多元线性回归分析与非线性回归分析

这里简单介绍多元线性回归（复回归）分析和一元非线性回归（曲线回归）分析。

前面我们研究的都是因变量仅受一个因素（自变量）变动影响的回归分析。然而，在现实中，某一现象变动常常受多种因素变动的影响。例如，消费除了受本期影响之外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。这就是说，影响因变量变动的自变量通常不是一个，而是多个。这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。

多个自变量的回归分析为多元回归分析，也称复回归分析。这里只介绍多元线性复回归分析，即研究在线性相关条件下，两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系。表现这一数量关系的数学公式，称为多元性回归模型或称为复回归模型。多元性回归模型是一元性回归模型的扩展，其未知参数的求解原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已，这里简要介绍一下。

n元线性回归方程的形式为：

（一）一元非线性回归的意义

在现实生活中，非线性关系是大量存在的，例如人的身高与年龄的关系，显然，是不可以用直线方程来拟合，这类问题我们称为曲线回归问题或非线性回归问题。如果自变量与因变量之间为曲线相关或非线性相关，则要用曲线回归分析。曲线回归分析就是根据曲线的类型建立相应的曲线回归方程。

（二）一元非线性回归方程的确定

在对实际的客观对象进行定量分析时，选择回归方程的具体形式应遵循以下原则：

（1）方程形式应与经济学的基本理论相一致。例如，采用幂函数的形式能够较好地表现生产函数；采用多项式方程能够较好地反映总成本与总产量之间的关系等等。

（2）方程要有较高的拟合程度。因为只有这样，才说明回归方程可以较好地反映现实经济的运行情况。

（3）方程的数学形式尽可能简单。如果几种形式都能基本符合上述两项要求，则应该选择其中数学形式比较简单的一种。一般来说，数学形式越简单，其可操作性就越强。

下面扼要介绍较常用的几种一元非线性回归方程的形式。

1. 指数曲线方程

指数曲线的方程为：

y=abx

线性化的方法为对方程两边取对数：

lgy=lga+xlgb

令Y=lgy，A=lga，B=lgb，则转化为直线方程：Y=A+Bx，求解a和b的方法为：以Y与x的直线回归方程先求出A和B的值，然后用反对数再求出a和b的值。

2. 二次曲线方程

二次曲线的方程为：

y=a+bx+cx2

求解a、b、c三个参数的方法为：将x、x2看作两个自变量，按多元线性回归分析的方法解出a、b、c的值。

求解a、b、c的方程组为：