某小化工厂的最大产值规划[]

某小化工厂生产A﹑B两产品，市场售价各7万元/千克和12万元/千克。生产每千克 A要耗煤9吨﹑电4千瓦时﹑劳力3个；生产每千克 B耗煤4吨﹑电5千瓦时﹑劳力10个； 现该厂每月可得到煤360吨，电力200千瓦时，劳力300个。问在规定条件下应怎样规划产品A﹑B的产量，工厂可获最大月产值。

毋庸置疑，求解上述问题，必需进行合理规划，给出的解一定是规定条件下“最优的”解。如何理解这个“最优的”解？

本题中，如生产资源供应（煤﹑劳力等）可不受限制，两种产品当然就可多多生产，从而获利多多，此不属优化问题，相当于只有生产目标要求，没有任何限制；而若两产品的产量都安排的少，生产可轻松进行，但可能生产资源用不完，总产值也很低；或者安排不当，例如资源过多用于生产低价值产品，虽然资源用完，得到的总产值却不高。与以上不同的是，既能充分利用资源，又保证取得最大工厂效益，则生产安排就成为一个要解决的最优化问题。

求解线性规划问题，首先需将问题的语言说明转换成用数学语言表达。显然，本题容易构建出如下的生产运作数学关系：

写成线性规划的一般形式

式（3.1）称为本问题的线性规划数学模型，首行表示问题的（生产）目标要求，称目标函数，这里要求总产值最大。“max”表示“求最大”，如要 “求最小”，写“min”；“s.t.”（subject　to）表示“满足于”﹑“受约束于”；二﹑三﹑四行分别写出具体约束关系。最下行的“A≥0，B≥0”写法表示线性规划变量的值“不为负”，一般写为“Xi≥0”。显然，式（3.1）对问题的说明与问题的语言说明一致。

线性规划的约束函数可为等式或不等式，为等式时写“=”，为不等式时写 “≥” 或“≤”。求目标函数最优值时，所有约束条件必须同时满足！ 这里规定，约束函数接着目标函数行写（求解程序编制规定），约束行哪个在前哪个在后皆可。Xi≥0为线性规划问题的特征（非线性规划问题无此规定）。实际的线性规划问题有时也会遇到变量为负的情形，此时要设法做非负变换处理。例如温度为负值，可将该变量数值统加某值，消除负数，进行优化求解，优化结束再将温度值还原回来。

变量在数学模型中的写法，没有特别规定，用何种符号表示皆可，一般用带下标的X表示。

下面说明怎样将问题的数学模型输入线性规划求解程序LP并求解的方法。

向计算机输入过程优化信息时，同回归分析一样，也须采用程序可接受的格式规定，书写一个数据块。此处先写出求解例3-1应输入的数据块格式，随后做写法说明：

首行“LP9：”，为该数据块行标号，其中“LP”表示为线性规划问题的数据块，不能写其他文字；“9”为数据块编号，可为顺号，目的是使数据块间相互区别，此为隐蔽状态，去掉数字为打开状态，可调用。其后接写3个数据：首个标明对目标函数的优化求解方向，求最大时写“1”，求最小写“-1”，本例写“1”，表示目标函数求最大值；第二个数标明问题所含变量个数。此变量个数包括问题所纳入的全部变量数（问题维数），这里为“2”，表明本题有两个变量；第三个数标明约束函数个数，这里为“3”，表明本题有三组约束条件需同时满足（注意不包括Xi≥0）。至此，首行写完。

第二行为目标函数系数矩阵，开头写“DATA”，表明本行为（输入）数据行，随后按顺序逐个写出目标函数的变量系数，也称价值系数，若实际的目标函数缺某变量，应在该位置上写“0”。

第三行及以下各行，分别书写具体的约束函数系数（列）矩阵，每行皆以DATA开头，系数一个接一个写。注意，将某未包含变量的系数写作“0”，使相同变量的系数写在同一列内。本例没有变量不全的情形，而在以下各例中都有。每行关系符前的数据总个数必须等于总变量个数。写很多“0” 的情形在线性规划问题数据块中经常出现和大量存在。每行约束函数系数列矩阵写完，接着写一个表示逻辑关系的数，关系为“≥”时写“1”，为“=”时写“0”，为“≤” 时写“-1”。本例三个约束条件皆要求“≤”，故都写 “-1”。最后接写一个具体的逻辑关系要求满足的数值，称“右端常数”或“关系常数”，此处分别为360﹑200和300。

数据块必须按以上规定写，此在程序编制时做了规定，是使用本线性规划程序LP的关键一环，采用其他输入格式为错误操作。数据块写好后，一定不要忘记为它写一个行标号，写入首行。