与自然数的“情谊”

1777年4月30日，高斯出生在汉诺威公国（今下萨克森州）的不伦瑞克市郊外（现属市区）。其时德意志民族远未统一，除了汉诺威，尚有奥地利、普鲁士、巴伐利亚等邦国。在高斯的祖先里，没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样伟大的天才。他的父亲是个普通的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲是他父亲的第二个妻子，做过女仆，没受过什么教育。她甚至忘了高斯的生日，只记得是星期三，耶稣升天节前八天，高斯后来自己把它算出来了。但母亲聪明善良，有幽默感，并且个性很强。她以97岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子。

据说高斯两岁时就发现父亲账簿上的一处错误。九岁那年，他在公立小学念书，一次老师为了让学生们有事干，让他们把1到100这些整数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的课桌上。当所有的石板都被翻过后，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确的答案：5050，但是没有演算过程。事实上，高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，他注意到1+100=101，2+99=101，3+98=101，等50对数，从而答案是50×101或5050。高斯在晚年常幽默地宣称，他在会说话之前就会计算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。

数学王子—高斯

停止流通的德国马克

高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵费迪南的注意，这位公爵的名字也叫卡尔，是个热心肠且始终如一的赞助人。高斯14岁进卡洛琳学院（现不伦瑞克技术大学），18岁入哥廷根大学。当时的哥廷根大学仍默默无闻，事实上，它创办不到60年。由于高斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。起初，高斯在做个语言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796年 3月30日的事了。当他差一个月满19岁时，他对正多边形的欧几里得作图理论（只用圆规和没有刻度的直尺）做出了惊人的贡献，发现了它与费尔马素数之间的秘密关系。特别地，他给出了作正十七边形的方法，这是一个有着两千多年历史的数学悬案。

那一年可谓是高斯奇迹年，就在他发现正十七边形作图理论9天以后，即4月8日，他发展了同余理论，首次证明了二次互反律，这样就彻底解决了二次同余方程的可解性判断问题。5月31日，高斯提出了被后人称为素数定理的猜想，也即不超过x的素数个数为x/log x，这个猜想直到一百年后才被证明；又过了50年，两个用初等方法证明它的人中有一个因此获得了菲尔兹奖。7月10日，高斯证明了费尔马提出的三角形数猜想。10月1日，他发表了有限域里一个多项式方程解数问题的研究，导致一个半世纪后法国数学家韦伊提出了他的著名猜想。

费迪南公爵纪念碑（作者摄于不伦瑞克）

高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的50年间他一直保持这样的水准。不过，高斯取得博士学位是在同属下萨克森州的黑尔姆斯泰特大学，那里不仅离他的故乡更近，还有一位当时德国最好的数学家普法夫。值得一提的是，这所创办于1576年的古老大学在1810年并入了哥廷根大学，可是普法夫却去了哈雷大学。高斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代。高斯受时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的辞藻。高斯说过：“数学是科学的皇后，而数论是数学的女王。”那个时代的人们也开始称高斯为“数学王子”。事实上，综观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩。

数论是最古老的数学分支之一，主要研究自然数的性质和相互关系。从古希腊的毕达哥拉斯时代起人们就沉湎于发现数的神秘关系，优美、简洁、智慧是这门科学的特点。俄国画家瓦西里·康定斯基甚至认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”就像其他数学神童一样，高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年谈道：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”现代数学最后一个“百事通”希尔伯特是19世纪后期重新崛起的哥廷根数学学派的领军人物，其传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时指出：

数学中没有一个领域能够像数论那样，以它的美—一种不可抗拒的力量，吸引着数学家中的精华。

另一方面，我也注意到一些不曾研究过数论的伟大数学家，如帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨，他们都把后半生的精力奉献给了哲学或宗教，唯独费尔马、欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯、狄利克雷这几位对数论有着杰出贡献的数学家，终其一生都不需要任何哲学和宗教。或许，这是因为他们心中已经有了最纯粹、最本质的艺术—数论。值得一提的是，对一些优美的数学定理或公式，高斯经常一而再，再而三地给出新的证明。例如被他称为“皇冠上的宝石”的二次互反律，高斯一共给出了六种证明方法。即便在今天，这个定律仍与中国剩余定理一样，出现在每一本基础数论教程中。

这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事说明数论学者与自然数的“情谊”，这位来自印度最南端泰米尔纳德邦的办事员具有快速且深刻地看出数的复杂关系的惊人才华。著名的英国数论学家G. H.哈代在1913年“发现”了他，并于次年邀他来剑桥大学。哈代有一次去探望病中的拉曼纽扬时告诉他，自己刚才乘坐的出租车车号是1729。拉曼纽扬立即回答：“这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和的最小的数。”（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次方。）哈代又问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉曼纽扬想了想，回答说：“这个数很大，答案是635318657。”（既等于59的四次方加上 158的四次方，又等于 133的四次方加上 134的四次方。）