了新的生命力．正如著名数学家拉格朗日(Lagrange)所说，只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．

但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取对方的新活力，并迅速地趋于完善．另外，解析几何的创立，把函数引进到数学，这为微积分的创立准备了必要的条件，加速了微积分形成的历史进程．因此，从这个意义上说，解析几何的产生是微积分创立的前奏．