狄拉克方程和第一个意想不到的礼物

正在这期间，量子力学研究领域发生了一件大事，薛定谔按照德布罗意电子是一种波的思想，提出了自由电子的波动方程，即前面提到的薛定谔方程。

狄拉克可能是在1926年3月中旬第一次听说薛定谔方程的，那时德国物理学家索末菲在剑桥大学访问。4月9日，海森伯写了一封信给狄拉克，想知道狄拉克对薛定谔方程有什么看法：“几周以前，薛定谔发表了一篇文章……您认为薛定谔对氢原子的处理方法究竟与量子力学有多大关系？我对这些数学问题很有兴趣，因为我相信这个理论将有巨大的物理意义。”

海森伯信中说的“量子力学”还只是指他发现的“矩阵力学”，还没有想到薛定谔方程后来会成为量子力学的首要方程。狄拉克早在1925年夏天就赞成德布罗意的物质波理论，并且证明这个理论与爱因斯坦光量子理论等价，但是当时狄拉克太专注于海森伯的矩阵理论，没有想到把物质波理论发展成量子力学的理论；薛定谔的理论发表后，他也没有认为它值得深究。狄拉克在回忆中曾写道：

起初我对它（薛定谔的理论）有点敌意……为什么还要倒退到没有量子力学的海森伯以前的时期，并重建量子力学呢？我对于这种必须走回头路，或许还得放弃新力学最近取得的所有进步而重新开始的想法，深感不满。一开始我对薛定谔的思想肯定怀有敌意，这种敌意持续了相当一段时间。

后来，泡利和薛定谔先后证明薛定谔的波动力学和海森伯的量子力学（矩阵力学）在数学上是等价的以后，狄拉克对薛定谔理论的“敌意”立即消失了，并认识到在计算方面波动力学在许多情况下更优越。他还发现波动力学正合他的需要，可以和他熟悉的分析力学、相对论力学一起使用。因此，他立即开始紧张地研究薛定谔的理论，并很快就掌握了它。

我们知道，狄拉克一直钟情于相对论，深知相对论方程里时空融合在一起，在洛伦兹变换下应该是协变的。但薛定谔方程中时间和空间扮演着截然不同的角色，所以它的非相对论性是固有的和明显的。

薛定谔并不是不知道这一点，他明白相对论的考虑至关紧要。前面我们提到过，最初他导出的是一个相对论性的方程，但他没有发表，因为这个方程所导出的精确氢原子光谱与实验测定值不符。为此他沮丧了几个月，后来他放弃了相对论性波动方程，得到了一个与实验值相符的非相对论性波动方程（即薛定谔方程），他把它公布于世，却因此大获名声，还在1933年为此获得了诺贝尔奖。薛定谔后来向狄拉克谈到了他的这一经历，狄拉克在《激动人心的年代》一文中记录下来：“薛定谔深感失望。（他的第一个相对论性方程）这么漂亮，这么成功，就是不能运用于实践中。薛定谔该怎么面对这种情况？他告诉我，他很不开心，把这事放下了几个月。……对于放弃第一个相对论性方程，他一下子不下了决心。”

狄拉克认为，薛定谔本应该坚持他那漂亮的相对论性理论，不用太多地考虑它和实验的不一致。狄拉克的这一思想成为他“数学美原理”的基石。

1926年底，电子自旋和相对论有着密切联系得到了普遍的承认（请参见本书“拨云睹日：泡利不相容原理和电子自旋的发现”这一章），但自旋、相对论和量子力学三者间如何自洽地统一到一个理论之中，人们观点很不一致。在薛定谔方程里，自旋只能作为一个假设置入其中，方程本身没有这个解。这显然不能令人满意。

狄拉克有强烈的信心，认为自旋问题不足虑，用不了许久就会被弄清楚。十分有趣的是，1926年12月，当狄拉克在哥本哈根访问时，他与海森伯就什么时候能正确解释自旋还打了一个赌。1927年2月海森伯在写给泡利的信中写道：“我和狄拉克打了一个赌，我认为自旋现象就像原子结构一样，至少还要三年时间才能被弄清楚。但狄拉克却认为在三个月里（从12月初算起）肯定可以了解自旋。”更有趣的是，一直不相信电子有自旋的泡利本人，差不多在同时与克拉默斯打赌说：“不可能构造一个相对论性自旋量子理论。”

玻尔（左）、海森伯（中）和狄拉克在林道诺贝尔获奖者聚会上（1962年6月）。

狄拉克在与海森伯打了赌以后，开始研究电子自旋问题，与此同时，他也在潜心寻找一个相对论性波动方程，但应该指出的是他也并没有把这个方程与自旋联系在一起。海森伯与狄拉克的打赌，各对一半。狄拉克在三个月里没有弄清楚自旋，但在两年（而不是三年）后就意外地弄清楚了，而且是在他提出相对论波动方程以后由方程自动提供的！泡利的打赌则完全以失败告终。

事情的经过如下：1927年10月，第五届索尔维会议狄拉克受到邀请，这说明他已经成为世界顶级物理学家之一。在会议期间，狄拉克向玻尔提到了他对相对论性波动方程的看法。哪知玻尔回答说这个问题已经被克莱因（Oskar Klein，1894—1977）解决了。狄拉克本想向玻尔解释他对克莱因的方程并不满意，但会议开始后，他们的谈话中止，此后他也没有和玻尔进一步深谈。狄拉克是一位腼腆少言的人，而且厌恶争论。他只是认为：“这件事使我看清了这样的事实：一个根本背离量子力学某些基本定律的理论，很多物理学家却对它十分满意。……这和我的看法完全不同。”

从布鲁塞尔的索尔维会议回到剑桥以后，狄拉克撇开其他问题，专注于研究相对性电子理论。令所有人惊讶的是，两个月内整个问题全都解决了。1927年圣诞节前几天，C. G. 达尔文到剑桥时得知狄拉克的新方程，在12月26日写信告诉玻尔：“前几天我去剑桥见到了狄拉克，他现在得到了一个全新的电子方程，它们很自然地包含了自旋，好像就那样自然而然地得到了。”

狄拉克就像发现X射线的伦琴一样，通常独自一人工作，几乎是秘密而不为人知的。英国物理学家莫特在《回忆保罗·狄拉克》一文中写道：“狄拉克的所有发现对我来说，都来得很突然，它们仿佛在那儿等着他去发现。我从来没有听到他谈到它们，它们简直就是从天而降！”

狄拉克划时代的论文《电子的量子理论》（The quantum theory of electron）于1928年分两部分发表于《皇家学会会报》的1月和2月号上。文中的电子相对性波动方程就是鼎鼎大名的狄拉克方程。

狄拉克方程是建立在一般原理之上的方程，而不是建立在任何特殊电子模型之上。当泡利、薛定谔等人热衷于复杂的电子模型时，狄拉克对这些模型嗤之以鼻，一点兴趣也没有。结果他的方程带来了丰富的成果，其中有一些是意料不到的。首先，这个方程自然而然地得到自旋，而他事先根本没有考虑自旋；其次，他的新方程得到了氢谱线精细结构的修正值，而这正是德布罗意和薛定谔无法做到的；其三，也是更令人惊讶的是，狄拉克由新方程预言了一个新的基本粒子（正电子）的存在，而且1932年居然被安德森在实验中找到了这个新粒子（详情请见16章）。

没有事先引进自旋，就能够得到正确的自旋解，这是一个伟大而又没有意料到的胜利。连狄拉克自己都颇为震惊，他在回忆中说：

我对于把电子的自旋引进波动方程不感兴趣，我根本没有考虑这个问题，而且也没有利用泡利的工作。其原因是,我主要的兴趣是要得到与一般物理解释以及变换理论相一致的一个相对论性的理论……稍后，我发现最简单的解就包含有自旋，这使我大为震惊。

狄拉克的《电子的量子理论》是他对物理学做出的最大贡献。

约尔丹说：“要是我得到了那个方程该多好啊！不过，它的推导是那么漂亮，方程是那么简明，有了它我们当然高兴。”

曾与玻恩一起工作的罗森菲尔德说：“（自旋的推演）被认为是一个奇迹。普遍的感觉是狄拉克已经得到的比他应该得到的还要多！要是像他那样搞物理，就无事可做了！狄拉克方程真的可以看作是一个绝对的奇迹。”

连一向年轻气盛的海森伯也曾对他的学生外扎克（Carl-Friedrich von Weiszäcker）说：“那个叫狄拉克的年轻英国人是那样的聪明，根本无法与他竞争。”

到了20世纪30年代，狄拉克方程已经成为现代物理学的基石之一，标志着量子理论的一个新纪元的到来。它无可争议的地位并不在于在实验上它一再被证实，而是在于它在理论上的巨大威力和涵盖的范围。

资料链接：狄拉克方程

狄拉克（相对论性电子）方程的形式简单而又优美：

iγ∂φ = mφ

这个形式简单的方程，如所有其他伟大而重要的方程一样，并不像看起来那么简单。式中m是电子的质量，i为，因子γ表示四个4×4的矩阵，而φ不再是薛定谔方程中简单的波函数，现在是四个分量；而这个方程所有的微分关系压缩成一个记号∂。

这个方程后来被刻在威斯敏斯特教堂的狄拉克纪念碑上。