间断的基本概念

函数的连续性分三个层次：在一点连续，在区间上逐点连续及一致连续。

在一点x₀处连续的叙述：

方式（一）　

方式（二）　∀ε>0，∃δ>0，当｜x－x₀｜<δ时，有｜f（x）－f（x₀）｜<ε

方式（三）　

从方式（三）去理解：自变量的微小改变引起的函数值的改变也很微小。

间断点的分类：第一类（可去，跳跃）和第二类（至少有一个不存在）

题型一　具体的连续性讨论（包括寻求间断点及其类别）

例1　指出函数的所有间断点及其类型

例2　构造满足如下条件的函数。

（1）仅在一个点x＝a处连续，而在其他点间断。

推广至：仅在有限点a₁，a₂，…，a_n连续；

　　　　仅在一个点可导，而在其他点间断；

　　　　仅在有限个点可导，而在其他点间断。

又　问：有无仅在一个点可导的连续函数？

　　　　有无处处不可导的连续函数？

（2）在无理点连续，在有理点间断（R（x））。

上述两个例题的解答部分从略。请读者朋友自行思考。

题型二　形式函数连续性的讨论或证明。

例3　设f（x），g（x）均在［a，b］连续，证明

M（x）＝max｛f（x），g（x）｝，m（x）＝min｛f（x），g（x）｝也在［a，b］连续。

证法一　当f（x₀）≠g（x₀）时，不妨设f（x₀）<g（x₀），∃U（x₀；δ），st在其上，f（x）<g（x），于是M（x）＝g（x），（x∈U（x₀；δ）），x₀自然是M（x）的连续点；

关键是当f（x₀）＝g（x₀）时，此时M（x₀）＝f（x₀）＝g（x₀）

各由f（x），g（x）的连续性，∃δ₁，δ₂，当｜x－x₀｜<δ₁时，｜f（x）－f（x₀）｜<ε；当｜x－x₀｜<δ₂时，｜g（x）－g（x₀）｜<ε_。取δ＝min｛δ₁，δ₂｝，则当｜x－x₀｜<δ时，有

M（x₀）－ε<f（x），g（x）<M（x₀）＋ε

所以

M（x₀）－ε<M（x）<M（x₀）＋ε

M（x）在x₀点连续，由x₀的任意性知，M（x）∈C［a，b］。

证法二　利用公式

推广：设f₁（x），f₂（x），…，f_n（x）都连续，试考虑的连续性。

例4　设f（x）∈C［a，b］，令，（a≤x≤b），则h（x）亦连续。

分析

当f（x₀）<h（x₀）时，易证得在x₀的某邻域内，h（x）≡h（x₀），故连续。

当f（x₀）＝h（x₀）时，∀ε>0，∃δ>0，当｜x－x₀｜<δ时，｜f（x）－f（x₀）｜<ε，亦即h（x₀）－ε<f（x）<h（x₀）＋ε，故x∈［x₀－δ，x₀＋δ］时，，及h（x）>h（x₀）－ε。

合起来即｜h（x）－h（x₀）｜<ε（｜x－x₀｜<δ），所以h（x）连续。或证：

例5　截断函数的连续性。设f（x）∈C［a，b］，定义f_n（x）如下：

则f_n（x）也是连续函数。

分析　若f（x）非负，则f_n（x）＝min｛f（x），n｝显然连续。一般情形，f_n（x）可以看作是f（x），n，－n三个函数的居中者，故是连续的。

证明　关键当f（x₀）＝n或f（x₀）＝－n时，f_n（x）的连续性，证明的思路和例3类似。∀ε>0，∃δ>0，当｜x－x₀｜<δ时，有n－ε<f（x）<n＋ε

于是　　　　　　　　n－ε<f_n（x）≤n

即有

｜f_n（x）－f_n（x₀）｜<ε

或证：利用复合函数，令

显然h_n（u）是连续函数，于是复合函数截断函数亦连续。

证三　三个连续函数的居中者必连续（请读者证明之）。

逆命题　若［a，b］上定义的函数f（x），其任意n截断函数皆连续，则f（x）也一定连续。

点态连续问题，首先要任取一个点x₀∈［a，b］。

证一　若f（x）在x₀的附近有界，如存在K>0和δ₀>0，当x∈U（x₀；δ₀）时，｜f｜≤K，则取n＝［K＋1］，在U（x₀；δ₀）上必有f_n（x）≡f（x），x₀必是f的连续点，反证法设x₀是f（x）的无穷间断点，不妨设，∀G>0，∃δ>0，使得x₀<x<x₀＋δ时，f（x）>G。

特取G＝［｜f（x₀）｜］＋2，则f_G（x）必在x₀处间断。

（因为f_G（x₀）＝f（x₀）；f_G（x）＝G>f（x₀），（0<x－x₀<δ时））

证二　直接证∀x₀，取N，st －N<f（x₀）<N。进一步，取ε>0，使得－N<f（x₀）－ε<f（x₀）＋ε<N。已知f_N（x）在x₀处连续，f_N（x₀）＝f（x₀），对上述ε>0，∃δ>0，当｜x－x₀｜<δ时，｜f_N（x）－f_N（x₀）｜＝｜f_N（x）－f（x₀）｜<ε，即

－N<f（x₀）－ε<f_n（x）<f（x₀）＋ε<N。

此时f_N（x）＝f（x），所以｜f（x）－f（x₀）｜<ε

证三　利用定理：R上（或开区间）上的函数连续的充要条件是任意开集的原象是开集。由开集的构成定理，“任意开集”也可以置换成为“任意开区间”且为有限开区间。任取开区间（α，β），设f^－1（α，β）非空。取n₀>｜α｜＋｜β｜，当x∈f^－1（α，β）即α<f（x）<β时，，所以，而是连续函数，为开集。当（α，β）是无限开区间时，可以转化为有限开区间的并集讨论。

例6　设f（x）是定义在区间（a，b）的凸函数，则f（x）在（a，b）连续。

首先，复习凸函数的定义，f定义于区间I上，∀x₁，x₂∈I以及λ∈［0，1］，恒有

f［λx₁＋（1－λ）x₂］≤λf（x₁）＋（1－λ）f（x₂）

凸函数的明显几何特征：（1）割线恒位于曲线上方；（2）割线右移时（至少一个端点右移），其斜率递增。

设Mi（x_i，f（x_i）（i＝1，2，3）是曲线上自左往右的三个点，x₁<x₂<x₃

则有，即

证（*）式：设x₂＝λx₁＋（1－λ）x₃，则

f（x₂）≤λf（x₁）＋（1－λ）f（x₃）

从而

f（x₂）－f（x₁）≤（1－λ）［f（x₃）－f（x₁）］

f（x₃）－f（x₂）≥λ［f（x₃）－f（x₁）］

以λ代入即得（*）式。

关于凸函数，还有一个重要的特性：

凸函数一定是单侧可导的（即处处存在左导数和右导数）。

证　以右导数为例，分析，连接M₀（x₀，f（x₀））和M（x₀＋h，f（x₀＋h））的割线斜率F（h）递增，），当h↘0时为递减趋势。下证有下界。

任取一点x′∈I且x′<x₀，则，故f′_＋（x₀）存在。于是f（x）在x₀处一定连续。

或：从图形分析，F（h）上方、下方有界。

注　本题针对的是开区间：开区间上的凸函数一定连续，但闭区间［a，b］上的凸函数又如何呢？

只能得出在（a，b）连续，因为在端点a、b处可以旱地拔葱式地提升函数值而不影响凸性。

习题2.1

1．设在x＝1处连续，试求a，b之值。

2．设f₁（x），f₂（x），f₃（x）均在［a，b］连续，定义h（x）为上述三个函数值中居中的一个，则h（x）也连续。

3．设f（x）在（a，b）内只有第一类间断点，且∀x，y∈（a，b）有

　求证f（x）连续（亦即Jensen凸的函数必只可能有第二类间断点）。

　（提示：令x＝x₀，y→x₀＋0，或y→x₀－0等等，再令x＝x₀－h，y＝x₀＋h代入，令h→0，第一类间断点的用处在于存在单边极限。）

4．设f（x）在［a，b］上连续，r_n→0是趋于零的数列。若∀x∈（a，b）有

　证明f（x）是线性函数。